《高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案: 空間向量及其運算備考策略》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案: 空間向量及其運算備考策略(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
空間向量及其運算備考策略
主標(biāo)題:空間向量及其運算備考策略
副標(biāo)題:通過考點分析高考命題方向,把握高考規(guī)律,為學(xué)生備考復(fù)習(xí)打通快速通道。
關(guān)鍵詞:空間向量,坐標(biāo)運算,數(shù)量積,備考策略
難度:2
重要程度:4
內(nèi)容
考點一 空間向量的線性運算
【例1】 如圖所示,已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC,M,N分別為OA、BC的中點,點G在線段MN上,且=2,若=x+y+z,則x,y,z的值分別為________________.
解析 ∵=+=+
=+(-)=+-
=+×(+)-×
=++,
又=x+y+z,
根據(jù)空間向量的基本定理,x=,y=z
2、=.
答案 ,,
【備考策略】 (1)選定空間不共面的三個向量作基向量,并用它們表示出指定的向量,是用向量解決立體幾何問題的基本要求.如本例用,,表示,等,另外解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形,聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等,就近表示所需向量.
(2)首尾相接的若干個向量的和,等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量.所以在求若干向量的和,可以通過平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.
【訓(xùn)練1】 如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點.設(shè)E是棱DD1上的點,且=,試用,,表示.
解 =+
=+=+(+)
=++
=--.
考點二 共線定理、共面定理的應(yīng)用
3、
【例2】 已知E,F(xiàn),G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,用向量方法求證:
(1)E,F(xiàn),G,H四點共面;
(2)BD∥平面EFGH.
證明 (1)連接BG,則=+=+(+)=++=+,由共面向量定理知:E,F(xiàn),G,H四點共面.
(2)因為=-=-=(-)=,因為E,H,B,D四點不共線,所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH,BD?平面EFGH,
所以BD∥平面EFGH.
【備考策略】 證明點共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題,如要證明P,A,B,C四點共面,只要能證明=x+y或?qū)臻g任一點O,有=+x+y或=x+y+z(x+y
4、+z=1)即可.共面向量定理實際上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件.
【訓(xùn)練2】 已知A,B,C三點不共線,對平面ABC外的任一點O,若點M滿足=(++).
(1)判斷,,三個向量是否共面;
(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).
解 (1)由已知++=3 ,
∴-=(-)+(-),
即=+=--,
∴,,共面.
(2)由(1)知,,,共面且基線過同一點M,
∴四點M,A,B,C共面,從而點M在平面ABC內(nèi).
考點三 空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
【例3】 如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,把△ADC沿對角線AC折起,使AB與CD成60°角,求BD的長.
思路 由圖形折疊的相關(guān)知識得到折疊后圖形中線段的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,然后用,,表示,根據(jù)||=求解.
解 ∵AB與CD成60°角,∴<,>=60°或120°,
又∵AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB,
∴||==
=
=
=,
∴||=2或.
∴BD的長為2或.
【備考策略】 (1)利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑:一是根據(jù)數(shù)量積的定義,利用模與夾角直接計算;二是利用坐標(biāo)運算.
(2)利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題.
①a≠0,b≠0,a⊥b?a·b=0;
②|a|=;
③cos=.