《三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項(xiàng)版解析—— 專題03 導(dǎo)數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項(xiàng)版解析—— 專題03 導(dǎo)數(shù)（80頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項(xiàng)版解析 第三章 導(dǎo)數(shù) 一、 選擇題 1. 【2016高考山東理數(shù)】若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線的位置關(guān)系，本題給出常見的三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，突出了高考命題注重基礎(chǔ)的原則.解答本題，關(guān)鍵在于將直線的位置關(guān)系與直線的斜率、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相聯(lián)系，使問題加以轉(zhuǎn)化，利用特殊化思想

2、解題，降低難度.本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用等. 2. 【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是( ) （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A 【解析】 試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得切線的方程分別為，切線的方程為，即.分別令得又與的交點(diǎn)為，，，．故選A． 考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.兩直

3、線垂直關(guān)系；3.直線方程的應(yīng)用；4.三角形面積取值范圍. 【名師點(diǎn)睛】本題首先考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其次考查最值問題，解題時(shí)可設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線垂直求出這兩點(diǎn)的關(guān)系，同時(shí)得出切線方程，從而得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩直線相交得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得面積，題中把面積用表示后，可得它的取值范圍．解決本題可以是根據(jù)題意按部就班一步一步解得結(jié)論．這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實(shí)而基礎(chǔ)，簡單而實(shí)用． 3.【2014新課標(biāo)，理12】設(shè)函數(shù).若存在的極值點(diǎn)滿足，則m的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查

4、了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)極值點(diǎn)的含義，函數(shù)的零點(diǎn)的定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔偏難題. 4. 【2014新課標(biāo)，理8】設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x，則a= （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】因?yàn)?，所以切線的斜率為，解得，故選D。 【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則；本題屬于基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)健在于正確求出已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 5. (2014山東，理6)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖

5、形的面積為(　　)． A． B． C．2 D．4 答案：D 解析：由解得x＝－2或x＝0或x＝2， 所以直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形面積應(yīng)為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查定積分的應(yīng)用，解答此類題的關(guān)鍵是明確圍成封閉圖形的曲線，即明確被積函數(shù)，應(yīng)用定積分計(jì)算面積. 本題是一道基礎(chǔ)題，考查定積分的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生的計(jì)算能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，解決問題的能力. 6. 【2014陜西理3】定積分的值為（ ） 【答案】 【解析】 試題分析：，故選. 考點(diǎn)：定積分. 【名師點(diǎn)晴】本

6、題主要考查的是定積分，屬于容易題.解題時(shí)只要正確應(yīng)運(yùn)求定積分的運(yùn)算步驟，準(zhǔn)確寫出原函數(shù)的解析式，一般就不容易出現(xiàn)錯(cuò)誤. 7. 【2014陜西理10】如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點(diǎn)的水平距離10千米處下降， 已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則函數(shù)的解析式為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 考點(diǎn)：函數(shù)的解析式. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的解析式等知識(shí)，屬于難題.解題時(shí)要認(rèn)真理解題意，“已知下降飛行軌跡為某三

7、次函數(shù)圖像的一部分”，確定函數(shù)為三次函數(shù)，然后由已知函數(shù)圖像，將圖像語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，，，，從而確定出參數(shù) 8. 【2015福建理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以，，所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C，選項(xiàng)D無法判斷；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，，選項(xiàng)A,B無法判斷，故選C． 【考點(diǎn)定位】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)． 【名師點(diǎn)睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等

8、式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題． 9. 【2015新課標(biāo)1理12】設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)，使得0，則的取值范圍是（ ） (A)[-，1） (B)[-，） (C)[，） (D)[，1） 【答案】D 【解析】設(shè)=，，由題知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方. 因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，＜0，當(dāng)時(shí)，＞0，所以當(dāng)時(shí)，=， 當(dāng)時(shí)，=-1，，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D. 【考點(diǎn)定位】本題主要通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題 【名師點(diǎn)

9、睛】對存在性問題有三種思路，思路1：參變分離，轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個(gè)函數(shù)（或參數(shù)大于某個(gè)函數(shù)），則參數(shù)該于該函數(shù)的最大值（大于該函數(shù)的最小值）；思路2：數(shù)形結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，再畫出該函數(shù)的草圖，結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍，若原函數(shù)圖像不易做，常化為一個(gè)函數(shù)存在一點(diǎn)在另一個(gè)函數(shù)上方，用圖像解；思路3：分類討論，本題用的就是思路. 10. 【2015課標(biāo)2理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 【答案】A 【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 【名師點(diǎn)睛】聯(lián)系已

10、知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題． 11. 【2015陜西理12】對二次函數(shù)（為非零常數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是（ ） A．是的零點(diǎn) B．1是的極值點(diǎn) C．3是的極值 D. 點(diǎn)在曲線上 【答案】A 【解析】若選項(xiàng)A錯(cuò)誤時(shí)，選項(xiàng)B、C、D正確，，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，是的極值，所以，即，解得：，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線

11、上，所以，即，解得：，所以，，所以，因?yàn)?，所以不是的零點(diǎn)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B、C、D正確，故選A． 【考點(diǎn)定位】1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是函數(shù)的零點(diǎn)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于難題．解題時(shí)一定要抓住重要字眼“有且僅有一個(gè)”和“錯(cuò)誤”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解推斷結(jié)論的試題時(shí)一定要萬分小心，除了作理論方面的推導(dǎo)論證外，利用特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，也可作必要的合情推理． 二、填空題 1. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線 在點(diǎn)處的切線方程是_______________． 【答案】 【解析】 試題分析：當(dāng)時(shí)，，則．

12、又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即． 考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性與解析式；2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義． 【知識(shí)拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為． 2. 【2014廣東理10】曲線在點(diǎn)處的切線方程為 . 【答案】或. 【解析】，所求切線的斜率為， 故所求切線的方程為，即或. 【考點(diǎn)定位】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象的切線問題，屬于容易題. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的方程，屬于容易題．解題時(shí)一定要抓住重要

13、字眼“在點(diǎn)處”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題時(shí)一定要抓住切點(diǎn)的三重作用：①切點(diǎn)在曲線上；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率． 3. 【2014江蘇理11】在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線（為常數(shù)）過點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則 . 【答案】 【解析】曲線過點(diǎn)，則①，又，所以②，由①②解得所以． 【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)與切線斜率． 【名師點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考的重點(diǎn)，求解時(shí)應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，利用這一點(diǎn)可以解決有關(guān)導(dǎo)數(shù)的幾何意義等問題.歸納起來常見的命題角度有： (1)求切線方程；(2)求切點(diǎn)坐標(biāo)；3)求參數(shù)的值. 4.

14、 【2015湖南理11】 . 【答案】. 【解析】 試題分析：. 【考點(diǎn)定位】定積分的計(jì)算. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于容易題，定積分的計(jì)算通常有兩類基本方法：一是利用牛頓-萊布尼茨定理；二是利用定積分的幾何意義求解. 5. 【2015陜西理16】如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 ． 【答案】 【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示： 原始的最大流量是，設(shè)拋物線的方程為（），因?yàn)樵搾佄锞€過點(diǎn)，所以，解得，所以

15、，即，所以當(dāng)前最大流量是，故原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值是，所以答案應(yīng)填：． 【考點(diǎn)定位】1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義． 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是定積分、拋物線的方程和定積分的幾何意義，屬于難題．解題時(shí)一定要抓住重要字眼“原始”和“當(dāng)前”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是定積分的幾何意義，即由直線，，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積是． 6. 【2015天津理11】曲線 與直線 所圍成的封閉圖形的面積為 . 【答案】 【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，解議程組得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖可知峽谷曲線所圍成的封閉圖

16、形的面積 . 【考點(diǎn)定位】定積分幾何意義與定積分運(yùn)算. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查定積分幾何意義與運(yùn)算能力.定積分的幾何意義體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的典型示范，既考查微積分的基本思想又考查了學(xué)生的作圖、識(shí)圖能力以及運(yùn)算能力. 三、解答題 1【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). (I)求a的取值范圍； (II)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明：. 【答案】 試題解析;（Ⅰ）． （i）設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn)． （ii）設(shè),則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增． 又,,取滿足且,則 , 故存在兩個(gè)零點(diǎn)． （iii）設(shè),由得或． 若,則,故當(dāng)

17、時(shí),,因此在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)． 若,則,故當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上,的取值范圍為． （Ⅱ）不妨設(shè),由（Ⅰ）知,,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即． 由于,而,所以 ． 設(shè),則． 所以當(dāng)時(shí),,而,故當(dāng)時(shí),． 從而,故． 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】,對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)問題,通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；,解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解. 2. 【2016高考山東理數(shù)】(本小題滿分13分)

18、 已知. （I）討論的單調(diào)性； （II）當(dāng)時(shí)，證明對于任意的成立. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求的導(dǎo)函數(shù)，對a進(jìn)行分類討論，求的單調(diào)性； （Ⅱ）要證對于任意的成立，即證，根據(jù)單調(diào)性求解. 試題解析： （Ⅰ）的定義域?yàn)椋? . 當(dāng)， 時(shí)，，單調(diào)遞增； ，單調(diào)遞減. 當(dāng)時(shí)，. （1），， 當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減； （2）時(shí)，，在內(nèi)，，單調(diào)遞增； （3）時(shí)，， 當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減. 綜上所述， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增；

19、當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增； 當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，時(shí)， ，， 令，. 則， 由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào). 又， 設(shè)，則在單調(diào)遞減， 因?yàn)椋? 所以在上存在使得 時(shí)，時(shí)，， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減， 由于，因此，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)， 所以， 即對于任意的恒成立。 考點(diǎn)：1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值；2.分類討論思想. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類討

20、論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等. 3.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分） 已知函數(shù). 設(shè). （1）求方程的根; （2）若對任意,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值； （3）若，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求的值。 【答案】（1）①0 ②4（2）1 【解析】 試題解析：（1）因?yàn)椋? ①方程，即，亦即， 所以，于是，解得. ②由條件知. 因?yàn)閷τ诤愠闪?，且? 所以對于恒成立. 而，且， 所以，故實(shí)數(shù)的最大值為4. （2）因?yàn)楹瘮?shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，而， 所以0是函數(shù)的唯一

21、零點(diǎn). 因?yàn)?，又由知? 所以有唯一解. 令，則， 從而對任意，，所以是上的單調(diào)增函數(shù)， 于是當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，. 因而函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù). 下證. 若，則，于是， 又，且函數(shù)在以和為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點(diǎn)，記為. 因?yàn)?，所以，又，所以與“0是函數(shù)的唯一零點(diǎn)”矛盾. 若，同理可得，在和之間存在的非0的零點(diǎn)，矛盾. 因此，. 于是，故，所以. 考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、基本不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn) 【名師點(diǎn)睛】對于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)

22、的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù). 4. 【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù),，其中 (I)求的單調(diào)區(qū)間； (II) 若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：； （Ⅲ）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于. 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）詳見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否存在情況，分類討論：①當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為.②當(dāng)時(shí)，存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間 試題

23、解析：（Ⅰ）解：由，可得. 下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為. （2）當(dāng)時(shí)，令，解得，或. 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，. （Ⅱ）證明：因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以由（Ⅰ）知，且，由題意，得，即， 進(jìn)而. 又 ，且，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實(shí)數(shù)滿足 ，且，因此，所以； （Ⅲ）證明：設(shè)在區(qū)間上的最大值為，表示兩數(shù)的最大值.下面分三種情況同理： （1）當(dāng)時(shí)，，由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以

24、在區(qū)間上的取值范圍為，因此 ，所以. （2）當(dāng)時(shí)，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此 . 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式 【名師點(diǎn)睛】1.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)； (2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)； (3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集． (4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數(shù)時(shí)，可分類討論求得單調(diào)區(qū)間． 2．由函數(shù)f(x)在(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題，

25、可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，要注意“＝”是否可以取到． 5．(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R). (1)當(dāng)k＝1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng)k∈時(shí),求函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M. 【答案】(1)詳見解析 (2)詳見解析 【解析】(1)當(dāng)k＝1時(shí), f(x)＝(x－1)ex－x2,f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2), 令f′(x)＝0,得x1＝0,x2＝ln 2, 當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化如下表： x (－∞,0) 0 (0,ln 2) l

26、n 2 (ln 2,＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 由表可知,函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(0,ln 2),遞增區(qū)間為(－∞,0),(ln 2,＋∞). (2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k), 令f′(x)＝0,得x1＝0,x2＝ln(2k), 令g(k)＝ln(2k)－k,k∈, 則g′(k)＝－1＝≥0, 所以g(k)在上單調(diào)遞增. 所以g(k)≤ln 2－1＝ln 2－ln e＜0. 從而ln(2k)＜k,所以ln(2k)∈(0,k). 所以當(dāng)x∈(0,ln(2k)

27、)時(shí),f′(x)＜0； 當(dāng)x∈(ln(2k),＋∞)時(shí),f′(x)＞0； 所以M＝max{f(0),f(k)} ＝max{－1,(k－1)ek－k3}. 令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1, 則h′(k)＝k(ek－3k), 令φ(k)＝ek－3k,則φ′(k)＝ek－3≤e－3＜0. 所以φ(k)在上單調(diào)遞減, 而·φ(1)＝(e－3)＜0, 所以存在x0∈使得φ(x0)＝0,且當(dāng)k∈時(shí),φ(k)＞0, 當(dāng)k∈(x0,1)時(shí),φ(k)＜0, 所以φ(k)在上單調(diào)遞增,在(x0,1)上單調(diào)遞減. 因?yàn)?h(1)＝0, 所以h(k)≥0在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取得

28、“＝”. 綜上,函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M＝(k－1)ek－k3. 【考點(diǎn)定位】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于拔高題 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于難題．解題時(shí)一定要抓住重要字眼“單調(diào)區(qū)間”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間，令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間．求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：①求函數(shù)在內(nèi)的極值；②將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． 6. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】設(shè)函數(shù)，其中，記的

29、最大值為． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）證明． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）直接可求；（Ⅱ）分兩種情況，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求出，但須注意當(dāng)時(shí)還須進(jìn)一步分為兩種情況求解；（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到，然后分，三種情況證明． 試題解析：（Ⅰ）． （Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 因此，． ………4分 當(dāng)時(shí)，將變形為． 令，則是在上的最大值，，，且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為． 令，解得（舍去），． （Ⅲ）由（Ⅰ）得. 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，，所以. 當(dāng)時(shí)，，所以. 考點(diǎn)：1、三角恒等變換；2、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；3、三角函數(shù)的有界性． 【歸納總結(jié)】

30、求三角函數(shù)的最值通常分為兩步：（1）利用兩角和與差的三角公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式將解析式化為形如的形式；（2）結(jié)合自變量的取值范圍，結(jié)合正弦曲線與余弦曲線進(jìn)行求解． 7. 【2016高考浙江理數(shù)】（本小題15分）已知，函數(shù)F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}， 其中min{p，q}= （I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍； （II）（i）求F（x）的最小值m（a）； （ii）求F（x）在區(qū)間[0,6]上的最大值M（a）. 【答案】（I）；（II）（i）；（ii）． 【解析】 試題分析：（I）分別對和兩種情況討論，進(jìn)而可得使得

31、等式成立的的取值范圍；（II）（i）先求函數(shù)，的最小值，再根據(jù)的定義可得的最小值；（ii）分別對和兩種情況討論的最大值，進(jìn)而可得在區(qū)間上的最大值． 試題解析：（I）由于，故 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，． 所以，使得等式成立的的取值范圍為 ． （II）（i）設(shè)函數(shù)，，則 ，， 所以，由的定義知，即 ． （ii）當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)， ． 所以， ． 考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性與最值；2、分段函數(shù)；3、不等式． 【思路點(diǎn)睛】（I）根據(jù)的取值范圍化簡，即可得使得等式成立的的取值范圍；（II）（i）先求函數(shù)和的最小值，再根據(jù)的定義可得；（ii）根據(jù)的取值范圍求出的最大值，進(jìn)而可得．

32、8. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，； (Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，證明結(jié)論；（Ⅱ）用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)，又用導(dǎo)數(shù)法求解. （II） 由（I）知，單調(diào)遞增，對任意 因此，存在唯一使得即， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增. 因此在處取得最小值，最小值為 于是，由單調(diào)遞增 所以，由得 因?yàn)閱握{(diào)遞增，對任意存在唯一的 使得所以的值域是 綜上，當(dāng)時(shí)，有，的值域是 考點(diǎn)： 函數(shù)的

33、單調(diào)性、極值與最值. 【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)； (3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相應(yīng)的x的范圍． 當(dāng)f′(x)＞0時(shí)，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f′(x)＜0時(shí)，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù)，還可以列表，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 注意：求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論；另外注意函數(shù)最值是個(gè)“整體”概念，而極值是個(gè)“局部”概念． 9【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分） 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為， （1）求，的值； （2）求的單調(diào)區(qū)間.

34、【答案】（Ⅰ），；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)題意求出，根據(jù)，，求，的值； （2）由題意知判斷，即判斷的單調(diào)性，知，即，由此求得的單調(diào)區(qū)間. 故是在區(qū)間上的最小值， 從而. 綜上可知，，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為. 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. 【名師點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的間斷點(diǎn)． 10. 【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

35、 （Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性； （Ⅱ）確定a的所有可能取值，使得在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)). 【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，<0，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，>0，單調(diào)遞增；（Ⅱ）. 【解析】 試題解析：（I） <0，在內(nèi)單調(diào)遞減. 由=0，有. 此時(shí)，當(dāng)時(shí)，<0，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，>0，單調(diào)遞增. （II）令=，=. 則=. 而當(dāng)時(shí)，>0， 所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. 又由=0，有>0， 從而當(dāng)時(shí)，>0. 當(dāng)，時(shí)，=. 故當(dāng)>在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí)，必有. 當(dāng)時(shí)，>1. 由（I）有,從而， 所以此時(shí)>在區(qū)間內(nèi)不恒成立. 當(dāng)時(shí)，令， 當(dāng)時(shí)，，

36、 因此，在區(qū)間單調(diào)遞增. 又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)， ，即 恒成立. 綜上，． 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值、解決恒成立問題. 【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值、解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力．求函數(shù)的單調(diào)性，基本方法是求，解方程，再通過的正負(fù)確定的單調(diào)性；要證明函數(shù)不等式，一般證明的最小值大于0，為此要研究函數(shù)的單調(diào)性．本題中注意由于函數(shù)有極小值沒法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍．比較新穎，學(xué)生不易想到．有一定的難度． 11. 【2014安徽理18】（本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù),其中． （1）

37、討論在其定義域上的單調(diào)性； （2） 當(dāng)時(shí)，求取得最大值和最小值時(shí)的的值． 【答案】（1）在和內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）所以當(dāng)時(shí)，在處取得最小值；當(dāng)時(shí)，在和處同時(shí)取得最小只；當(dāng)時(shí)，在處取得最小值． 【解析】 試題分析：（1）對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，，令，解得，當(dāng)或時(shí)；從而得出，當(dāng)時(shí)，．故在和內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．（2）依據(jù)第（1）題，對進(jìn)行討論，①當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以在和處分別取得最小值和最大值．②當(dāng)時(shí)，．由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此在處取得最大值．又，所以當(dāng)時(shí)，在處取得最小值；當(dāng)時(shí)，在和處同時(shí)取得最小只；當(dāng)時(shí)，在處取得最小值． 試題解析：（1）的

38、定義域?yàn)?，．令，得，所以．?dāng)或時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在和內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增． （2） 因?yàn)?，所以? ①當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以在和處分別取得最小值和最大值．②當(dāng)時(shí)，．由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此在處取得最大值．又，所以當(dāng)時(shí)，在處取得最小值；當(dāng)時(shí)，在和處同時(shí)取得最小只；當(dāng)時(shí)，在處取得最小值． 考點(diǎn)：1．含參函數(shù)的單調(diào)性；2．含參函數(shù)的最值求解． 【名師點(diǎn)睛】含參函數(shù)的單調(diào)性求解步驟如下：第一步，求函數(shù)的定義域；第二步，求導(dǎo)函數(shù)；第三步，以導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)存在性進(jìn)行討論；第四步，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)存在多個(gè)零點(diǎn)時(shí)，討論它們的大小關(guān)系及區(qū)間位置關(guān)系；第五步，畫出導(dǎo)函數(shù)的同號(hào)函數(shù)草

39、圖，從而判斷其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)；第六步，根據(jù)第五步的草圖列出，隨變化的情況表，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第七步，綜合上述討論的情形，完整地寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 12. 【2014北京理18】(本小題13分)已知函數(shù)f(x)＝xcos x－sin x，. (1)求證：f(x)≤0； (2)若對恒成立，求a的最大值與b的最小值． 分析：(1)先求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)，利用導(dǎo)函數(shù)在上的符號(hào)判斷f(x)在上的單調(diào)性，并求 出其最大值，即可證得結(jié)論；(2)根據(jù)x＞0，將不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為 與0的大小關(guān)系，注意對參數(shù)c的取值要分c≤0，c≥1和0＜c＜1三種 情況進(jìn)行分類討論，然后利用邊

40、界值求出a的最大值與b的最小值． 解析：(1)證明：由f(x)＝xcos x－sin x得f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 因?yàn)樵趨^(qū)間上f′(x)＝－xsin x＜0，所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減． 從而f(x)≤f(0)＝0. (2)解：當(dāng)x＞0時(shí)，“”等價(jià)于“sin x－ax＞0”；“”等價(jià)于“sin x－bx＜0”． 令g(x)＝sin x－cx，則g′(x)＝cos x－c. 當(dāng)c≤0時(shí)，g(x)＞0對任意恒成立． 當(dāng)c≥1時(shí)，因?yàn)閷θ我?，g′(x)＝cos x－c＜0， 所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減． 從而g(x)＜g(0)＝0對任

41、意恒成立． 當(dāng)0＜c＜1時(shí)，存在唯一的使得g′(x0)＝cos x0－c＝0. g(x)與g′(x)在區(qū)間上的情況如下： x (0，x0) x0 \a\vs4\al\co1(x0，\f(π2)) g′(x) ＋ 0 － g(x) 因?yàn)間(x)在區(qū)間[0，x0]上是增函數(shù)， 所以g(x0)＞g(0)＝0. 進(jìn)一步，“g(x)＞0對任意恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)，即. 綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，g(x)＞0對任意恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c≥1時(shí)，g(x)＜0對任意 恒成立． 所以，若對任意恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1. 考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)工

42、具研究函數(shù)，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、 最值，本題還涉及構(gòu)造函數(shù)，利用構(gòu)造的函數(shù)解決問題. 【名師點(diǎn)睛】本題本題考點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題屬于中偏難問題，學(xué)生解答有一定的困難，分兩步，第 一步為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求最值，利用最值證明不等式，這是一步常規(guī)題，容易入手容易 得分，但第二步構(gòu)造函數(shù)解題較難，近幾年高考在導(dǎo)數(shù)命題上難度較大，命題方向也較多，常常要構(gòu)造 函數(shù)，思維巧妙，有選拔優(yōu)秀學(xué)生的功能. 13. 【2014福建,理20】（本小題滿分14分） 已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處 的切線斜率為-1. （I）求的值及函數(shù)的極值； （II）證明：

43、當(dāng)時(shí)，； （III）證明：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)，恒有. 【答案】（I）,極值參考解析;（II）參考解析;（III）參考解析 【解析】 試題解析：解法一:（I）由，得.又,得.所以.令,得.當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí), 取得極小值,且極小值為無極大值. （II）令,則.由（I）得,故在R上單調(diào)遞增,又,因此,當(dāng)時(shí), ,即. （III）①若,則.又由（II）知，當(dāng)時(shí), .所以當(dāng)時(shí), .取,當(dāng)時(shí)，恒有. ②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.令,則.所以當(dāng)時(shí), 在內(nèi)單調(diào)遞增.取,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.又.易知.所以.即存在,當(dāng)時(shí)，恒

44、有. 綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在,當(dāng)時(shí),恒有. 解法三: （I）同解法一. （II）同解法一. （III）首先證明當(dāng)時(shí),恒有.證明如下:令則.由（II）知,當(dāng)時(shí), .從而在單調(diào)遞減,所以即.取,當(dāng)時(shí),有.因此,對任意給定的正數(shù),總存在,當(dāng)時(shí),恒有. 注:對c的分類不同有不同的方式，只要解法正確，均相應(yīng)給分. 考點(diǎn)：1.函數(shù)的極值.2.構(gòu)建新函數(shù)證明不等式.3.開放性題.4.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.5.運(yùn)算能力.6.分類討論的數(shù)學(xué)思想. 【名師點(diǎn)睛】本題把導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值、不等式證明結(jié)合在一起考查，綜合性強(qiáng)，難度大，后兩問涉及到不等式證明，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)

45、,解決此類問題的基本思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值破解. 14. 【2014廣東理21】(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)，其中. (1)求函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示)； (2)討論函數(shù)在上的單調(diào)性； (3)若，求上滿足條件的的集合(用區(qū)間表示). 【答案】(1)； (2) 函數(shù)在，上單調(diào)遞增， 在，上單調(diào)遞減； (3) . 【解析】(1)可知， ， 或， 或， 或， 或或， 所以函數(shù)的定義域?yàn)? ； (2)， 由得，即， 或，結(jié)合定義域知或， 所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增， 在，上單調(diào)遞減； (3)由得， ， ， ， 或或或， ，，

46、， ，， 結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性知的解集為 . 【考點(diǎn)定位】本題以復(fù)合函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域.單調(diào)區(qū)間以及不等式的求解，從中滲透了二次不等式的求解，在求定義域時(shí)考查了分類討論思想，以及利用作差法求解不等式的問題，綜合性強(qiáng)，屬于難題. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和解不等式，屬于難題．解題時(shí)一定要抓住重要字眼“單調(diào)性”和“用區(qū)間表示”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間，令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間． 15. 【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】（本題滿分

47、14分） 為圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）求，，，，，這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)； （3）將，，，，，這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論. 【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）最大數(shù)為，最小數(shù)為；（3），，，，，. 【解析】 試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合函數(shù)根據(jù)函數(shù)、、的性質(zhì)，確定，，，，，這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；（3）由（1），（2）的結(jié)論只需比較與和與的大小，時(shí)，，即，在上式中，令，又，則，即得，整理得，估算的值，比較與3的大小，從而確定與

48、的大小關(guān)系，再根據(jù)，確定與的大小關(guān)系，最后確定6個(gè)數(shù)從小到大的順序. （2）因?yàn)?，所以，，即，? 于是根據(jù)函數(shù)、、在定義域上單調(diào)遞增， 所以，， 故這6個(gè)數(shù)的最大數(shù)在與之中，最小數(shù)在與之中， 由及（1）的結(jié)論得，即， 由得，所以， 由得，所以， 綜上，6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為. （3）由（2）知，，，又由（2）知，， 故只需比較與和與的大小， 由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即， 在上式中，令，又，則，即得① 由①得，， 即，亦即，所以， 又由①得，，即，所以， 綜上所述，，即6個(gè)數(shù)從小到大的順序?yàn)?，，，，? 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

49、，比較大小. 【名師點(diǎn)睛】作為一道壓軸大題，以函數(shù)作為主線，重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性與極值中的應(yīng)用，其解題思路為：第一問直接對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并分別令導(dǎo)數(shù)大于0、小于0即可求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；第二問 運(yùn)用函數(shù)、、在定義域上單調(diào)性及（1）的結(jié)論構(gòu)造不等式逐個(gè)進(jìn)行比較，確定出其最大的數(shù)和最小的數(shù)即可；第三問合理地運(yùn)用第一問的結(jié)論，運(yùn)用賦值法建立不等關(guān)系，進(jìn)而判斷其大小關(guān)系即可. 16. 【2014湖南理22】已知常數(shù),函數(shù). (1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性; (2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,求的取值范圍. 【答案】(1)詳見解析 (2) 【解析】 試題分析:(1)首先對函數(shù)求導(dǎo)并化簡得

50、到導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)的分母恒大于0,分子為含參的二次函數(shù),故討論分子的符號(hào),確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性,即分和得到導(dǎo)函數(shù)分子大于0和小于0的解集進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性. (2)利用第(1)可得到當(dāng)時(shí),導(dǎo)數(shù)等于0有兩個(gè)根,根據(jù)題意即為兩個(gè)極值點(diǎn),首先導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個(gè)根必須在原函數(shù)的可行域內(nèi),把關(guān)于的表達(dá)式帶入,得到關(guān)于的不等式,然后利用導(dǎo)函數(shù)討論的取值范圍使得成立.即可解決該問題. 試題解析:(1)對函數(shù)求導(dǎo)可得 ,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),即時(shí),恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí), ,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的. (2)函數(shù)的定義域?yàn)?由(1)可得當(dāng)時(shí),,則 ,即,則為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),

51、代入可得 = 令,令,由知: 當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí),,對求導(dǎo)可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即不符合題意. 當(dāng)時(shí), ,對求導(dǎo)可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即恒成立, 綜上的取值范圍為. 【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及極值的判斷，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求極值的能力，考查分類討論思想及轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用和運(yùn)算能力，邏輯性綜合性強(qiáng)，屬難題．1．函數(shù)的單調(diào)性在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為增函數(shù)． f′(x)≤0?f(x)

52、在(a，b)上為減函數(shù)． 2．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為

53、極值． 3．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值． 4．重難點(diǎn)剖析：(1)f′(x)>0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系：f′(x)>0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定．如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分 不必要條件．(2)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即

54、f′(x0)＝0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件．例如函數(shù)y＝x3在x＝0處有y′|x＝0＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)．此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)． (3)可導(dǎo)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較． 17. 【2014江蘇理19】（滿分16分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù). （1）證明：是上的偶函數(shù)； （2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）已知正數(shù)滿足：存在，使得成立，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論. 【答案】（1）證明見解析；（2）

55、；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． 【解析】 （3）由題意，不等式在上有解，由得，記，，顯然，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)椋?，故函?shù)在上增函數(shù)，，于是在上有解，等價(jià)于，即．考察函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，，，所以當(dāng)時(shí)，，即，，當(dāng)時(shí)，，，即，，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． 【考點(diǎn)定位】（1）偶函數(shù)的判斷；（2）不等式恒成立問題與函數(shù)的交匯；（3）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，比較大?。? 【名師點(diǎn)晴】解決含參數(shù)問題及不等式問題中的兩個(gè)轉(zhuǎn)化 1．利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 2．將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的

56、判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理． 18. 【2014遼寧理21】（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，. 證明：（Ⅰ）存在唯一，使； (Ⅱ)存在唯一，使，且對（1）中的. 【答案】（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) 詳見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)，又，所以存在唯一，使.（Ⅱ）考慮函數(shù)，令，則時(shí)，， 記，則 ，有（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.在上是增函數(shù)，又，從而當(dāng)時(shí)，，所以在上無零點(diǎn).在上是減函數(shù)，又，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故與有相同的零點(diǎn)，所以存在唯一的，使.因，所以，即命題得證. 試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在

57、上為減函數(shù)，又，所以存在唯一，使. （Ⅱ）考慮函數(shù)， 令，則時(shí)，， 記，則 ， 因，所以 考點(diǎn)：1.零點(diǎn)唯一性的判斷；2.函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用. 【名師點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、零點(diǎn)唯一性的判斷、不等式的證明等.解答本題的主要困難是構(gòu)造函數(shù)，并進(jìn)一步應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等. 本題是一道能力題，屬于難題.在考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、零點(diǎn)唯一性的判斷、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的同時(shí)，考查考生的計(jì)算能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想想. 19. 【2014全國1理21】（12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為 （I）求 （II）證

58、明： 【答案】（I）；（II）詳見解析. 【解析】 試題解析：（I）函數(shù)的定義域?yàn)椋? 由題意可得，．故． （II）由（I）知，，從而等價(jià)于，設(shè)函數(shù)，則．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在遞減，在遞增，從而在的最小值為．設(shè)，則．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在遞增，在遞減，從而在的最大值為．綜上，當(dāng)時(shí)，，即． 【考點(diǎn)定位】1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值． 【名師點(diǎn)睛】本題主要靠導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的證明，考查分類討論思想，意在考查考生的邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.導(dǎo)函數(shù)解答題中貫穿始終的數(shù)學(xué)思想方法，在含有參數(shù)的試題中分類與整合思想是必要的

59、，解題時(shí)常把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)等. 20. 【2014全國卷2理21】（本小題滿分12分） 已知函數(shù)=. （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值； （Ⅲ）已知，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001） （2）當(dāng)時(shí)，若滿足，即時(shí)，，而， 因此當(dāng)時(shí)，， 綜上，的最大值為2. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，， 當(dāng)時(shí)，，； 當(dāng)時(shí)，，， ，所以的近似值為. 【考點(diǎn)定位】1. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2. 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式． 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的的單調(diào)性、切線、函數(shù)的值域，等價(jià)轉(zhuǎn)化，綜合性強(qiáng)，屬于難題，第二問，需利用對數(shù)

60、函數(shù)的單調(diào)性將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化后，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值即可．第三問，要求適當(dāng)?shù)姆趴s與估值，要求學(xué)生有較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力． 21. 【2014陜西理21】（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù). （1） ，求的表達(dá)式； （2） 若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）設(shè)，比較與的大小，并加以證明. 【答案】（1）；（2）；（3），證明見解析. 【解析】 試題分析：（1）易得，且有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，繼而得，經(jīng)檢驗(yàn)，所以； （2） 在范圍內(nèi)恒成立，等價(jià)于成立，令 ，即成立，，令，得，分和兩種情況

61、討論，分別求出的最小值，繼而求出的取值范圍； （3）由題設(shè)知：，，比較結(jié)果為：，證明如下：上述不等式等價(jià)于 在（2）中取，可得，令，則，即，使用累加法即可證明結(jié)論. 試題解析：，， （1） ，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí) ，，即 數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列 當(dāng)時(shí)， （2）在范圍內(nèi)恒成立，等價(jià)于成立 令，即恒成立， 令，即，得 當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增 所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立； 當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以 設(shè) 因?yàn)椋?，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞減 所以，即 所以不恒成立 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范

62、圍為 （3）由題設(shè)知：， 比較結(jié)果為： 證明如下： 上述不等式等價(jià)于 在（2）中取，可得 令，則，即 故有 上述各式相加可得： 結(jié)論得證. 考點(diǎn)：等差數(shù)列的判斷及通項(xiàng)公式；函數(shù)中的恒成立問題；不等式的證明. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是等差數(shù)列的判斷及通項(xiàng)公式；函數(shù)中的恒成立問題；不等式的證明和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．解題時(shí)一定要抓住重要條件“”，逐步推到才能得到的表達(dá)式，對于第（2）問可構(gòu)造新函數(shù)，即恒成立，討論其單調(diào)性即可得到所要求的結(jié)果；第（3）問實(shí)際上是一個(gè)累加的過程 22. 【2014高考重慶理第20題】（本小題滿分12分，（Ⅰ）小

63、問4分，（Ⅱ）小問3分，（Ⅲ）小問5分） 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為. （Ⅰ）確定的值； （Ⅱ）若，判斷的單調(diào)性； （Ⅲ）若有極值，求的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增函數(shù)；（Ⅲ）. 【解析】 試題解析： 解：（Ⅰ）對求導(dǎo)得，由為偶函數(shù)，知， 即，因，所以 又，故. （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，那么 故在上為增函數(shù). （Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 下面分三種情況進(jìn)行討論. 當(dāng)時(shí)，對任意，此時(shí)無極值； 當(dāng)時(shí)，對任意，此時(shí)無極值； 當(dāng)時(shí)，令，注意到方程有兩根， 即有兩個(gè)根或. 當(dāng)時(shí)，；又當(dāng)時(shí)，從而在處取得極小值. 綜上，若有極值

64、，則的取值范圍為. 考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、分類討論的思想. 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的的單調(diào)性、切線、函數(shù)的值域，等價(jià)轉(zhuǎn)化，綜合性強(qiáng)，屬于較難題，第二問，需用基本不等式判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可．第三問，要注意分類計(jì)論，要求學(xué)生有較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力． 23 【2015安徽理21】（本小題滿分13分） 設(shè)函數(shù). （Ⅰ）討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值； （Ⅱ）記，求函數(shù)在上的最大值D； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求滿足時(shí)的最大值. 【答案】（Ⅰ）極小值為；（Ⅱ）；

65、（Ⅲ）1. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）將代入為，. 求導(dǎo)得，.因?yàn)?，所?按的范圍分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值.②當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，無極值.③當(dāng)，在內(nèi)存在唯一的，使得.時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.因此，，時(shí)，函數(shù)在處有極小值.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，依據(jù)絕對值不等式可知，從而能夠得出函數(shù)在上的最大值為.（Ⅲ）當(dāng)，即，此時(shí)，從而.依據(jù)式子特征取，則，并且.由此可知，滿足條件的最大值為1. （Ⅱ）時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，取，等號(hào)成立， 當(dāng)時(shí)，取，等號(hào)成立， 由此可知，函數(shù)在上的最大值為. （Ⅲ），即，此時(shí)，從而. 取

66、，則，并且. 由此可知，滿足條件的最大值為1. 【考點(diǎn)定位】1.函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；2.絕對值不等式的應(yīng)用. 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想方法，在含有參數(shù)的試題中，分類與整合思想是必要的，由于是函數(shù)問題，所以函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想也是必要的，把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題等，轉(zhuǎn)化與化歸思想也起著同樣的作用，解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的解答題要充分注意數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用. 24. 【2015北京理18】（本小題13分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，； （Ⅲ）設(shè)實(shí)數(shù)使得對恒成立，求的最大值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）證明見解析，（Ⅲ）的最大值為2. 【解析】 試題解析：（Ⅰ），曲線在點(diǎn)處的切線方程為； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，即不等式，對成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在（0，1）上為增函數(shù)，則，因此對，成立； （Ⅲ）使成立，，等價(jià)于，；， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)，，符合題意； 當(dāng)時(shí)，令， - 0 + 極小值 ，顯然不成立， 綜上所述可知：的