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1、
圓與圓的位置關(guān)系備考策略
主標(biāo)題:圓與圓的位置關(guān)系備考策略
副標(biāo)題:通過(guò)考點(diǎn)分析高考命題方向,把握高考規(guī)律,為學(xué)生備考復(fù)習(xí)打通快速通道.
關(guān)鍵詞:圓與圓的位置關(guān)系,知識(shí)總結(jié)備考策略
難度:3
重要程度:3
內(nèi)容:1.圓與圓的位置關(guān)系
圓與圓有五種位置關(guān)系,分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.
外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離;外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.
兩圓相離——沒(méi)有公共點(diǎn),兩圓相切——有唯一公共點(diǎn),兩圓相交——有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).
2.判斷兩圓的位置關(guān)系常用的方法是幾何法二、圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r(r1>0),
圓O2:(x-a2)2+
2、(y-b2)2=r(r2>0).
方法
位置關(guān)系
幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系
代數(shù)法:聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況
相離
d>r1+r2
無(wú)解
外切
d=r1+r2
一組實(shí)數(shù)解
相交
|r1-r2|<d<r1+r2
兩組不同的實(shí)數(shù)解
內(nèi)切
d=|r1-r2|(r1≠r2)
一組實(shí)數(shù)解
內(nèi)含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
無(wú)解
常用結(jié)論
(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù):①內(nèi)含時(shí):0條;②內(nèi)切:1條;③相交:2條;④外切:3條;⑤外離:4條.
(2)當(dāng)兩圓相交時(shí),兩圓方程(x2,y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所
3、在直線的方程.
思維規(guī)律解題:考點(diǎn)一:圓與圓的位置關(guān)系
例1.(2015·合肥二模)已知圓C1:(x-a)2+(y+2)2=4與圓C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,則ab的最大值為( )
A. B.
C. D.2
答案 C
解析 由圓C1與圓C2相外切,
可得=2+1=3,即(a+b)2=9,
根據(jù)基本不等式可知ab≤2=,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.故選C.
例2.(2012·山東高考)圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為( )
A.內(nèi)切 B.相交
C.外切 D.相離
答案
4、 B
解析 兩圓圓心分別為(-2,0),(2,1),半徑分別為2和3,圓心距d==.
∵3-2
5、O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=12-8.
(2)設(shè)圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=r,
又圓O1的方程為:x2+(y+1)2=4,
兩式相減得兩圓公共弦AB所在的直線方程為:4x+4y+r-8=0,
作O1H⊥AB于H,則|AH|=|AB|=,
∵r1=2,∴|O1H|==,
又|O1H|==,
∴=,得r=4或r=20,
圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
考點(diǎn)三: 圓的切線與弦長(zhǎng)問(wèn)題
例4.(2013·天津高考)已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=
6、
( )
A. - B.1 C.2 D.
答案 C
解析 由圓的切線與直線ax-y+1=0垂直,設(shè)切線方程為x+ay+c=0,再代入點(diǎn)(2,2),結(jié)合圓心到切線的距離等于圓的半徑,求出a的值.
由題意知圓心為(1,0),由圓的切線與直線ax-y+1=0垂直,可設(shè)圓的切線方程為x+ay+c=0,由切線x+ay+c=0過(guò)點(diǎn)P(2,2),∴c=-2-2a,∴=,解得a=2.
例5.(2013·安徽高考)直線x+2y-5+=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長(zhǎng)為( )
A.1 B.2 C.4 D.4
答案 C
解析 先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心和半徑,再在圓中構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求弦長(zhǎng).
圓的方程可化為C:(x-1)2+(y-2)2=5,其圓心為C(1,2),半徑R=.如圖所示,取弦AB的中點(diǎn)P,連接CP,則CP⊥AB,圓心C到直線AB的距離d=|CP|==1.在Rt△ACP中,|AP|==2,故直線被圓截得的弦長(zhǎng)|AB|=4.
備考策略:1.圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個(gè)半徑的和與差的大小關(guān)系.
2. 若兩圓相交,則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,y2項(xiàng)即可得到.
3.若兩圓相交,則兩圓的連心線垂直平分公共弦.