《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 文 北師大版（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1

2、 1 第四節(jié)　二次函數(shù)與冪函數(shù) [考綱傳真]　1.(1)了解冪函數(shù)的概念；(2)結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖像，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第14頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c

3、(a≠0)； 頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－h(huán)，k)； 零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)． (2)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 圖像 定義域 R 值域 單調(diào)性 在上是減少的， 在上是增加的 在上是增加的， 在上是減少的 對(duì)稱性 函數(shù)的圖像關(guān)于x＝－對(duì)稱 2. 冪函數(shù) (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． (2)五種常見冪函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù)

4、 特征 性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖像 定義域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 (－∞，0)減， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)減 公共點(diǎn) (1,1) [知識(shí)拓展] 1．一元二次不等式恒成立的條件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要條件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要條件是 (3)ax2＋

5、bx＋c＞0(a＜0)在區(qū)間[a，b]恒成立的充要條件是 (4)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在區(qū)間[a，b]恒成立的充要條件是 2．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的圖像特征 (1)α＞0時(shí)，圖像過原點(diǎn)和(1,1)，在第一象限的圖像上升． (2)α＜0時(shí)，圖像不過原點(diǎn)，在第一象限的圖像下降． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函數(shù)．(　　) (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　) (3)冪函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,

6、0)．(　　) (4)當(dāng)n＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖像過點(diǎn)(4,2)，若f(m)＝3，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．　　　　　 B．± C．± D．9 D　[由題意可知4α＝22α＝2，所以α＝. 所以f(x)＝x＝， 故f(m)＝＝3?m＝9.] 3．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖像在x軸上方，則a的取值范圍是(　　) A． B． C． D． C　[由題意知即得a＞.] 4．(20xx·貴陽(yáng)適應(yīng)性考試(二))二次函

7、數(shù)f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 (　　) A．0　　　　 B．1 C．2　　　　 D．4 C　[因?yàn)榕袆e式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，故選C．] 5．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸交于A(－2,0)，B(4,0)且函數(shù)的最大值為9，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是________． y＝－x2＋2x＋8　[設(shè)y＝a(x＋2)(x－4)，對(duì)稱軸為x＝1， 當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1， ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第15頁(yè)) 求二次函數(shù)的解析

8、式 　已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式． [解]　法一(利用一般式)： 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由題意得 解得∴所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用頂點(diǎn)式)： 設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴拋物線的圖像的對(duì)稱軸為x＝＝. ∴m＝.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利

9、用零點(diǎn)式)： 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)的最大值是8，即＝8，解得a＝－4， ∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. [規(guī)律方法]　用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，選法如下： [變式訓(xùn)練1]　已知二次函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． [解]　∵f(2－x)＝f(2＋x)對(duì)x∈R恒成立， ∴f(

10、x)的對(duì)稱軸為x＝2. 又∵f(x)的圖像被x軸截得的線段長(zhǎng)為2， ∴f(x)＝0的兩根為1和3. 設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的圖像過點(diǎn)(4,3)， ∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 角度1　二次函數(shù)的最值問題 　(1)(20xx·廣西一模)若xlog52≥－1，則函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值為(　　) A．－4　　　　 B．－3　　　　 C．－1　　　　 D．0 (2)(20xx·

11、安徽皖北第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上的最大值為2，則a的值為(　　) A．2 B．－1或－3 C．2或－3 D．－1或2 (1)A　(2)D　[(1)xlog52≥－1?log52x≥log55－1?2x≥， 令t＝2x，則有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4， 當(dāng)t＝1≥，即x＝0時(shí)，f(x)取得最小值－4.故選A． (2)函數(shù)f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1圖像的對(duì)稱軸為x＝a，且開口向下，分三種情況討論如下： ①當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上是減少的， ∴f(x)max＝

12、f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1. ②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，a]上是增加的，在[a,1]上是減少的， ∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1， 由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝.∵0＜a≤1，∴兩個(gè)值都不滿足，舍去． ③當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上是增加的， ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2. 綜上可知，a＝－1或a＝2.] 角度2　二次函數(shù)中的恒成立問題 　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對(duì)于任意x∈[m，m

13、＋1]，都有f(x)＜0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090025】 (2)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． (1)　(2)　[(1)作出二次函數(shù)f(x)的圖像，對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0， 則有 即解得－＜m＜0. (2)由題意知2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立． 當(dāng)x＝0時(shí)，適合； 當(dāng)x≠0時(shí)，a＜2－. 因?yàn)椤?－∞，－1]∪[1，＋∞)，當(dāng)x＝1時(shí)，右邊取最小值，所以a＜. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.]

14、 [規(guī)律方法]　1.二次函數(shù)最值問題應(yīng)抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合求解，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，用函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成． 2．由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其依據(jù)是a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min. 冪函數(shù)的圖像與性質(zhì) 　(1)(20xx·蘭州模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖像過點(diǎn)，則k＋α等于(　　) A． B．1 C． D．2 (2)若(2m＋1)＞(m2＋m－1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A． B． C．(－1,2)

15、D． (1)C　(2)D　[(1)由冪函數(shù)的定義知k＝1.又f＝， 所以α＝，解得α＝，從而k＋α＝. (2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝x的定義域?yàn)閇0，＋∞)， 且在定義域內(nèi)為增函數(shù)， 所以不等式等價(jià)于 解2m＋1≥0，得m≥－； 解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥； 解2m＋1＞m2＋m－1，得－1＜m＜2， 綜上所述，m的取值范圍是≤m＜2.] [規(guī)律方法]　1.冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式． 2．在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離x軸． [變式訓(xùn)練2]　(1)設(shè)a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＞c＞b B．c＞a＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c (2)若(a＋1) ＜(3－2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (1)D　(2)　[(1)a＝0.5＝0.25，b＝0.9，所以根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)知b＞a＞0，而c＝log50.3＜0，所以b＞a＞C． (2)易知函數(shù)y＝x的定義域?yàn)閇0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得－1≤a＜.]