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《數(shù)學分析》(三)――參考答案及評分標準 一. 計算題（共8題，每題9分，共72分）。 1. 求函數(shù)在點(0,0)處的二次極限與二重極限. 解： ，因此二重極限為.……(4分) 因為與均不存在， 故二次極限均不存在。 ……(9分) 2. 設 是由方程組所確定的隱函數(shù),其中和分別具有連續(xù)的導數(shù)和偏導數(shù),求. 解： 對兩方程分別關于求偏導: ， ……(4分) 。 解此方程組并整理得. ……(9分) 3. 取為新自變量及為新函數(shù)，變換方程 。 設 （假設出現(xiàn)的導數(shù)皆連續(xù)）. 解：看成是的復合函數(shù)如下： 。 ……(4分) 代人原方程，并將變換為。整理得： 。 ……(9分) 4. 要做一個容積為的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省? 解： 設圓桶底面半徑為,高為,則原問題即為：求目標函數(shù)在約束條件下的最小值，其中 目標函數(shù): , 約束條件: 。 ……(3分) 構造Lagrange函數(shù)：。 令 ……(6分) 解得，故有 由題意知問題的最小值必存在，當?shù)酌姘霃綖楦邽闀r，制作圓桶用料最省。 ……(9分) 5. 設,計算. 解：由含參積分的求導公式 ……(5分) 。 ……(9分) 6. 求曲線所圍的面積，其中常數(shù). 解：利用坐標變換 由于，則圖象在第一三象限，從而可以利用對稱性，只需求第一象限內的面積。 。 ……(3分) 則 ……(6分) . ……(9分) 7. 計算曲線積分,其中是圓柱面與平面的交線（為一橢圓），從軸的正向看去，是逆時針方向. 解： 取平面上由曲線所圍的部分作為Stokes公式中的曲面，定向為上側，則的法向量為 。 ……(3分) 由Stokes公式得 ……(6分) ……(9分) 8. 計算積分,為橢球的上半部分的下側. 解：橢球的參數(shù)方程為，其中且 。 ……(3分) 積分方向向下，取負號，因此， ……(6分) ……(9分) 二. 證明題（共3題，共28分）。 9.（9分） 討論函數(shù)在原點(0,0)處的連續(xù)性、可偏導性和可微性. 解：連續(xù)性：當時， ，當， 從而函數(shù)在原點處連續(xù)。 ……(3分) 可偏導性：， ， 即函數(shù)在原點處可偏導。 ……(5分) 可微性： 不存在， 從而函數(shù)在原點處不可微。 ……(9分) 10.（9分） （9分） 設滿足： （1）在上連續(xù)， （2）， （3）當固定時，函數(shù)是的嚴格單減函數(shù)。 試證：存在，使得在上通過定義了一個函數(shù)，且在上連續(xù)。 證明：（i）先證隱函數(shù)的存在性。 由條件（3）知，在上是的嚴格單減函數(shù)，而由條件（2）知，從而由函數(shù)的連續(xù)性得 ， 。 現(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù)。由于，則必存在使得 ， 。 同理，則必存在使得 ， 。 取，則在鄰域內同時成立 ， 。 ……(3分) 于是，對鄰域內的任意一點，都成立 ， 。 固定此，考慮一元連續(xù)函數(shù)。由上式和函數(shù)關于的連續(xù)性可知，存在的零點使得 ＝0。 而關于嚴格單減，從而使＝0的是唯一的。再由的任意性，證明了對內任意一點，總能從找到唯一確定的與相對應，即存在函數(shù)關系或。此證明了隱函數(shù)的存在性。 ……(6分) （ii）下證隱函數(shù)的連續(xù)性。 設是內的任意一點，記。 對任意給定的，作兩平行線 ， 。 由上述證明知 ， 。 由的連續(xù)性，必存在的鄰域使得 ， ， 。 對任意的，固定此并考慮的函數(shù)，它關于嚴格單減且 ， 。 于是在內存在唯一的一個零點使 ， 即 對任意的，它對應的函數(shù)值滿足。這證明了函數(shù)是連續(xù)的。 ……(9分) 11.（10分）判斷積分在上是否一致收斂，并給出證明。 證明：此積分在上非一致收斂。證明如下： 作變量替換，則 。 ……(3分) 不論正整數(shù)多么大，當時，恒有。 ……(5分) 因此， ……(7分) ，當時。 因此原積分在上非一致收斂。 ……(10分) 注：不能用Dirichlet判別法證明原積分是一致收斂的。原因如下： 盡管對任意的積分一致有界，且函數(shù)關于單調，但是當時，關于并非一致趨于零。事實上，取 相應地取，則，并非趨于零。 《 數(shù)學分析[3] 》模擬試題 一、 解答下列各題（每小題5分，共40分） 1、 設求； 2、求 3、設求在點處的值； 4、求由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分； 5、求函數(shù)在點處的梯度； 6、求曲面在點（1，2，0）處的切平面和法線方程； 7、計算積分：； 8、計算積分：； 二、 (10分)求內接于橢球的最大長方體的體積，長方體的各個面平行于坐標面。 三、 （10分）若是由和兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域，且，求 四、 （10分）計算,其中是由圓周及所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域 . 五、 （10分）計算，其中為，的全部邊界曲線，取逆時針方向。 六、 （10分）計算，其中是半球面。 七、 （10分）討論含參變量反常積分在內的一致收斂性。 參考答案 一、解答下列各題（每小題5分，共40分） 1、 設求； 解：； 。 2、求； 解： 3、設求在點處的值； 解： 。 4、求由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分； 解：在原方程的兩邊求微分，可得 將代入上式，化簡后得到 5、求函數(shù)在點處的梯度； 解： 。 6、求曲面在點（1，2，0）處的切平面和法線方程； 解：記 在點（1，2，0）處的法向量為： 則切平面方程為：即 法線方程為：，即。 7、計算積分：； 解： 而在上連續(xù)，且在[1，2]上一致收斂，則可交換積分次序，于是有 原式。 8、計算積分：； 解：交換積分順序得： 八、 求內接于橢球的最大長方體的體積，長方體的各個面平行于坐標面。 解：設長方體在第一卦限的頂點坐標為（x,y,z），則長方體的體積為： 拉格朗日函數(shù)為 由 解得： 根據(jù)實際情況必有最大值，所以當長方體在第一卦限內的頂點坐標為時體積最大。 九、 若D是由和兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域，且，求 解： 十、 計算,其中是由圓周及所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域 . 解： 。 十一、 計算，其中為，的全部邊界曲線，取逆時針方向。 解：由格林公式： 所以 十二、 計算，其中是半球面。 解： 十三、 討論含參變量反常積分在內的一致收斂性。 解：，而收斂， 所以由M判別法知，在內的一致收斂。 《 數(shù)學分析[3] 》模擬試題 十四、 解答下列各題（每小題5分，共40分） 1、設，求； 2、，求； 3、設，求； 4、設是方程所確定的與的函數(shù)，求； 5、求函數(shù)在點處沿從點到點的方向導數(shù)； 6、已知曲面上點P處的切平面平行于平面，求P點的坐標。 7、計算積分：; 8、計算積分：； 二、 (10分)原點到曲線的最大距離和最小距離。 三、（10分）已知，其中為球體：，求 四、（10分）計算，其中D是由圓周所圍成的區(qū)域。 五、（10分）計算，其中為圓周，取逆時針方向。 六、（10分）計算，其中為錐面被拄面所割下部分。 七、 （10分）討論含參變量反常積分在內的一致收斂性。 參考答案 十五、 解答下列各題（每小題5分，共40分） 1、設，求； 解： 。 2、，求； 解： 。 3、設，求； 解： 。 4、設是方程所確定的與的函數(shù)，求； 解：方程兩邊求微分，得 。 5、求函數(shù)在點處沿從點到點的方向導數(shù)； 解：方向即向量的方向，因此x軸到方向的轉角。 故所求方向導數(shù)為：。 6、已知曲面上點P處的切平面平行于平面，求P點的坐標。 解：設P點的坐標為，則P點處的切平面為 又因該平面與平面平行， 則有 ，，即。 7、計算積分：; 解： 而在上連續(xù)，且在[2，3]上一致收斂，則可交換積分次序，于是有 原式。 8、計算積分：； 解：交換積分順序得： 三、 原點到曲線的最大距離和最小距離。 解：設P（x,y,z）為曲線上任意點，則目標函數(shù)為，約束條件為，建立拉格朗日函數(shù)： 由 得駐點：和，根據(jù)實際情況必有最大值和最小值， 。 四、 已知，其中為球體：，求 解：用球坐標計算，得 故。 四、計算，其中D是由圓周所圍成的區(qū)域。 解：由對稱性知： 故 五、計算，其中為圓周，取逆時針方向。 解：由格林公式： 所以 。 六、計算，其中為錐面被拄面所割下部分。 解：在xoy面上的投影為 八、 討論含參變量反常積分在內的一致收斂性。 解：當時，，而收斂， 所以由M判別法知，在內的一致收斂。