《高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第7章 第1節(jié) 不等式的性質(zhì)與一元二次不等式 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第7章 第1節(jié) 不等式的性質(zhì)與一元二次不等式 Word版含解析（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制1～2個小題，分值5～10分． 2.考查內(nèi)容 (1)小題主要考查：一元二次不等式的解法、簡單的線性規(guī)劃中線性目標函數(shù)的最值求法、簡單的邏輯推理題等． (2)大題主要考查：應用基本不等式求最值(或范圍)、運用演繹推理、直接證明與間接證明以及數(shù)學歸納法證明代數(shù)或幾何問題． 3.備考策略 從2019年高考試題可以看出，高考對簡單線性規(guī)劃的考查會逐漸趨于淡化，對于推理與證明的思想運用會進一步加強. 第一節(jié)　不等式的性質(zhì)與一元二次不等式 [最新考綱]　1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了

2、解不等式(組)的實際背景.2.會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.4.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的算法框圖． 1．兩個實數(shù)比較大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的性質(zhì) (1)對稱性：a>b?bb，b>c?a>c； (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c； a>b，c>d?a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc； a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd； (5)乘方法則：

3、a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)； (6)開方法則：a>b>0?>(n≥2，n∈N)； (7)倒數(shù)性質(zhì)：設ab>0，則a. 3．“三個二次”的關系 判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖像 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有兩相異實根 x1，x2(x10 (a>0)的解集 {x|xx2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1

4、2} ? ? 1．若a＞b＞0，m＞0，則＜； 若b＞a＞0，m＞0，則＞. 2．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口訣：大于取兩邊，小于取中間． 3．恒成立問題的轉(zhuǎn)化：a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. 4．能成立問題的轉(zhuǎn)化：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)a＞b?ac2＞bc2.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0.(　　) (3)若方程a

5、x2＋bx＋c＝0(a＜0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．函數(shù)f(x)＝的定義域為(　　) A．[0,3]　　　　　 B．(0,3) C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) A　[要使函數(shù)f(x)＝有意義， 則3x－x2≥0， 即x2－3x≤0， 解得0≤x≤3.] 2．設A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，則A與B的大小關系為(　　) A．A≥B

6、 B．A＞B C．A≤B D．A＜B B　[∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4) ＝x2－6x＋9－x2＋6x－8＝1＞0， ∴A＞B，故選B.] 3．設bb＋d D．a(chǎn)＋d>b＋c C　[由同向不等式具有可加性可知C正確．] 4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為，則a＋b＝________. －14　[由題意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的兩個根， 則解得(經(jīng)檢驗知滿足題意)． ∴a＋b＝－14.] 考點1　比較大小與不等式的性質(zhì) 　比

7、較大小的5種常用方法 (1)作差法：直接作差判斷正負即可(常用變形手段：因式分解、配方、有理化、通分等)． (2)作商法：直接作商與1的大小比較，注意兩式的符號． (3)函數(shù)的單調(diào)性法：把比較的兩個數(shù)看成一個函數(shù)的兩個值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較． (4)不等式的性質(zhì)法． (5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結論． 　1.若a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式一定成立的是(　　) A．a(chǎn)＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0 C．a(chǎn)c＞bc D．≤ B　[(不等式的性質(zhì)法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因為c2≥0，所以(a－b)c2≥0

8、.故選B.] 2．若a<0，b<0，則p＝＋與q＝a＋b的大小關系為(　　) A．pq D．p≥q B　[法一： (作差法)p－q＝＋－a－b ＝＋＝(b2－a2)· ＝＝， 因為a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 若a＝b，則p－q＝0，故p＝q； 若a≠b，則p－q<0，故p

9、3－b3＞0 D．|a|＞|b| C　[法一：由函數(shù)y＝ln x的圖像(圖略)知，當0＜a－b＜1時，ln(a－b)<0，故A不正確；因為函數(shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，所以當a>b時，3a>3b，故B不正確；因為函數(shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，所以當a>b時，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正確；當b

10、法一：(待定系數(shù)法)設f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得解得 ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4. ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 法二：(運用方程思想)由 得 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 法三：(借助線性規(guī)劃)由 確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，

11、當f(－2)＝4a－2b過點A時， 取得最小值4×－2×＝5， 當f(－2)＝4a－2b過點B(3,1)時， 取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.] 　(1)盡管特值法可以較快的排除干擾選項，但直接應用該法作出正確判斷是有風險的，如T2，T3. (2)利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件，如T1，T4. 考點2　一元二次不等式的解法 　解一元二次不等式的一般步驟 　解下列不等式： (1)3＋2x－x2≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)． [解]　(1)原不等式化為x2－2x－3≤0， 即(x－3)(x＋1)≤

12、0， 故所求不等式的解集為{x|－1≤x≤3}． (2)若a＝0，原不等式等價于－x＋1<0，解得x>1. 若a<0，原不等式等價于(x－1)>0， 解得x<或x>1. 若a>0，原不等式等價于(x－1)<0. ①當a＝1時，＝1，(x－1)<0無解； ②當a>1時，<1，解(x－1)<0得1，解 (x－1)<0得11}； 當01時，解集為. [母題探究]　將本例(2)中不等式改為x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R

13、)，求不等式的解集． [解]　原不等式可化為(x－a)(x－1)<0， 當a>1時，原不等式的解集為(1，a)； 當a＝1時，原不等式的解集為?； 當a<1時，原不等式的解集為(a,1)． 　解含參不等式的分類討論依據(jù) 提醒：含參數(shù)討論問題最后要綜上所述． [教師備選例題] 解不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R)． [解]　對于方程x2－2ax＋2＝0，因為Δ＝4a2－8. (1)當Δ＜0，即－＜a＜時，x2－2ax＋2＝0無實根．又二次函數(shù)y＝x2－2ax＋2的圖像開口向上，所以原不等式的解集為?； (2)當Δ＝0，即a＝±時，x2－2ax＋2＝0有兩個相等的實根

14、， 當a＝時，原不等式的解集為{x|x＝}， 當a＝－時，原不等式的解集為{x|x＝－}； (3)當Δ＞0，即a＞或a＜－時，x2－2ax＋2＝0有兩個不相等的實根，分別為x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集為{x|a－≤x≤a＋}． 綜上，當a＞或a＜－時，解集為{x|a－≤x≤a＋}；當a＝時，解集為{x|x＝}；當a＝－時，解集為{x|x＝－}；當－＜a＜時，解集為?. 　1.(2019·濟南模擬)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集為 ，則不等式bx2－5x＋a>0的解集為(　　) A. B. C．{x|－32}

15、 C　[由題意知a>0，且，－是方程ax2－5x＋b＝0的兩根，∴解得 ∴bx2－5x＋a＝－5x2－5x＋30>0， 即x2＋x－6<0， 解得－3a2(a∈R)． [解]　原不等式可化為12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 當a>0時，不等式的解集為∪； 當a＝0時，不等式的解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)

16、； 當a<0時，不等式的解集為∪. 考點3　一元二次不等式恒成立問題 　在R上恒成立，求參數(shù)的范圍 　 一元二次不等式在R上恒成立的條件 不等式類型 恒成立條件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． (－2,2]　[當a－2＝0，即a＝2時，不等式即為－4<0，對一切x∈R恒成立， 當a≠2時，則有 即∴－2

17、a的取值范圍是(－2,2]．] 　本題在求解中常因忽略“a－2＝0”的情形致誤，只要二次項系數(shù)含參數(shù)，必須討論二次項系數(shù)為零的情況． 　若不等式2kx2＋kx－<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為(　　) A．(－3,0) B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0] D　[當k＝0時，顯然成立；當k≠0時，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0對一切實數(shù)x都成立，則 解得－3

18、(x∈[a，b])的不等式確定參數(shù)范圍時，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值． 　[一題多解]已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立， 即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下兩種方法： 法一：(函數(shù)最值法)令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 當m>0時，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 所以m<，所以0

19、減函數(shù)， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0， 所以m<6，所以m<0. 綜上所述，m的取值范圍是. 法二：(分離參數(shù)法)因為x2－x＋1＝2＋>0， 又因為m(x2－x＋1)－6<0，所以m<. 因為函數(shù)y＝＝在[1,3]上的最小值為，所以只需m<即可． 所以m的取值范圍是. [母題探究]　若將“f(x)<5－m恒成立”改為“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范圍？ [解]　由題意知f(x)<5－m有解， 即m<有解，則m

20、某區(qū)間上恒成立問題的三種常用方法．每種方法對于不同試題各有優(yōu)劣，要牢牢掌握，靈活使用，特別是數(shù)形結合時，滿足條件的圖像要畫全，畫對．二次函數(shù)問題建議多考慮，對應二次函數(shù)圖像，建議恒成立或能成立問題求參數(shù)范圍時，首選分離參數(shù)法． 　若不等式x2＋ax＋4≥0對一切x∈(0,1]恒成立，則a的取值范圍為________． [－5，＋∞)　[由不等式x2＋ax＋4≥0對一切x∈(0,1]恒成立，得a≥－對一切x∈(0,1]恒成立． 設f(x)＝－，x∈(0,1]， 則只要a≥[f(x)]max即可． 由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增， 所以[f(x)]max＝f(1)＝－5，

21、故a≥－5.] 　給定參數(shù)范圍的恒成立問題 　形如f(x)＞0或f(x)＜0(參數(shù)m∈[a，b])的不等式確定x的范圍時，要注意變換主元，即將原不等式轉(zhuǎn)化為g(m)＞0或g(m)＜0恒成立問題． 　對任意的k∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，則x的取值范圍是__________． {x|x<1或x>3}　[對任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1,1]時恒成立． 只需g(－1)>0且g(1)>0，即 解得x<1或x>3.] 　解決恒成立問題一定要搞清誰是主

22、元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)． 　函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3. (1)當x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； (2)當x∈[－2,2]時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； (3)當a∈[4,6]時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍． [解]　(1)∵當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2. ∴實數(shù)a的取值范圍是[－6,2]． (2)當x∈[－2,2]時，設g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三種情況討論(如圖所示)： ①如圖1，當g(x)的圖像與x軸不超過1個交點時， 有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2. ②如圖2，g(x)的圖像與x軸有2個交點， 但當x∈[－2，＋∞)時，g(x)≥0， 即即 可得 解得a∈?. ③如圖3，g(x)的圖像與x軸有2個交點，　 但當x∈(－∞，2]時，g(x)≥0. 即即 可得∴－7≤a<－6， 綜上，實數(shù)a的取值范圍是[－7,2]． (3)令h(a)＝xa＋x2＋3. 當a∈[4,6]時，h(a)≥0恒成立． 只需即 解得x≤－3－或x≥－3＋. ∴實數(shù)x的取值范圍是 (－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．