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第11練 數(shù) 列
[明晰考情] 1.命題角度:考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的計(jì)算,考查數(shù)列的通項(xiàng)及求和.2.題目難度:選擇題中等偏下,填空題中檔難度.
考點(diǎn)一 等差數(shù)列與等比數(shù)列
要點(diǎn)重組 (1)在等差數(shù)列中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq.
(2)若{an}是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.
(3)在等差數(shù)列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差數(shù)列.
(4)在等比數(shù)列中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則aman=apaq.
(5)在等比數(shù)列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列(n為偶數(shù)且q=-1除外).
1.(2018全國Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5等于( )
A.-12 B.-10
C.10 D.12
答案 B
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由3S3=S2+S4,
得3=2a1+d+4a1+d,將a1=2代入上式,
解得d=-3,
故a5=a1+(5-1)d=2+4(-3)=-10.
故選B.
2.已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a7=64,a1a5+a3=20,則S5等于( )
A.31 B.63
C.16 D.127
答案 A
解析 設(shè)公比為q(q>0),∵a1a5+a3=20,
∴a+a3-20=0,即(a3+5)(a3-4)=0,
∵a3>0,∴a3=4,
∵a7=a3q4=64,∴q=2,a1=1.
∴S5==31,故選A.
3.在數(shù)列{an}中,若a1=2,且對任意正整數(shù)m,k,總有am+k=am+ak,則{an}的前n項(xiàng)和Sn等于( )
A.n(3n-1) B.
C.n(n+1) D.
答案 C
解析 依題意得an+1=an+a1,即有an+1-an=a1=2,
所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列,an=2+2(n-1)=2n,Sn==n(n+1).
4.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{-53,-23,19,37,82}中,則6q=________.
答案 -9
解析 由題意知,數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{-53,-23,19,37,82}中,說明{an}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{an}中連續(xù)四項(xiàng)至少有一項(xiàng)為負(fù),∴q<0,又∵|q|>1,∴{an}的連續(xù)四項(xiàng)為-24,36,-54,81,∴q==-,∴6q=-9.
考點(diǎn)二 數(shù)列的通項(xiàng)與求和
方法技巧 (1)已知數(shù)列的遞推關(guān)系,求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),通常利用累加法、累乘法、構(gòu)造法求解.
(2)利用an=求通項(xiàng)時(shí),要注意檢驗(yàn)n=1的情況.
5.數(shù)列{an}滿足a1=0,-=1(n≥2,n∈N*),則a2019等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 ∵數(shù)列{an}滿足a1=0,-=1(n≥2,n∈N*),
∴=1,
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,
∴=1+(n-1)=n,
∴=2019,解得a2019=.
6.已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an=2n2(n∈N*),且對任意n∈N*都有++…+
100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( )
A.440B.330C.220D.110
答案 A
解析 設(shè)首項(xiàng)為第1組,接下來的兩項(xiàng)為第2組,再接下來的三項(xiàng)為第3組,依此類推.則第n組的項(xiàng)數(shù)為n,前n組的項(xiàng)數(shù)和為.
由題意知,N>100,令>100,∴n≥14且n∈N*,即N出現(xiàn)在第13組之后.
第n組的各項(xiàng)和為=2n-1,前n組所有項(xiàng)的和為-n=2n+1-2-n.
設(shè)N是第n+1組的第k項(xiàng),若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪,則N-項(xiàng)的和即第n+1組的前k項(xiàng)的和2k-1應(yīng)與-2-n互為相反數(shù),即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),k=log2(n+3),∴n最小為29,此時(shí)k=5,則N=+5=440.故選A.
11.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為________.
答案 64
解析 由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,
兩式相除得=,
解得q=,a1=8,
方法一 ∴a2=4,a3=2,a4=1,∴a1a2a3=a1a2a3a4,
∴a1a2…an的最大值為64.
方法二 由a1a2…an=8n1+2+…+(n-1)=,拋物線f(n)=-+的對稱軸為n==,
又n∈N*,所以當(dāng)n=3或4時(shí),a1a2…an取最大值26=64.
12.已知函數(shù)f(x)=3|x+5|-2|x+2|,數(shù)列{an}滿足a1<-2,an+1=f(an),n∈N*.若要使數(shù)列{an}成等差數(shù)列,則a1的取值集合為______________.
答案
解析 因?yàn)閒(x)=
所以若數(shù)列{an}成等差數(shù)列,則當(dāng)a1為直線y=x+11與直線y=-x-11的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即a1=-11時(shí),數(shù)列{an}是以-11為首項(xiàng),11為公差的等差數(shù)列;當(dāng)f(a1)=a1,即5a1+19=a1或-a1-11=a1,即a1=-或a1=-時(shí),數(shù)列{an}是以0為公差的等差數(shù)列,因此a1的取值集合為
.
1.在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,當(dāng)整數(shù)n>1時(shí),Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,則S15等于( )
A.210B.211C.224D.225
答案 B
解析 當(dāng)n>1時(shí),Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,
∴an+1=an+2,n≥2,
∴an+1-an=2,n≥2.
∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始組成公差為2的等差數(shù)列,
∴S15=a1+(a2+…+a15)=1+14=211.
2.已知數(shù)列{an}滿足:an+1=an(1-2an+1),a1=1,數(shù)列{bn}滿足:bn=anan+1,則數(shù)列{bn}的前2017項(xiàng)的和S2017=________.
答案
解析 由an+1=an(1-2an+1),
可得-=2,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,
故=1+(n-1)2=2n-1,所以an=.
又bn=anan+1==,
所以S2017=
==.
3.已知數(shù)列{an}滿足a1=33,an+1-an=2n,則的最小值為________.
答案
解析 由題意,得a2-a1=2,
a3-a2=4,…,an-an-1=2(n-1),n≥2,
累加整理可得an=n2-n+33,n≥2,
當(dāng)n=1時(shí),a1=33也滿足,
∴=n+-1(n∈N*).
由函數(shù)f(x)=x+-1(x>0)的單調(diào)性可知,
的最小值為f(5),f(6)中較小的一個(gè).
又f(6)=,f(5)=,
∴min=.
解題秘籍 (1)利用an=Sn-Sn-1尋找數(shù)列的關(guān)系,一定要注意n≥2這個(gè)條件.
(2)數(shù)列的最值問題可以利用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求解,但要考慮最值取到的條件.
1.等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}的前6項(xiàng)和為( )
A.-24 B.-3
C.3 D.8
答案 A
解析 由已知條件可得a1=1,d≠0,
由a=a2a6,可得(1+2d)2=(1+d)(1+5d),
解得d=-2.
所以S6=61+=-24.
2.已知在等比數(shù)列中,各項(xiàng)都是正數(shù),且a1,a3,2a2成等差數(shù)列,則等于( )
A.1+ B.1-
C.3+2 D.3-2
答案 C
解析 ∵a1,a3,2a2成等差數(shù)列,
∴a32=a1+2a2,
即a1q2=a1+2a1q,
又∵a1≠0,∴q2=1+2q,
解得q=1+或q=1-(舍).
∴==q2=(1+)2=3+2.
3.已知數(shù)列{an}滿足an+1-an=2,a1=-5,則|a1|+|a2|+…+|a6|等于( )
A.9 B.15
C.18 D.30
答案 C
解析 由an+1-an=2可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差d=2,又a1=-5,
所以an=2n-7,
所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=5+3+1+1+3+5=18.
4.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn,且=,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 D
解析?。剑剑?
==
=7+,
驗(yàn)證知,當(dāng)n=1,2,3,5,11時(shí)為整數(shù).
5.在數(shù)列{an}中,已知a1+a2+…+an=2n-1,則a+a+…+a等于( )
A.(2n-1)2 B.
C.4n-1 D.
答案 D
解析 設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,Sn=a1+a2+…+an=2n-1,當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2n-1-1,an=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,a=4n-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=1也符合上式,所以a+a+…+a==.
6.設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若=3,則等于( )
A.2 B.
C. D.1或2
答案 B
解析 設(shè)S2=k,則S4=3k,
由數(shù)列{an}為等比數(shù)列(易知數(shù)列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4為等比數(shù)列,
又S2=k,S4-S2=2k,
∴S6-S4=4k,
∴S6=7k,
∴==,故選B.
7.(2018唐山模擬)設(shè){an}是任意等差數(shù)列,它的前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和與前4n項(xiàng)和分別為X,Y,Z,則下列等式中恒成立的是( )
A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4Y
C.2X+3Z=7Y D.8X+Z=6Y
答案 D
解析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)X,Y-X,S3n-Y,Z-S3n成等差數(shù)列,
∴S3n=3Y-3X,
又2(S3n-Y)=(Y-X)+(Z-S3n),
∴4Y-6X=Y(jié)-X+Z-3Y+3X,
∴8X+Z=6Y.
8.在數(shù)列{an}中,a1=1,an-an-1=(n≥2,且n∈N*),則an等于( )
A.2- B.1-
C. D.2-
答案 A
解析 ∵an-an-1=,n≥2,
∴a2-a1==1-,a3-a2==-,
a4-a3==-,…,
an-an-1=-,
∴以上各式累加得an-a1=1-.
又a1=1,∴an=2-.
當(dāng)n=1時(shí),上式也成立,故選A.
9.公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項(xiàng),,,…構(gòu)成等比數(shù)列,且k1=1,k2=2,k3=6,則k4=________.
答案 22
解析 根據(jù)題意可知,等差數(shù)列的a1,a2,a6項(xiàng)成等比數(shù)列,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則有(a1+d)2=a1(a1+5d),解得d=3a1,故a2=4a1,a6=16a1,
所以=a1+(k4-1)(3a1)=64a1,解得k4=22.
10.已知數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=an+2+1,則a13等于________.
答案 168
解析 由an+1=an+2+1可知,
an+1+1=an+1+2+1=(+1)2,
∴=+1.
又=1,故數(shù)列{}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,
∴=n,
∴=13,則a13=168.
11.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這個(gè)女子每天分別織布多少?”根據(jù)上題的已知條件,可求得該女子第3天所織布的尺數(shù)為________.
答案
解析 設(shè)這個(gè)女子每天分別織布an尺,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比q=2.
則=5,
解得a1=.
所以a3=22=.
12.對于正項(xiàng)數(shù)列{an},定義Hn=為{an}的“光陰”值,現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為Hn=,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.
答案 an=(n∈N*)
解析 由Hn=可得
a1+2a2+3a3+…+nan==,①
所以a1=,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n≥2),②
①-②得nan=-=,
所以an=,n≥2.
又當(dāng)n=1時(shí),a1=也滿足上式,
所以an=,n∈N*.
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