2、大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列
3.數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．
4．數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項與序號n 之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項公式．
5．數(shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列的第一項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫作這個數(shù)列的遞推公式．
6．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系
若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，
則an＝
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的
3、打“×”)
(1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達．( )
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個．( )
(3)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對?n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
(4)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1，則可以寫出數(shù)列{an}的任何一項．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為____________．
15 [當n＝8時，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]
3．(教材改編)數(shù)列1，，，，，…的一個通項公式an＝______
4、____.
[由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項an＝.]
4．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫作三角形數(shù)，這是因為以這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖33-1)．
圖33-1
則第7個三角形數(shù)是____________．
28 [由題圖可知，第7個三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]
5．數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝__________.
[由an＋1＝，得an＝1－，
∵a8＝2，∴a7＝1－＝，
a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…，
∴{an}是以3為周期的數(shù)列，∴a1＝a7＝.]
由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列
5、的通項
公式
寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)，，，，，…；
(3)－1,7，－13,19，…；
(4)3,33,333,3 333，…. 【導學號：62172180】
[解] (1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1.
(2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，
所以an＝.
(3)數(shù)列中各項的符號可通過(－1)n表示，從第2項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6.
故通項公式為an＝(－1)n(6n－5)．
(4)將數(shù)列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,
6、103－1,104－1，…，
所以an＝(10n－1)．
[規(guī)律方法] 1.求數(shù)列通項時，要抓住以下幾個特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相鄰項的變化特征；
(3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征；
(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、化歸、聯(lián)想．
2．若關(guān)系不明顯時，應將部分項作適當?shù)淖冃危y(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現(xiàn)出來．對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整，可代入驗證歸納的正確性．
[變式訓練1] (1)數(shù)列0，，，，…的一個通項公式為____________．(填序號)
①an＝(n∈N＋)；
②an＝(n∈N＋)；
③an＝(n
7、∈N＋)；
④an＝(n∈N＋)．
(2)數(shù)列{an}的前4項是，1，，，則這個數(shù)列的一個通項公式是an＝__________.
(1)③ (2) [(1)注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可．
(2)數(shù)列{an}的前4項可變形為，，，，故an＝.]
由an與Sn的關(guān)系求通項an
已知下面數(shù)列{an}的前n項和Sn，求{an}的通項公式：
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b. 【導學號：62172181】
[解] (1)a1＝S1＝2－3＝－1，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5
8、，
由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5.
(2)a1＝S1＝3＋b，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
當b＝－1時，a1適合此等式．
當b≠－1時，a1不適合此等式．
∴當b＝－1時，an＝2·3n－1；
當b≠－1時，an＝
[規(guī)律方法] 由Sn求an的步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式；
(3)對n＝1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，
9、則應寫成分段函數(shù)的形式．
易錯警示：利用an＝Sn－Sn－1求通項時，應注意n≥2這一前提條件，易忽視驗證n＝1致誤．
[變式訓練2] 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N＋)，則an＝____________.
2n＋1 [由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，兩式相減可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以數(shù)列{an}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an＝4×2n－1＝2n＋1.]
由遞推公式求數(shù)列的通項公式
根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項公式：
(1)a
10、1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
[解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2，
∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(n≥2)．
當n＝1時，a1＝×(3×1＋1)＝2符合上式，
∴an＝n2＋.
(2)∵an＋1＝2nan，∴＝2n－1(n≥2)，
∴an＝··…··a1
＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2.
又a1＝1符合上式，故an＝2.
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴
11、an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.
[規(guī)律方法] 1.已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
2．已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為{an＋k}為等比數(shù)列．
易錯警示：本題(1)(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式，(3)中常見錯誤是忽視判定首項是否為零．
[變式訓練3] (2016·全國卷Ⅲ
12、)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項公式．
[解] (1)由題意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝.
故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝.
[思想與方法]
1．數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此，在研究數(shù)列問題時，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性．
2．a(chǎn)n＝
3．由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項的基本思想是轉(zhuǎn)化，常用的方法是：
(1
13、)an＋1－an＝f(n)型，采用疊加法．
(2)＝f(n)型，采用疊乘法．
(3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決．
[易錯與防范]
1．數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)．
2．易混項與項數(shù)是兩個不同的概念，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應的位置序號．
3．在利用數(shù)列的前n項和求通項時，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項公式寫成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形．
課時分層訓練(三十三)
A組 基礎(chǔ)達標
(建議用時：30分鐘)
14、一、填空題
1．數(shù)列1，，，，，…的一個通項公式an＝____________.
①； ②；
③； ④.
② [由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項為.]
2．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n，則a3＋a4＝__________.
12 [當n≥2時，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.]
3．在數(shù)列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______項．
10 [令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，
則(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．
∴a10＝0.08.]
4．已知數(shù)列{an}的通項
15、公式為an＝n2－2λn(n∈N＋)，則“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的____________條件．
充分不必要 [當an＋1－an＝(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn
＝1＋2n－2λ>0，即λ<時數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，又n∈N＋，∴λ<.
∴“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件．]
5．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項公式an＝__________.
【導學號：62172182】
2n－1 [法一：由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，驗證可知an＝2n－1.
法二：由題意知an＋
16、1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.]
6．數(shù)列{an}的首項a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，則a3的值為____________．
6 [由(n＋1)an＝nan＋1得＝，所以數(shù)列為常數(shù)列，則＝＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6.]
7．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝(an－1)(n∈N＋)，則an＝____________.
【導學號：62172183】
3n [當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，由a1＝(a1－1)，得a
17、1＝3，∴＝3，∴數(shù)列{an}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴an＝3n.]
8．數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝，其前n項積為Tn，則T2 017＝____________.
2 [由an＝，得an＋1＝，而a1＝2，
則有a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，
故數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列，且a1a2a3a4＝1，
所以T2 017＝(a1a2a3a4)504a1＝1504×2＝2.]
9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，則an＝__________.
[由已知得，－＝n，所以－＝n－1，
－＝n－2，…，－＝1
18、，所以－＝，a1＝1，所以＝，
所以an＝.]
10．(2017·南京模擬)對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋1－an(n∈N＋)，且bn＋1－bn＝1(n∈N＋)，a3＝1，a4＝－1，則a1＝____________.
【導學號：62172184】
8 [由bn＋1－bn＝1(n∈N＋)可知，數(shù)列{bn}成等差數(shù)列，
又b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，
∴b3－b2＝1，
∴b2＝b3－1＝－3.
∴a3－a2＝－3，
∴a2＝3＋a3＝4.
∴b1＝b2－1＝－3－1＝－4.
∴a2－a1＝－4，
∴a1＝a2＋4＝4＋4＝8.]
二、解答
19、題
11．數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6.
(1)這個數(shù)列的第4項是多少？
(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？
(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？
[解] (1)當n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是這個數(shù)列的第16項．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．
所以從第7項起各項都是正數(shù)．
12．已知Sn為正項數(shù)列{an} 的前n項和，且滿足Sn＝a＋an(n∈N＋)．
(1)求a1，a2，a3，a4的
20、值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] (1)由Sn＝a＋an(n∈N＋)，可得
a1＝a＋a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；
同理，a3＝3，a4＝4.
(2)Sn＝a＋an，①
當n≥2時，Sn－1＝a＋an－1，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，
所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n.
B組 能力提升
(建議用時：15分鐘)
1．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(
21、n＋1)an＋1，則a20＝____________.
[由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因為1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以數(shù)列{nan}是首項為1，公差為5的等差數(shù)列，則20a20＝1＋19×5，解得a20＝.]
2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，則an＝__________.
[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，
兩式相減可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，
∴an＋1＝4an(n≥2)．
∵a1＝1，a2＝3S1＝
22、3≠4a1，
∴數(shù)列{an}是從第二項開始的等比數(shù)列，
∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．
故an＝]
3．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值；
(2)對于n∈N＋，都有an＋1>an，求實數(shù)k的取值范圍．
[解] (1)由n2－5n＋4<0，
解得1
23、n＋1>an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，
又因為通項公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N＋，所以－<，即得k>－3.
所以實數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)．
4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項公式．
[解] (1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3.
由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由題設(shè)知a1＝1.
當n≥2時，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.
于是a1＝1，
a2＝a1，
a3＝a2，
……
an－1＝an－2，
an＝an－1.
將以上n個等式兩端分別相乘，
整理得an＝.
顯然，當n＝1時也滿足上式．
綜上可知，{an}的通項公式an＝.
高考數(shù)學復習 17-18版 第7章 第33課 數(shù)列的概念與簡單表示法
