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《數(shù)學(xué)建?！氛n程設(shè)計(jì) 報(bào) 告 課題名稱(chēng)：___常染色體遺傳模型 系 （院）： 理學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)： 10122111 學(xué)生姓名： 巫榮 學(xué) 號(hào)： 1012211108 指導(dǎo)教師： 陳宏宇 開(kāi)課時(shí)間： 2011-2012 學(xué)年 二 學(xué)期 常染色體遺傳模型摘要 為了揭示生命的奧秘, 遺傳特征的逐代傳播, 愈來(lái)愈受到人們更多的注意。我們通過(guò)問(wèn)題分析，模型的建立，去解決生物學(xué)的問(wèn)題。為了去研究理想狀態(tài)下常染色體遺傳的情況，我們通過(guò)建立隨機(jī)組合時(shí)常染色體的遺傳模型，可以計(jì)算出各種情況隨機(jī)出現(xiàn)的百分率，并且可以通過(guò)常染色體遺傳模型，算出各個(gè)情況的概率分布，并且通過(guò)模型，分析情況出現(xiàn)的穩(wěn)定性。揭示了常染色體遺傳的分布規(guī)律，揭示了下一代各情形變化的規(guī)律性和穩(wěn)定性。 關(guān)鍵詞：遺傳; 隨機(jī); 百分率; 概率分布; 穩(wěn)定 一、問(wèn)題重述 1.1 問(wèn)題產(chǎn)生背景 常染色體遺傳中，后代從每個(gè)親體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)Γ驅(qū)σ卜Q(chēng)為基因型。如果我們所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和a控制的，那么就有三種基因?qū)?，記為AA, Aa,aa 。例如，金魚(yú)草由兩個(gè)遺傳基因決定花的顏色，基因型是AA的金魚(yú)草開(kāi)紅花， Aa 型的開(kāi)粉紅色花，而aa型的開(kāi)白花。又如人類(lèi)眼睛的顏色也是通過(guò)常染色體遺傳控制的。基因型是AA或Aa 的人，眼睛為棕色，基因型是aa的人，眼睛為藍(lán)色。這里因?yàn)锳A和Aa 都表示了同一外部特征，我們認(rèn)為基因A支配基因a，也可以認(rèn)為基因a對(duì)于A來(lái)說(shuō)是隱性的。當(dāng)一個(gè)親體的基因型為Aa ，而另一個(gè)親體的基因型是aa時(shí)，那么后代可以從aa型中得到基因a，從Aa 型中或得到基因A，或得到基因a。這樣，后代基因型為Aa或aa的可能性相等。下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，以及其后代形成每種基因型的概率，如下表所示。 父體—母體的基因型 AA - AA AA - Aa AA - aa Aa - Aa Aa - aa aa - aa 后代 AA 1 1/2 0 1/4 0 0 基因 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 型 aa 0 0 0 1/4 1/2 1 1.2 問(wèn)題描述 題目：農(nóng)場(chǎng)的植物園中某種植物的基因型為AA, Aa和aa。農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃采用AA型的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過(guò)若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布如何？ 二、問(wèn)題分析 在本問(wèn)題中要知道每一代的基因分布，首先要知道上一代的基因型分布，在自由組合后的所有子代可能出現(xiàn)的基因型（上面已經(jīng)給出）。為了求出每一代的基因型分布，第一步寫(xiě)出第一代的基因型分布；第二步推出第n+1代的基因型分布與第n代的基因型分布的關(guān)系；第三步利用差分方程求出每一代的每種基因型分布通項(xiàng)從而求得任一子代三種基因型的概率分布。 現(xiàn)該農(nóng)場(chǎng)的植物園中某種植物的基因型為AA,Aa和aa.采用AA型基因的植物相結(jié)合培育后代，求若干年后這種植物的任一代的三種基因型分布，首先分析出初始里，AA,Aa,aa這三種基因型植物的大致分布，首先必須分析出初始里AA,Aa,aa這三種基因型植物的大致分布，即它們的數(shù)量比例。根據(jù)生物學(xué)上的知識(shí)，假設(shè)初始時(shí)這三種基因結(jié)合原則可得出：AA基因在與AA結(jié)合時(shí)后代保持AA不變；Aa基因在與AA結(jié)合時(shí)后代有1/2的基因?yàn)锳A，1/2的基因?yàn)锳a；aa基因在與AA結(jié)合時(shí)后代基因全部為Aa。由此可逐步推斷出每年該植物后代的分布，建立一個(gè)差分模型。 三、模型假設(shè) 假設(shè)：（1）令。 設(shè)和分別表示第代植物中，基因型為AA,Aa和aa的植物占植物總數(shù)的百分率。令為第n代植物的基因型分布: 當(dāng)n=0時(shí) 表示植物基因型的初始分布（即培育開(kāi)始時(shí)的分布），顯然有 （2）第n代的分布與第n-1代的分布之間的關(guān)系是通過(guò)上表確定的。 四、變量說(shuō)明 a-第0代中AA所占比例 a(n)-第n代中AA所占比例 b-第0代中Aa所占比例 b(n)-第n 代中Aa所占比例 c-第0代中aa所占比例 c(n)-第n代中Aa所占比例 五、模型的建立與求解 根據(jù)假設(shè)（2），先考慮第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型與AA型結(jié)合，后代全部是AA型；第n-1代的Aa型與AA型結(jié)合，后代是AA型的可能性為1/2，第n-1代的aa型與AA型結(jié)合，后代不可能是AA型。因此，當(dāng)時(shí) 即 類(lèi)似可推出 將式相加，得 根據(jù)假設(shè)（1），有 對(duì)于式、式和式，我們采用矩陣形式簡(jiǎn)記為 其中 式遞推，得 式給出第代基因型的分布與初始分布的關(guān)系。 為了計(jì)算出，我們將M對(duì)角化，即求出可逆矩陣P和對(duì)角陣D，使 因而有 其中 這里是矩陣M的三個(gè)特征值。對(duì)于式中的M，易求得它的特征值和特征向量: 因此, 所以 通過(guò)計(jì)算，因此有 即 所以有 當(dāng)時(shí)，所以從式得到 和=0 因此，得出結(jié)論：在極限的情況下，培育的植物都是AA型。 六、模型的進(jìn)一步分析 在上述問(wèn)題中，我們都選用了基因型AA的植物來(lái)授粉，但是實(shí)際情況中無(wú)法保證每次授粉的母體均是基因型AA，可以是完全隨即的狀態(tài)，所以在進(jìn)行模型的進(jìn)一步分析中，我們選擇了另一種比較有代表性的結(jié)合方式來(lái)研究。這時(shí)我們不選用基因AA型的植物與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因型植物相結(jié)合。即基因型為AA和基因型為AA的植物作為母體和父體，基因型為Aa基因型為Aa的植物作為母體和父體，基因型為aa和基因型為aa的植物作為母體和父體，那么后代具有三代基因型的概率如下表： 父體—母體基因型 AA-AA Aa-Aa aa-aa 后 代 基 因 型 AA 1 1/4 0 Aa 0 1/2 0 aa 0 1/4 1 并且，其中 M的特征值為 通過(guò)計(jì)算，可以解出與相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量和，及與相對(duì)應(yīng)的特征向量： 因此 所以有 當(dāng)時(shí)，所以從式得到 和 因此，得出結(jié)論：如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情況下，后代僅具有基因AA和aa。 七、模型的評(píng)價(jià)與推廣 數(shù)學(xué)模型是建立在日常的生產(chǎn)和生活中，對(duì)于本次關(guān)于常染色遺傳的模型的建立過(guò)程和意義，對(duì)于人類(lèi)的生活有重大意義?？萍既找孢M(jìn)步，人類(lèi)的求知欲望日益強(qiáng)烈，對(duì)于大自然和人類(lèi)生命科學(xué)中的一些知識(shí)都在進(jìn)行深一步的挖掘和探索。 在常染色體遺傳的問(wèn)題上，對(duì)于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人類(lèi)生存都是很重要的科學(xué)探究。當(dāng)這一課題被攻破后，對(duì)于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)來(lái)說(shuō)將是很有歷史意義的一個(gè)里程碑。它標(biāo)志著人類(lèi)對(duì)于常染色體的遺傳問(wèn)題已完全掌握，可以根據(jù)需求來(lái)生產(chǎn)相關(guān)產(chǎn)品，對(duì)于國(guó)家來(lái)說(shuō)也是一項(xiàng)重大的進(jìn)步。 以上呈現(xiàn)給大家的模型我們必須承認(rèn)有一定的局限性，因?yàn)闆](méi)有做到最全面的可能性的預(yù)測(cè)，在已知的基礎(chǔ)上，因?yàn)橛邢薜闹R(shí)了解和時(shí)間的限制，我們只討論了另外一種情況，其他情況的分布我們并沒(méi)有做完全深入的處理。是本模型的缺陷之一。但是就以上的模型而言，它是很有代表性的兩種情況。對(duì)于它的評(píng)價(jià)在今后的生產(chǎn)工作中，我們可以根據(jù)自身的需要，用科學(xué)的方式進(jìn)行選擇，就本題而言，如果我們需要的是基因型AA的植物，我們可以根據(jù)母體和父體的選擇，在最短時(shí)間內(nèi)獲得所需基因型的植物。不同的配比，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)模型建立的過(guò)程可以完善農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中的不完備性。將各種情況綜合分析、比較之后可以在找到最有效率的方法。 以上呈現(xiàn)給大家的模型可以在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中可以廣泛推廣，對(duì)于一些名貴花卉的培育，優(yōu)良品種的留存，社會(huì)的需求等方面都有重大意義。根據(jù)國(guó)家和社會(huì)的廣大消費(fèi)者的需求培育出要求的農(nóng)產(chǎn)品，保證了營(yíng)養(yǎng)和健康。在一些珍貴花卉的品種培育上，我們可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，分析之后融入到實(shí)際生產(chǎn)中，培育出新品種，帶來(lái)視覺(jué)欣賞和經(jīng)濟(jì)效益的雙重豐收。對(duì)于一些瀕臨滅絕的動(dòng)植物，我們也可以通過(guò)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)選擇培育和配種方案，保證這些珍貴基因的繁衍，保護(hù)生物多樣性，基因多樣性，亦是保護(hù)我們賴(lài)以生存的地球環(huán)境。 對(duì)于數(shù)學(xué)模型的建立可以體現(xiàn)在生產(chǎn)和生活中的各個(gè)方面，面對(duì)常染色體的遺傳問(wèn)題，我們必須將生物領(lǐng)域的知識(shí)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)相結(jié)合，各個(gè)學(xué)科再也不是獨(dú)立和分離的，通過(guò)數(shù)學(xué)模型的建立使她們的緊密相連。每個(gè)領(lǐng)域的相關(guān)性都可以建立在數(shù)學(xué)中，并完美的結(jié)合和體現(xiàn)在世界生活中。對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題的解決方案可以通過(guò)分析數(shù)學(xué)模型來(lái)確定，將各種可能性列舉出來(lái)之后進(jìn)行對(duì)比即可選擇出相對(duì)最好的解決方案。 八、參考文獻(xiàn)