11、12<12,但不滿足θ-π12<π12.
∴“θ-π12<π12”不是“sinθ<12”的必要條件.
∴“θ-π12<π12”是“sinθ<12”的充分而不必要條件.故選A.
5.B 解析由題意知T=π,則ω=2.
由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=π3對稱,
得2×π3+φ=π2+kπ(k∈Z),
即φ=-π6+kπ(k∈Z).
∵|φ|<π2,∴φ=-π6,∴f(x)=Asin2x-π6.
令2x-π6=kπ(k∈Z),則x=π12+k2π(k∈Z).
∴函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對稱中心為π12,0.故選B.
6.-79 解析方法1:因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于y軸對稱,根據(jù)三角函數(shù)定
12、義可得sinβ=sinα=13,cosβ=-cosα,因此,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-2232+132=-79.
方法2:由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,則cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos2α=2sin2α-1=2×132-1=-79.
7.5π12 解析f(x)=3cos2x-2sinxcosx=3cos2x-sin2x=2cos2x+π6,將f(x)的圖象向左平移n個(gè)單位對應(yīng)的函數(shù)解析式為f(x)=2cos2(x+n)+π6=2cos2x+2n+π6,要使它為偶函數(shù),則需要2n+π6=kπ(k∈Z
13、),所以n=kπ2-π12(k∈Z).因?yàn)閚>0,所以當(dāng)k=1時(shí),n有最小值5π12.
8.2sinπ8x+π4 解析由題意得A=2,函數(shù)的周期為T=16.
∵T=2πω,∴ω=π8,此時(shí)f(x)=2sinπ8x+φ.
由f(2)=2,即sinπ8×2+φ=sinπ4+φ=1,
則π4+φ=2kπ+π2,k∈Z,
解得φ=2kπ+π4,k∈Z.
∵|φ|<π2,∴φ=π4,
∴函數(shù)的解析式為f(x)=2sinπ8x+π4.
9.x=-π3(答案不唯一) 解析將點(diǎn)π3,0代入f(x)=sinx+λcosx,得λ=-3.g(x)=-3sinxcosx+sin2x=-32sin2x+
14、12-12cos2x=12-sin2x+π6,令2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z.由k=-1,得x=-π3.
10.解(1)由sin2π3=32,cos2π3=-12,
f2π3=322--122-23×32×-12,
得f2π3=2.
(2)由cos2x=cos2x-sin2x與sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin2x+π6.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函數(shù)的性質(zhì)得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,
解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z,
所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是π6+
15、kπ,2π3+kπ
(k∈Z).
11.解(1)由已知,有
f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-π32
=1212cos2x+32sin2x-12cos2x
=34sin2x-14cos2x=12sin2x-π6.
所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間-π3,-π6上是減函數(shù),在區(qū)間-π6,π4上是增函數(shù),f-π3=-14,f-π6=-12,fπ4=34.所以f(x)在區(qū)間-π3,π4上的最大值為34,最小值為-12.
思維提升訓(xùn)練
12.A 解析設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,因?yàn)锳,B兩點(diǎn)之間的距離為5,所以T22+42=5,解得T
16、=6.
所以ω=2πT=π3.
又圖象過點(diǎn)(0,1),代入得2sinφ=1,
所以φ=2kπ+π6或φ=2kπ+5π6(k∈Z).
又0≤φ≤π,所以φ=π6或φ=5π6.所以f(x)=2sinπ3x+π6或f(x)=2sinπ3x+5π6.
對于函數(shù)f(x)=2sinπ3x+π6,當(dāng)x略微大于0時(shí),有f(x)>2sinπ6=1,與圖象不符,故舍去.
綜上,f(x)=2sinπ3x+5π6.
故f(-1)=2sin-π3+5π6=2.
13.A 解析由題意可知,2πω>2π,11π8-5π8≥14·2πω,
所以23≤ω<1.所以排除C,D.
當(dāng)ω=23時(shí),f5π8=2si
17、n5π8×23+φ
=2sin5π12+φ=2,
所以sin5π12+φ=1.
所以5π12+φ=π2+2kπ,即φ=π12+2kπ(k∈Z).
因?yàn)閨φ|<π,所以φ=π12.故選A.
14.D 解析函數(shù)y1=11-x,y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心(1,0),作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖.
當(dāng)1
18、的圖象有四個(gè)交點(diǎn)A,B,C,D,
且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的橫坐標(biāo)之和為8.
15.①④ 解析首先化簡題中的四個(gè)解析式可得:①f(x)=2sinx+π4,②f(x)=2sinx+π4,③f(x)=sinx,④f(x)=2sinx+2.可知③f(x)=sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合,單純經(jīng)過平移不能完成,必須經(jīng)過伸縮變換才能實(shí)現(xiàn),所以③f(x)=sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù);同理①f(x)=2sinx+π4的圖象與②f(x)=2sinx+π4的圖象也必須經(jīng)過伸縮變換才能重合,而④f(x)=2sinx+2的圖象可以向左平移π4個(gè)單位,再向
19、下平移2個(gè)單位即可得到①f(x)=2sinx+π4的圖象,所以①④為“互為生成”函數(shù).
16.3 解析|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<π2,sinα>0,cosα>0,tanα=sinαcosα,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=7210,cosα=210,OC·OA=15,OC·OB=1,OA·OB=cosα+π4=-35,得方程組m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.
17.(1)解將g(x)=cosx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2cosx的
20、圖象,再將y=2cosx的圖象向右平移π2個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=2cosx-π2的圖象,故f(x)=2sinx.
從而函數(shù)f(x)=2sinx圖象的對稱軸方程為x=kπ+π2(k∈Z).
(2)①解f(x)+g(x)=2sinx+cosx
=525sinx+15cosx
=5sin(x+φ)其中sinφ=15,cosφ=25.
依題意,sin(x+φ)=m5在[0,2π)內(nèi)有兩個(gè)不同的解α,β當(dāng)且僅當(dāng)m5<1,
故m的取值范圍是(-5,5).
②證法一因?yàn)棣?β是方程5sin(x+φ)=m在[0,2π)內(nèi)的兩個(gè)不同的解,
所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5.
當(dāng)
21、1≤m<5時(shí),α+β=2π2-φ,
即α-β=π-2(β+φ);
當(dāng)-5