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1、 1

2、 1 突破點3　平面向量 提煉1　平面向量共線、垂直的兩個充要條件　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 提煉2　數量積常見的三種應用　已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)證明向量垂直：a⊥b?a·b＝0?x1x2

3、＋y1y2＝0. (2)求向量的長度：|a|＝＝. (3)求向量的夾角：cos〈a，b〉＝＝. 提煉3　平面向量解題中應熟知的常用結論　(1)A，B，C三點共線的充要條件是存在實數λ，μ，有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. (2)C是線段AB中點的充要條件是＝(＋)． (3)G是△ABC的重心的充要條件為＋＋＝0，若△ABC的三個頂點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心坐標為. (4)·＝·＝·?P為△ABC的垂心． (5)非零向量a，b垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0. (6)向量b在a的方

4、向上的投影為|b|cos θ＝， 向量a在b的方向上的投影為|a|cos θ＝. 回訪1　平面向量的線性運算 1．(20xx·全國卷Ⅰ)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　 B.(7,4) C.(－1,4) D.(1,4) A　設C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故選A.] 2．(20xx·全國卷Ⅰ)設D，E，F分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝(　　) A. B. C. D. C　如圖，＋＝＋＋＋ ＝＋

5、＝(＋) ＝·2＝.] 回訪2　平面向量的數量積 3．(20xx·全國卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1　　 B.0 C.1　　 D.2 C　法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3， 從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 從而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故選C.] 4．(20xx·全國乙卷)設向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，則x＝_______

6、___. －　∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.] 5．(20xx·全國卷)已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 3　∵a，b的夾角為45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|， |2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10， ∴|b|＝3.] 回訪3　數量積的綜合應用 6．(20xx·全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝________. 2　|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°. ∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·

7、c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－. ∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.] 熱點題型1　平面向量的運算 題型分析：該熱點是高考的必考點之一，考查方式主要體現在以下兩個方面：一是以平面圖形為載體考查向量的線性運算；二是以向量的共線與垂直為切入點，考查向量的夾角、模等． 　(1)(20xx·深圳二模)如圖3-1，正方形ABCD中，M是BC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) 圖3-1 A.　　　　　　　 B. C. D.2 (2)(20xx·天津高考)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE

8、并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　) A．－ B. C. D. (1)B　(2)B　(1)法一：建立平面直角坐標系如圖所示，設正方形的邊長為2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)．由＝λ＋μ，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以解得所以λ＋μ＝，故選B. 法二：因為＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋，所以得所以λ＋μ＝，故選B. (2)如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點， 且DE

9、＝2EF，所以＝，＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 則·＝·(－) ＝·－2＋2－· ＝2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝.故選B.] 1．平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結合圖形分析；二是基于“數”，借助坐標運算來實現． 2．正確理解并掌握向量的概念及運算，強化“坐標化”的解題意識，注重數形結合思想、方程思想與轉化思想的應用． 提醒：運算兩平面向量的數量積時，務必要注意兩向量的方向． 變式訓練1]　(1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，則c·(a＋b

10、)＝(　　) A．(2,12)　　　　　　　 B.(－2,12) C.14 D.10 (2)已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，則＝__________. 【導學號：859520xx】 (1)C　(2)－2　(1)易知a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，可得(－4)×x＋1×4＝0，即－4x＋4＝0，解得x＝1，∴c＝(1,4)． 而a＋b＝(2,3)，∴c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.故選C. (2)∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，則解得＝－2.] 熱點題型2　三角與向量的綜合問題

11、題型分析：平面向量作為解決問題的工具，具有代數形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數的交匯處命題，通過向量運算作為題目條件． 　(名師押題)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)． (1)當a∥b時，求cos2x－sin 2x的值； (2)設函數f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求y＝f(x)＋4cos 的取值范圍． 解]　(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，2分 ∴tan x＝－，4分 ∴cos2x－sin 2x＝＝＝.6分 (2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin ＋，8

12、分 由正弦定理得＝，可得sin A＝.9分 ∵b＞a，∴A＝，10分 y＝f(x)＋4cos＝sin－.11分 ∵x∈， ∴2x＋∈， ∴－1≤y≤－， 即y的取值范圍是.12分 平面向量與三角函數問題的綜合主要利用向量數量積運算的坐標形式，多與同角三角函數關系、誘導公式以及和角與倍角等公式求值等問題相結合，計算的準確性和三角變換的靈活性是解決此類問題的關鍵點． 變式訓練2]　在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 解]　(1)若m⊥n，則m·n＝0. 由向量數量積的坐標公式得sin x－cos x＝0，4分 ∴tan x＝1.6分 (2)∵m與n的夾角為，∴m·n＝|m|·|n|cos ，即sin x－cos x＝，8分 ∴sin ＝.10分 又∵x∈，∴x－∈， ∴x－＝，即x＝.12分