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1、
任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)
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一、選擇題
1.角-870°的終邊所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C [由-870°=-1 080°+210°,知-870°角和210°角的終邊相同,在第三象限.]
2.已知角α的始邊與x軸的正半軸重合,頂點在坐標原點,角α終邊上的一點P到原點的距離為,若α=,則點P的坐標為( )
A.(1,) B.(,1)
C.(,) D.(1,1)
D [設P(x,y),則sin α==sin ,∴y=1.
又cos α==cos ,∴x=1,∴P(1,1).]
2、
3.已知角θ的終邊經(jīng)過點P(4,m),且sin θ=,則m等于( )
A.-3 B.3
C. D.±3
B [sin θ==,且m>0,解得m=3.]
4.已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長為( )
A.2 B.4
C.6 D.8
C [設扇形的半徑為R,則×4×R2=2,
∴R=1,弧度l=4,∴扇形的周長為l+2R=6.]
5.sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.不存在
A [∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,
∴sin 2·cos 3·tan 4<0.]
3、
二、填空題
6.若α=1 560°,角θ與α終邊相同,且-360°<θ<360°,則θ=________.
120°或-240° [因為α=1 560°=4×360°+120°,
所以與α終邊相同的角為360°×k+120°,k∈Z,
令k=-1或k=0可得θ=-240°或θ=120°.]
7.已知扇形的圓心角為,面積為,則扇形的弧長等于________.
[設扇形半徑為r,弧長為l,
則
解得]
8.函數(shù)y=的定義域為________.
[利用三角函數(shù)線(如圖),
由sin x≥,可知
2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.]
三、解答題
9.若角θ的終邊過點P
4、(-4a,3a)(a≠0).
(1)求sin θ+cos θ的值;
(2)試判斷cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號.
[解](1)因為角θ的終邊過點P(-4a,3a)(a≠0),
所以x=-4a,y=3a,r=5|a|,
當a>0時,r=5a,sin θ+cos θ=-.
當a<0時,r=-5a,sin θ+cos θ=.
(2)當a>0時,sin θ=∈,
cos θ=-∈,
則cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos ·sin<0;
當a<0時,sin θ=-∈,
cos θ=∈,
則cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos·si
5、n >0.
綜上,當a>0時,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號為負;當a<0時,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號為正.
10.已知sin α<0,tan α>0.
(1)求角α的集合;
(2)求終邊所在的象限;
(3)試判斷tan sin cos 的符號.
[解](1)因為sin α<0且tan α>0,所以α是第三象限角,故角α的集合為.
(2)由(1)知2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
故kπ+<<kπ+,k∈Z,
當k=2n(n∈Z)時,2nπ+<<2nπ+,n∈Z,即是第二象限角.
當k=2n+1(n∈Z)時,2nπ+<<2nπ+π
6、,n∈Z,即是第四象限角,
綜上,的終邊在第二或第四象限.
(3)當是第二象限角時,
tan <0,sin >0,cos <0,
故tan sin cos >0,
當是第四象限角時,
tan <0,sin <0,cos >0,
故tan sin cos >0,
綜上,tan sin cos 取正號.
1.點P的坐標為(2,0),射線OP順時針旋轉(zhuǎn)2 010°后與圓x2+y2=4相交于點Q,則點Q的坐標為( )
A.(-,) B.(-,1)
C.(-1,) D.(1,-)
B [由題意可知Q(2cos(-2 010°),2sin(-2 010°)),
因為-2 0
7、10°=-360°×6+150°,
所以cos(-2 010°)=cos 150°=-,
sin(-2 010°)=sin 150°=.
∴Q(-,1),故選B.]
2.(2019·四川樂山、峨眉山二模)《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作,其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為:弧田面積=(弦×矢+矢2),弧田由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為,半徑長為4的弧田(如圖所示),按照上述公式計算出弧田的面積為________.
4+2 [由題意可得∠AOB=,OA=4.在Rt△AOD中,易得∠AOD=,
8、∠DAO=,OD=OA=×4=2,可得矢=4-2=2.由AD=AOsin =4×=2,可得弦=2AD=4.所以弧田面積=(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2.]
3.在直角坐標系xOy中,O是原點,A(,1),將點A繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到B點,則B點坐標為________.
(-,1) [如圖所示,|OA|=|OB|=2,∵∠AOx=60°,
∴∠BOx=150°,由三角函數(shù)的定義可得
xB=2cos 150°=-,yB=2sin 150°=1,
∴B點坐標為(-,1).]
4.已知=-,且lg(cos α)有意義.
(1)試判斷角α所在的象限;
(2)若角α的終邊上一
9、點M,且|OM|=1(O為坐標原點),求m的值及sin α的值.
[解](1)由=-,得sin α<0,
由lg(cos α)有意義,可知cos α>0,
所以α是第四象限角.
(2)因為|OM|=1,所以+m2=1,解得m=±.
又α為第四象限角,故m<0,
∴m=-,sin α===-.
1.已知sin α>sin β,那么下列命題成立的是( )
A.若α,β是第一象限的角,則cos α>cos β
B.若α,β是第二象限的角,則tan α>tan β
C.若α,β是第三象限的角,則cos α>cos β
D.若α,β是第四象限的角,則tan α>tan β
10、D [如圖,當α在第四象限時,作出α,β的正弦線M1P1,M2P2和正切線AT1,AT2,
觀察知當sin α>sin β時,tan α>tan β.
]
2.如圖,在平面直角坐標系xOy中,角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于A點,它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B,始邊不動,終邊在運動.
(1)若點B的橫坐標為-,求tan α的值;
(2)若△AOB為等邊三角形,寫出與角α終邊相同的角β的集合;
(3)若α∈,請寫出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關系式.
[解](1)由題意可得B,
根據(jù)三角函數(shù)的定義得tan α==-.
(2)若△AOB為等邊三角形,則∠AOB=,
故與角α終邊相同的角β的集合為
.
(3)若α∈,
則S扇形=αr2=α,
而S△AOB=×1×1×sin α=sin α,
故弓形AB的面積
S=S扇形-S△AOB=α-sin α,α∈.