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習(xí) 題 1-1 1．計(jì)算下列極限 （1）, 解：原式= == （2）； 解：原式 （3） 解：原式 （4）， 解：原式 （5） 解：原式 = （6） ，為正整數(shù)； 解：原式 2．設(shè)在處二階可導(dǎo)，計(jì)算. 解：原式 3．設(shè)，，存在，計(jì)算. 解： 習(xí) 題 1-2 1.求下列極限 （1）; 解：原式 ，其中在與之間 （2）; 解：原式===，其中在與之間 （3） 解：原式 ，其中在與之間 （4） 解：原式，其中其中在與之間 2．設(shè)在處可導(dǎo)，，計(jì)算. 解：原式 習(xí) 題 1-3 1．求下列極限 （1）, 解：原式 （2）; 解： （3）; 解：原式 （4）; 解：原式 2. 求下列極限 （1）; 解：原式 （2）; 解：原式 習(xí) 題 1-4 1．求下列極限 （1）； 解：原式 （2）求； 解：原式 （3）； 解：原式 （4）； 解：原式 此題已換3．設(shè)在處可導(dǎo)，，.若在時(shí)是比高階的無窮小，試確定的值. 解：因?yàn)?， 所以 從而 解得： 3．設(shè)在處二階可導(dǎo)，用泰勒公式求 解：原式 4. 設(shè)在處可導(dǎo)，且求和. 解 因?yàn)? 所以 ,即 所以 習(xí) 題 1-5 1. 計(jì)算下列極限 (1) ; ; 解：原式 (2) 解：原式 2． 設(shè)，求 (1) ； 解：原式 (2) ， 解：由于， 所以 3．設(shè)，求和. 解：因?yàn)?，所? 且 從而有stolz定理， 且 所以， 4．設(shè)，其中，并且， 證明：. 證明：因，所以 ，所以 ，用數(shù)學(xué)歸納法易證，。 又，從而單調(diào)遞減， 由單調(diào)有界原理，存在，記 在兩邊令，可得 所以 習(xí) 題 1-6 1. 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且 存在. 證明: 證明： 2. 設(shè)在上可微， 和存在. 證明:. 證明：記（有限），（有限），則 從而 所以 3. 設(shè)在上可導(dǎo)，對(duì)任意的, ，證明:. 證明：因?yàn)椋?，由廣義羅必達(dá)法則得 4．設(shè)在上存在有界的導(dǎo)函數(shù)，證明:. 證明：，有界，， 所以 習(xí) 題 2-1 （此題已換） 1. 若自然數(shù)不是完全平方數(shù)，證明是無理數(shù). 1.證明是無理數(shù) 證明：反證法. 假若且互質(zhì)， 于是由可知,是的因子，從而得即,這與假設(shè)矛盾 2. 求下列數(shù)集的上、下確界. （1） 解： （2） 解： （3） 解： （4）. 解： 3．設(shè)，驗(yàn)證. 證明：由得是的一個(gè)下界. 另一方面，設(shè)也是的下界，由有理數(shù)集在實(shí)數(shù)系中的稠密性， 在區(qū)間中必有有理數(shù)，則且 不是的下界.按下確界定義， . 4．用定義證明上（下）確界的唯一性. 證明：設(shè)為數(shù)集的上確界，即.按定義， 有.若也是的上確界且 .不妨設(shè)，則對(duì) 有即 矛盾. 下確界的唯一性類似可證 習(xí) 題 2-2 1．用區(qū)間套定理證明：有下界的數(shù)集必有下確界. 證明：設(shè)是的一個(gè)下界，不是的下界，則. 令，若是的下界，則?。? 若不是的下界，則取. 令，若是的下界，則??； 若不是的下界，則取；……， 按此方式繼續(xù)作下去，得一區(qū)間套，且滿足： 是的下界，不是的下界. 由區(qū)間套定理 ，且. 下證： 都有，而， 即是的下界. 由于，從而當(dāng)充分大以后， 有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界 2. 設(shè)在上無界.證明：存在, 使得在的任意鄰域內(nèi)無界. 證明：由條件知，在上或上無界， 記使在其上無界的區(qū)間為；再二等分， 記使在其上無界的區(qū)間為，……，繼續(xù)作下去， 得一區(qū)間套，滿足在上無界. 根據(jù)區(qū)間套定理，，且. 因?yàn)閷?duì)任意的，存在，當(dāng)時(shí)，有，從而可知 在上無界 3.設(shè),在上滿足,,若 在上連續(xù), 在上單調(diào)遞增. 證明：存在,使. 證明：記且二等分.若， 則記若則記. 類似地,對(duì)已取得的二等分,若， 則記；若， 則記按此方式繼續(xù)下去， 得一區(qū)間套，其中 根據(jù)區(qū)間套定理可知， 且有 . 因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以 注意到 可得 ， 再由 可知 ， . 習(xí) 題 2-3 1. 證明下列數(shù)列發(fā)散. (1), 證 因?yàn)椋? 所以發(fā)散. (2), 證明：因?yàn)? 所以發(fā)散. 2．證明:單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是其存在一個(gè)收斂子列. 證明：由收斂數(shù)列與子列的關(guān)系，結(jié)論顯然 不妨假設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增，且存在收斂子列， 由極限定義 對(duì)任意給定的，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，， 從而有； 由于，對(duì)任意，存在正整數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，取， 則任意時(shí)， 所以，即 3. 設(shè)極限存在,證明：. 證明：記由海茵定理， 取，得 取，得 取，得，解得 （此題取消）4. 數(shù)列收斂于的充要條件是：其偶數(shù)項(xiàng)子列和奇數(shù)項(xiàng)子列皆收斂于 （此題改為4）5. 已知有界數(shù)列發(fā)散，證明:存在兩個(gè)子列和收斂 于不同的極限. 證明：因?yàn)橛薪?，由致密性定理，必有收斂的子列，設(shè). 又因?yàn)椴皇諗?，所以存在，在以外，有的無窮多項(xiàng)， 記這無窮多項(xiàng)所成的子列為，顯然有界.由致密性定理，必有收斂子列， 設(shè) ，顯然 . 習(xí) 題 2-5 1. 用柯西收斂準(zhǔn)則判定下列數(shù)列的收斂性 (1) 解： 所以，對(duì)，即為柯西列 (2) . 解： 所以，對(duì)，即為柯西列 2. 滿足下列條件的數(shù)列是不是柯西列? (1) 對(duì)任意自然數(shù),都有 解：不是柯西列，如，對(duì)任意的自然數(shù)，但數(shù)列不收斂。 (2), 解： 所以，對(duì)，即為柯西列 (3). 證明：記，則單調(diào)遞增有上界，從而必有極限，記 對(duì) 從而 故 是柯西列 習(xí) 題 3-1 1.設(shè)定義在上的函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且和存在(有限). 問在上是否有界? 是否能取得最值? 解：在閉區(qū)間上構(gòu)造輔助函數(shù) 則在上連續(xù)，從而在上有界. 由于，故 在上也有界，即存在，使得 . 令 ，則有 . 條件同上，但在上卻不一定能取得極值. 例如： 2.設(shè)在內(nèi)連續(xù),且.證明在內(nèi)可取得最小值. 證明：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，有 因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，有 從而當(dāng)時(shí)，有 又在連續(xù)，從而一定可以取到最小值，即，使當(dāng)時(shí)， 且； 故時(shí)，有 所以在處取到最小值 習(xí) 題 3-2 （此題已換）1. 設(shè),,,. 證明:方程在和內(nèi)恰好各有一個(gè)實(shí)根. 1. 證明開普勒(Kepler)方程有唯一實(shí)根 證明：令，則在連續(xù)且 ，， 由零點(diǎn)原理，使，即方程至少有一實(shí)根 又，所以在單調(diào)遞增，所以方程有唯一實(shí)根 （此題已換）2. 設(shè)函數(shù)在（）內(nèi)連續(xù)且有極值點(diǎn). 證明: 存在使得 2.設(shè)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù) 解：step1.令，則，由零點(diǎn)原理，在至少有一實(shí)根，又，所以在 單調(diào)遞增，從而方程在內(nèi)有且僅有一實(shí)根。 step2.令，則，且，所以 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在點(diǎn)取得極小值。所以，當(dāng)時(shí)，方程在無解；當(dāng)時(shí)，在有一解；當(dāng)時(shí)，在有兩解 綜上：當(dāng)時(shí)，方程有一解；當(dāng)時(shí)，有兩解；當(dāng)時(shí)，有三解 3.設(shè)在上連續(xù), ,.證明存在使. 證法1 因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以存在最大值和最小值，且使，從而有.由介值定理知，使. 證法2 因?yàn)橛薪?，所以存在收斂子?而在上連續(xù)，故有 習(xí) 題10-2 1. 設(shè)在上連續(xù)， 為自然數(shù). 證明： （1）若，則存在使得 證明：令，則，且 ，， 從而 若，使，取即可 否則，使，由零點(diǎn)原理，或，使 綜上，，使，即 （2）若則存在使得 解：取，方法同上 2.設(shè)在上連續(xù)，且 證明：存在使 證：由已知經(jīng)計(jì)算得 1）若或，由積分中值定理，，使，從而 2）否則，， a）若，同1），由積分中值定理 ，使 b）與異號(hào)，由中值定理， 使，且 所以，有零點(diǎn)原理，使 3. 設(shè),求證 (1) 對(duì)任意自然數(shù), 方程在內(nèi)有唯一實(shí)根; 證明：時(shí)，在上有唯一實(shí)根 時(shí)，有，且，由零點(diǎn)存在原理， ，使，即在上有一實(shí)根 又，故嚴(yán)格單調(diào)遞減，所以方程在內(nèi)有唯一實(shí)根 (2) 設(shè)是的根,則. 證：對(duì)，，從而，有因?yàn)閲?yán)格單調(diào)遞減，故，即嚴(yán)格單調(diào)遞增。又有界，所以收斂。 設(shè)，由于，所以，在 ，令，有，所以，即 4. 設(shè)在上連續(xù)，不恒為常數(shù),且.證明存在，使 ． 證：令，因?yàn)樵谏线B續(xù)，不恒為常數(shù),且，所以，使，于是 ， ，由零點(diǎn)原理： 證明存在，使，即． 習(xí) 題4-1 1．證明函數(shù)沒有原函數(shù). 證：設(shè)存在原函數(shù)，即，則且，由于，由達(dá)布定理，，使，矛盾，所以無原函數(shù) 2．設(shè)在上可導(dǎo)， 證明： （1）若 則存在使 證明：若，則取或均可；否則，又達(dá)布定理，存在介于與之間，使綜上存在使 （2）若 則存在使 證明：若，則取或均可；否則 ，由達(dá)布定理，存在介于與之間，使； 綜上存在使 習(xí) 題4-2 1．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并討論導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性. （1）； 解：，則在連續(xù)，且 時(shí)，，，從而 時(shí)，，，從而 所以 從而在連續(xù)。 所以在連續(xù) （2）； 解：顯然在連續(xù)，且 時(shí)，，，從而； 時(shí)，，，從而 所以 從而在連續(xù)。 所以在連續(xù) 2. 設(shè). 當(dāng)分別滿足什么條件時(shí)， （1）在處連續(xù)； 解：，即，所以 （2） 在處可導(dǎo)； 解：存在，即存在，所以 （3）在處連續(xù)？ 解：，由，即 ，所以 3．分別用兩種方法證明符號(hào)函數(shù)不存在原函數(shù). 證明：法一 設(shè)存在原函數(shù)，即，則且，由于，由達(dá)布定理，，使，矛盾，所以無原函數(shù) 法二 由單側(cè)導(dǎo)數(shù)極限定理，導(dǎo)函數(shù)不存在第一類間斷點(diǎn)，而有第一類間斷點(diǎn)，從而 無原函數(shù) 習(xí) 題5-1 . 1. 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo). （1）若，.證明存在使； 證明：令，則，且，，由廣義洛爾定理，使，即，所以 (2) 若，證明存在使得； 證明：令，則，且，，由廣義洛爾定理，使，即 ，所以 習(xí) 題5-2 1． 設(shè)在上可導(dǎo)，且，其中為常數(shù).證明：存在，使. 證明：由積分中值定理，，使 令，則，且，由洛爾定理，， 使，即，從而 2． 設(shè)在上可導(dǎo)，且證明：存在，使 證明：由積分中值定理，，使 令，則，且，由洛爾定理， ，使，即，從而 3． 設(shè)在上可導(dǎo)，且.證明：存在使 證明：由積分中值定理，，使 令，則，且，由洛爾定理， ，使，即，從而 習(xí) 題6-1 1.若在區(qū)間上是凸函數(shù)，證明對(duì)任意四點(diǎn)，有. 其逆是否成立？ 證明：因?yàn)樵趨^(qū)間上是凸函數(shù)，由三弦不等式，且 ，所以成立。其逆成立 2. 設(shè)均為區(qū)間上的凸函數(shù)，證明：也是上凸函數(shù).. 證明：設(shè)，則對(duì)，有 ，且 ，從而 ，由凸函數(shù)的定義，也是上凸函數(shù) 習(xí) 題6-2 1. 驗(yàn)證下列函數(shù)是（嚴(yán)格）凸函數(shù). （1） 解：，（），所以是上的嚴(yán)格凸函數(shù) （2） 解：，（），所以是上的嚴(yán)格凹函數(shù) 習(xí) 題6-3 1．證明不等式 （1） 證：設(shè)，則（），所以是上的嚴(yán)格凸函數(shù)；從而，有，即 （2） 證：設(shè)，則（），所以是上的嚴(yán)格凸函數(shù)；從而，有，可得 ，即， 又因?yàn)?，所? 習(xí) 題 9-1 1. 求下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域 (1) ； 解：，從而當(dāng)時(shí)，，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，發(fā)散，所以，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? (2) . 解：，所以 當(dāng)時(shí)，，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)， ，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； 所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 習(xí) 題 9-2 1. 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂. 證明：，從而 所以對(duì)任意的， 由，得對(duì)，取，當(dāng)時(shí)， 對(duì)任意的成立，因此，在 上一致收斂到 2. 設(shè)在區(qū)間上一致收斂于,且對(duì)任意有.試問是否存在,使當(dāng)時(shí),對(duì)任意有? 解：答案不正確；例 在內(nèi)一致收斂到，且 ，有；但，和 ，使 習(xí) 題 9-3 1. 利用定理9.3.1證明下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂. (1) ,, 證：，級(jí)數(shù)的部分和，從而 ，在不連續(xù)，故級(jí)數(shù)不一致收斂。 (2) ,. 證：，級(jí)數(shù)的部分和， 從而，在不連續(xù)，故級(jí)數(shù)不一致收斂。 2. 設(shè)試問在上是否一致收斂?是否有 解：對(duì)，，但對(duì)，， 都，使，所以在上不一致收斂 另外， ，所以 3. 設(shè)試問在上是否一致收斂?是否有? 其中 解：對(duì)，有，從而 但對(duì)，，都，使 所以在上不一致收斂 又，， 所以 4. 求的收斂域，并討論和函數(shù)的連續(xù)性. 解：設(shè)，則，有根值判別法，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤? 對(duì)，總，使，從而在 上連續(xù)，且在一致收斂，從而在 上連續(xù)，故在上連續(xù)，由得 在上連續(xù) 習(xí) 題 9-4 1. 討論下列函數(shù)序列在指定區(qū)間上的一致收斂性. （1） ， ； 解：對(duì)， 又在處取得最大值，從而對(duì)，取，則對(duì) ，有，所以在一致收斂 （2）； （i）， 解：對(duì)， 對(duì)，取，則對(duì)，有，所以在一致收斂 （ii）； 解：對(duì)， 對(duì)，，，，使 ，所以在不一致收斂 2. 討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性. （1） ，； 解：對(duì)任意的，，而收斂，由M判別法，原級(jí)數(shù)一致收斂。 （2） ，. 解：對(duì)任意的，，而收斂，由M判別法，原級(jí)數(shù)一致收斂。 3. 設(shè)，. 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂，并討論其和函數(shù)在上的連續(xù)性、可積性與可微性. 解：由對(duì)任意的成立，從而 而收斂，由M判別法知在上一致收斂 （1），在上一致收斂，所以和函數(shù)在連續(xù)（定理1） （2），在上一致收斂，所以和函數(shù)在可積（定理2） （3）由，收斂，由M判別法知在上一致收斂，從而和函數(shù)在可微。（定理3） 習(xí) 題10-1 1．一塊金屬板平底鍋在平面上占據(jù)的區(qū)域是, 已知板上點(diǎn)處的溫度為.鍋底上點(diǎn)處的螞蟻為了逃向溫度更低的地方, 它的逃逸方向?yàn)? D ). ； ； ； . 解：，而梯度方向是溫度降低最快的方向 2．一個(gè)高為的柱體儲(chǔ)油罐，底面是長軸為，短軸為的橢圓，現(xiàn)將儲(chǔ)油罐平放，當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)，計(jì)算油的質(zhì)量。（長度單位為m，質(zhì)量為kg，油的密度為常數(shù)）. 解：儲(chǔ)油罐平放一般指長軸平行與地面，當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)，垂直地面的截面面積為（平方米） 所以 4． 在一個(gè)形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面的容器內(nèi)，已經(jīng)盛有的水，現(xiàn)又倒入的水，問水面比原來升高多少. 解：旋轉(zhuǎn)拋物面容器的體積是深度的函數(shù)， ，從而，所以題中水面升高的高度為 習(xí) 題10-3 1. 設(shè)，證明： （1）當(dāng)時(shí)，； 證明：取，則，， 所以為上的嚴(yán)格凸函數(shù)，從而對(duì)，由定理6.2.3，恒有，即 所以 （2）當(dāng)或時(shí)， ． 證明：取，則，， 所以為上的嚴(yán)格凸函數(shù)，從而對(duì)，由定理6.2.3，恒有，即 2. 設(shè) 證明: 證明：令，利用單調(diào)性可證（略）