《高考數(shù)學(xué) 第十一章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第9節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 理 新人教B版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 第十一章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第9節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 理 新人教B版（47頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第9節(jié)隨機(jī)變量的節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)字特征最新考綱1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念；2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡單實(shí)際問題.知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差 設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1，x2，xn，這些值對(duì)應(yīng)的概率是p1，p2，pn.(1)數(shù)學(xué)期望：稱E(X)_為離散型隨機(jī)變量X的均值或_ (簡稱期望)，它刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的_x1p1x2p2xnpn數(shù)學(xué)期望平均取值水平(2)方差：稱_叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差，即反映了離散型隨機(jī)變量取值相對(duì)于_的_(或說_)，D(X)的_叫做離散型隨機(jī)變量X

2、的標(biāo)準(zhǔn)差D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn期望平均波動(dòng)大小離散程度2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)_.(2)D(aXb)_(a，b為常數(shù)).3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)_，D(X)_.(2)若XB(n，p)，則E(X)_，D(X)_.aE(X)ba2D(X)p(1p)pnpnp(1p)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān).()(2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量.()(3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平

3、均程度越小.()(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事.()診診 斷斷 自自 測測解析均值即期望值刻畫了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差刻畫了離散型隨機(jī)變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事，故(1)(4)均不正確.答案(1)(2)(3)(4)2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為答案A3.(教材習(xí)題改編)已知X的分布列為答案A答案B5.(2018北京海淀區(qū)月考)如果隨機(jī)變量XB(n，p)，且E(X)7，D(X)6，則p_.的分布列為規(guī)律方法(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式

4、進(jìn)行計(jì)算.(2)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的應(yīng)用.【訓(xùn)練1】 (2018蚌埠二模)賭博有陷阱.某種賭博游戲每局的規(guī)則是：參與者從標(biāo)有5，6，7，8，9的小球中隨機(jī)摸取一個(gè)(除數(shù)字不同外，其余均相同)，將小球上的數(shù)字作為其賭金(單位：元)，然后放回該小球，再隨機(jī)摸取兩個(gè)小球，將兩個(gè)小球上數(shù)字之差的絕對(duì)值的2倍作為其獎(jiǎng)金(單位：元).若隨機(jī)變量X和Y分別表示參與者在每一局賭博游戲中的贖金與獎(jiǎng)金，則E(X)E(Y)_元.答案3考點(diǎn)二與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值與方差考點(diǎn)二與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值與方差【例2】 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖

5、所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X).解(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2

6、)X可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為因?yàn)閄B(3，0.6)，所以數(shù)學(xué)期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.X0123P0.0640.2880.4320.216規(guī)律方法二項(xiàng)分布的期望與方差.(1)如果B(n，p)，則用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大減少計(jì)算量.(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同樣還可求出D(ab).【訓(xùn)練2】 (2018長沙調(diào)研)為了解一種植物果實(shí)的情況，隨機(jī)抽取一批該植物果實(shí)樣本測量重量(單位：克)，按照2

7、7.5，32.5)，32.5，37.5)，37.5，42.5)，42.5，47.5)，47.5，52.5分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求圖中a的值；(2)估計(jì)這種植物果實(shí)重量的平均數(shù)x和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)已知這種植物果實(shí)重量不低于32.5克的即為優(yōu)質(zhì)果實(shí)，用樣本估計(jì)總體.若從這種植物果實(shí)中隨機(jī)抽取3個(gè)，其中優(yōu)質(zhì)果實(shí)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解(1)組距d5，由5(0.020.040.075a0.015)1得a0.05.(2)各組中點(diǎn)值和相應(yīng)的頻率依次為中點(diǎn)值3035404550頻率0.10.20.3750.250.075X的

8、分布列為E(X)np2.7.X0123P0.0010.0270.2430.729所以，隨機(jī)變量X的分布列為解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元.則X1的分布列為規(guī)律方法隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.【訓(xùn)練3】 (2018河南百校聯(lián)盟調(diào)研)PM2.5是衡量空氣污染程度的一個(gè)指標(biāo)，為了了解某市空氣質(zhì)量情況，從去年每天的PM2.5值的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取40天的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示.現(xiàn)將PM2.5的值劃分為如下等級(jí)用頻率估計(jì)概率

9、.PM2.5值0，100)100，150)150，200)200，250等級(jí)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)(1)估計(jì)該市在下一年的360天中空氣質(zhì)量為一級(jí)天氣的天數(shù)；(2)在樣本中，按照分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值的數(shù)據(jù)，再從這8個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè)，求一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)天氣都有的概率；(3)如果該市對(duì)環(huán)境進(jìn)行治理，治理后經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每天PM2.5值X近似滿足XN(115，752)，則治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了多少？解(1)由樣本空氣質(zhì)量PM2.5的數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知，其頻率分布如下表：由上表可知，如果該市維持現(xiàn)狀不變，則該市下一年的某一天空氣質(zhì)量為一級(jí)天氣的概率為0.25，

10、因此在360天中約有3600.2590天.PM2.5值0，50) 50，100)100，150)150，200)200，250頻率0.1250.1250.3750.250.125(2)在樣本中，按照分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值數(shù)據(jù)，則這8個(gè)數(shù)據(jù)中一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)天氣的數(shù)據(jù)分別有2個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè).從這8個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè)，則這四種天氣都有三種情況：一級(jí)天氣的數(shù)據(jù)有2個(gè)，其余的均為1個(gè)；二級(jí)天氣的數(shù)據(jù)有2個(gè)，其余的均為1個(gè)；三級(jí)天氣的數(shù)據(jù)有2個(gè)，其余的均為1個(gè).(3)如果該市維持現(xiàn)狀不變，則該市的PM2.5值的均值約為E(Y)250.125750.1251250.3751750.252250.125131.25.如果該市對(duì)環(huán)境進(jìn)行治理，則該市的PM2.5值X的均值為E(X)115，因此該市治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了16.25.