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2、 1 專題09 圓錐曲線 一．基礎題組 1. 【20xx全國，理3】橢圓的中心在原點，焦距為4，一條準線為x＝－4，則該橢圓的方程為(　　) A． B． C． D． 【答案】 C　 2. 【2006全國2，理5】已知△ABC的頂點B, C在橢圓+y2=1上,頂點A是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦點在BC邊上,則△ABC的周長是（

3、） A.2 B.6 C.4 D.12 【答案】:C 3. 已知雙曲線的一條漸近線方程為y=x,則雙曲線的離心率為（ ） A.  B. C. D. 【答案】:A 【解析】:的漸近線方程為±=0. ∴y=±x. 由y=x,可知=, 設a=3x,b=4x, 則c=5x,∴E=.∴選A. 4. 【2005全國2，理6】已知雙曲線的焦點為、，點在雙曲線上且軸，則到直線的距離為（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】C 5. 【20xx新課標，理14】在平面直角坐標系xOy中，

4、橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為__________． 【答案】 【解析】 6. 【2005全國2，理21】(本小題滿分14分) 、、、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值． (1)當≠0時，MN的斜率為－，同上可推得 故四邊形面積 令=得 ∵=≥2 當=±1時=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù) ∴ 所以,四邊形PMQN的面積S= 則S= 顯然當t(1,2)時函數(shù)ss遞減，當時函數(shù)s遞增 所以當t=2時

5、（即k=時）最小的面積為s= 而最大面積為，（注：此時MN在y軸上，PQ在x軸上） 二．能力題組 1. 【20xx新課標，理10】設F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點，O為坐標原點，則 △OAB的面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 【2012全國，理8】已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 3. 【20xx新課標，

6、理7】設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為(　　) A． B． C． 2 D． 3 【答案】B 【解析】 4. 【2005全國3，理9】已知雙曲線的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 5. 【20xx全國2，理15】已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B，若＝，則p＝________. [答案]：

7、2 6. 【20xx全國2，理20】 設,分別是橢圓的左右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N. （Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率； （Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b. ，即，代入C的方程得，將及代入得：，解得，. 7. 【20xx課標全國Ⅱ，理20】(本小題滿分12分)平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：(a＞b＞0)右焦點的直線交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為. (1)求M的方程； (2)C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值． 因此|AB|＝. 由題意可設直線C

8、D的方程為 y＝， 設C(x3，y3)，D(x4，y4)． 由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0. 于是x3,4＝. 因為直線CD的斜率為1， 所以|CD|＝. 由已知，四邊形ACBD的面積. 當n＝0時，S取得最大值，最大值為. 所以四邊形ACBD面積的最大值為. 8. 【20xx新課標，理20】在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，－1)，B點在直線y＝－3上，M點滿足∥，，M點的軌跡為曲線C． (1)求C的方程； (2)P為C上的動點，l為C在P點處的切線，求O點到l距離的最小值 所以， 當x0＝0時取等號，所以O點到l距離的最小值為2. 9. 【20x

9、x全國2，理21】已知斜率為1的直線l與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于B、D兩點，且BD的中點為M(1,3)． (1)求C的離心率； (2)設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|·|BF|＝17，證明過A、B、D三點的圓與x軸相切． 故不妨設x1≤－a，x2≥a. |BF|＝＝＝a－2x1， |FD|＝＝＝2x2－a. |BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a) ＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2 ＝5a2＋4a＋8. 又|BF|·|FD|＝17， 故5a2＋4a＋8＝17， 解得a＝1或a＝－ (舍去)． 故|BD|＝|x1－x2|＝·＝

10、6. 連結MA，則由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，從而MA＝MB＝MD，且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經(jīng)過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切． 所以過A、B、D三點的圓與x軸相切． 10. 【2005全國3，理21】（本小題滿分14分） 設兩點在拋物線上，l是AB的垂直平分線. （Ⅰ）當且僅當取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結論； （Ⅱ）當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍. 由 即得l在y軸上截距的取值范圍為（）. 三．拔高題組 1. 【20xx課標全國Ⅱ，理11】設拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點

11、為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為(　　)． A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 【答案】：C 2. 【20xx課標全國Ⅱ，理12】已知點A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a＞0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是(　　)． A．(0,1) B． C． D． 【答案】：B 【解析】： 3. 【20xx全國2，理12】已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0

12、)的離心率為，過右焦點F且斜率為k(k＞0)的直線與C相交于A、B兩點，若＝3，則k等于(　　) A．1 B. C. D．2 【答案】：B　 【解析】如圖，過A、B分別作準線l的垂線，垂足分別為A1，B1，過B作BM⊥AA1于M. 4. 【2005全國3，理10】設橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，則垂線，，∴， ∴，，，所以，即a2-c2=2ac，即c2+2ac-a2=0

13、， ∴，∴，∵0

14、1，故D(2，－1)． 所以D到l的距離. 6. 【2006全國2，理21】已知拋物線x2=4y的焦點為F,A,B是拋物線上的兩動點,且=λ(λ>0).過A,B兩點分別作拋物線的切線,設其交點為M. (1)證明·為定值; (2)設△ABM的面積為S,寫出S=f(λ)的表達式,并求S的最小值. 所以·=(,-2)·(x2-x1,y2-y1) =(x22-x12)-2(x22-x12)=0. 所以·為定值,其值為0. (2)由(1)知在△ABM中,FM⊥AB, 因而S=|AB||FM|. |FM|=== ==. 因為|AF|,|BF|

15、分別等于A,B到拋物線準線y=-1的距離, 所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ++2=()2. 于是S=|AB||FM|=()3, 由≥2,知S≥4,且當λ=1時,S取得最小值4. 7. 【20xx高考新課標2，理11】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 8. 【20xx高考新課標2，理20】（本題滿分12分） 已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為． (Ⅰ)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值； （Ⅱ）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由． 【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）能，或． ．解得，．因為，，，所以當?shù)男甭蕿? 或時，四邊形為平行四邊形． 【考點定位】1、弦的中點問題；2、直線和橢圓的位置關系．