南京大學數(shù)學分析高等代數(shù)考研真題與解析.doc
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南京大學數(shù)學分析,高等代數(shù)考研真題 南京大學2002年數(shù)學分析考研試題 一 求下列極限。 (1); (2)設,, (i)在上的最大值; (ii)設,,,,求。 二 設,試證明在內(nèi)有無窮多個零點。 三 設在的某個鄰域內(nèi)連續(xù),且,, (1)求; (2)求; (3)證明在點處取得最小值。 四 設在的某個鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù),且,試證明: (1); (2)級數(shù)絕對收斂。 五 計算下列積分 (1)求; (2),其中是圓柱面,三個坐標平面及旋轉拋物面所圍立體的第一象限部分的外側曲面。 六 設,在內(nèi)可導,不恒等于常數(shù),且, 試證明:在內(nèi)至少存在一點,使。 七 在變力的作用下,質(zhì)點由原點沿直線運動到橢球面 , 第一象限的點,問取何值時,所做的功最大,并求的最大值。 八 (1)證明:,; (2)求。 南京大學2002年數(shù)學分析考研試題解答 一 (1)解 . (2)解 (i), 當時,,在上單增, 當時,,在上單減, 所以在處達到最大值,; (ii)當時,, , , , ,, , 單調(diào)遞增有上界,設,則有 ,,, ; 當時,,; 當時,,, , 二 證明 因為, ,, 顯然在上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理知,存在使得 , 即得在上有無窮多個零點。 三 解 (1), 因為,所以, , , 于是; (3)由知,存在,當時,,, 即知中在處取得極小值。 四 、證明 (1)由,知, 由知. (2), ,已知收斂,其中, 于是收斂,結論得證。 五 (1)解 , 所以 . (2)解 曲面,事物交線為,, , , 其中是區(qū)域的邊界時,利用高斯公式, . 當是的邊界時,利用高斯公式 . 六 證明 證法一 用反證法,假若結論不成立,則對任意,都有,在上單調(diào)遞減,由于不恒等于常數(shù),所以不恒等于零,存在一點,使得,,存在,使得 ,, 因為,, 所以,這與矛盾,從而假設不成立,原結論得證。 證法2 由于在上連續(xù),在上取到最大值和最小值,且,由于,所以的最大值或最小值必在內(nèi)達到。 若在處達到最大值,存在使得 , 從而有; 若在處達到最小值,存在使得 , 從而有; 結論得證。 七 解 設,則有,所以是有勢場, , 由于時, , , 等號成立當且僅當, 所以時,達到最大值,且的最大值為。 八 證明 (1)由于當時,有, 對任意,,取,, 所以有; (2)取, 有,收斂, 對任意,在上一致收斂于, 故由函數(shù)列積分的黎曼控制收斂定理, 。 南京大學2003年數(shù)學分析考研試題 一 求下列極限 (1)設,求; (2)設,,,求。 (3)。 二 過點作拋物線的切線,求 (1)切線方程; (2)由拋物線、切線及軸所圍成的平面圖形面積; (3)該平面圖形分別繞軸和軸旋轉一周的體積。 三 對任一,求在中的最大值, 并證明該最大值對任一,均小于。 四 設在上有連續(xù)導數(shù),且,,(為常數(shù)),試證:在內(nèi)僅有一個零點。 五 計算下列積分 (1)設,,求和; (2),其中為上半球面,的外側。 六 設,在上黎曼可積, (1)求,并討論在上的一致收斂性; (2)求,(要說明理由) 七 設的收斂半徑為,令,試證明:在上一致收斂于,其中為任一有窮閉區(qū)間。 南京大學2003年數(shù)學分析考研試題解答 一 (1)解 設,則有, 由此知,; (2)解 由歸納法,易知,, , 由此知,單調(diào)遞增有界,設,, 則有 , ,故。 (3) , , 故。 3 解 (1),設切點為,, 設切點的切線方程為。 將,代入,, , ,, 所求切線方程為,即。 (2)解。 (3) , 。 三 解 , 當時,, 當時,, 于是在處達到最大值, 。 容易證明在上單調(diào)遞減,, , 故有. 四 證明 對任意, , 當充分大時,有,又,由連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在,, 由,在上嚴格單調(diào)遞增,所以在內(nèi)僅有一個零點。 五 (1)解 , 顯然, , , . (2)解 , , . 六、解 , 由于極限函數(shù)在上不連續(xù), 所以在上不一致收斂; 但對任何在上一致收斂于0; 且, 根據(jù)控制收斂定理, 對于在上黎曼可積, 有 。 七、 證明 由條件知在上連續(xù),在任意有限區(qū)間上是一致收斂的, 對任意有限區(qū)間,在上一致收斂于, 在上一致有界,, 再由在上一致連續(xù), 于是有在上一致收斂于.- 配套講稿:
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