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2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí): 第2章 第12節(jié) 課時(shí)分層訓(xùn)練15

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1、 課時(shí)分層訓(xùn)練(十五)  導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí):30分鐘) 一、選擇題 1.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又存在極值的是(  ) A.y=x3        B.y=ln(-x) C.y=xe-x D.y=x+ D [由題可知,B,C選項(xiàng)中的函數(shù)不是奇函數(shù),A選項(xiàng)中,函數(shù)y=x3單調(diào)遞增(無極值),而D選項(xiàng)中的函數(shù)既為奇函數(shù)又存在極值.]  2.當(dāng)函數(shù)y=x·2x取極小值時(shí),x等于(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):01772089】 A. B.- C.-ln 2 D.ln 2 B [令y′=2x+x·2xln 2=0, ∴x=-. 經(jīng)驗(yàn)證,-為函數(shù)

2、y=x·2x的極小值點(diǎn).] 3.函數(shù)f(x)=x2-ln x的最小值為(  ) A.    B.1 C.0    D.不存在 A [f′(x)=x-=,且x>0,令f′(x)>0,得x>1,令f′(x)<0,得0

3、 由已知可得f′(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根, ∴Δ=4a2-4×3(a+6)>0,即a2-3a-18>0, ∴a>6或a<-3.] 5.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),則下列圖象不可能為y=f(x)圖象的是(  ) A    B     C     D D [因?yàn)閇f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),所以f(-1)+f′(-1)=0.選項(xiàng)D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不滿足f′(-1)+f(-1)=0.] 二、填空

4、題 6.函數(shù)f(x)=x3+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):01772091】 - [f′(x)=x2+2x-3,令f′(x)=0得x=1(x=-3舍去),又f(0)=-4,f(1)=-,f(2)=-,故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)=-.] 7.設(shè)a∈R,若函數(shù)y=ex+ax有大于零的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. (-∞,-1) [∵y=ex+ax,∴y′=ex+a. ∵函數(shù)y=ex+ax有大于零的極值點(diǎn), 則方程y′=ex+a=0有大于零的解, ∵x>0時(shí),-ex<-1,∴a=-ex<-1.] 8.某商場(chǎng)從

5、生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品,若該商品零售價(jià)為p元,銷量Q(單位:件)與零售價(jià)p(單位:元)有如下關(guān)系:Q=8 300-170p-p2,則該商品零售價(jià)定為________元時(shí)利潤(rùn)最大,利潤(rùn)的最大值為________元. 30 23 000 [設(shè)該商品的利潤(rùn)為y元,由題意知, y=Q(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000, 則y′=-3p2-300p+11 700, 令y′=0得p=30或p=-130(舍), 當(dāng)p∈(0,30)時(shí),y′>0,當(dāng)p∈(30,+∞)時(shí),y′<0, 因此當(dāng)p=30時(shí),y有最大值,ymax=23 000.] 三、解答題 9.

6、已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R). (1)要使f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,試求a的取值范圍; (2)當(dāng)a<0時(shí),若函數(shù)滿足y極大=1,y極小=-3,試求y=f(x)的解析式. [解] (1)f′(x)=-3x2+2ax. 依題意f′(x)≥0在(0,2)上恒成立, 即2ax≥3x2.∵x>0,∴2a≥3x,∴2a≥6,∴a≥3, 即a的取值范圍是[3,+∞).5分 (2)∵f′(x)=-3x2+2ax=x(-3x+2a). ∵a<0,當(dāng)x∈時(shí),f′(x)≤0,f(x)遞減. 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)遞增. 當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f′(x)≤0

7、,f(x)遞減. 8分 ∴? ∴f(x)=-x3-3x2+1. 12分 10.據(jù)環(huán)保部門測(cè)定,某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比,與到污染源距離的平方成反比,比例常數(shù)為k(k>0).現(xiàn)已知相距18 km的A,B兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為a,b,它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和.設(shè)AC=x(km). (1)試將y表示為x的函數(shù); (2)若a=1,且x=6時(shí),y取得最小值,試求b的值. [解] (1)設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染程度為,點(diǎn)C受B污染源污染程度為,其中k為

8、比例系數(shù),且k>0,從而點(diǎn)C處受污染程度y=+.5分 (2)因?yàn)閍=1,所以y=+, y′=k,8分 令y′=0,得x=, 又此時(shí)x=6,解得b=8,經(jīng)驗(yàn)證符合題意, 所以,污染源B的污染強(qiáng)度b的值為8.12分 B組 能力提升 (建議用時(shí):15分鐘) 1.(2017·石家莊一模)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的圖象與x軸相切于一點(diǎn)A(m,0)(m≠0),且f(x)的極大值為,則m的值為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):01772092】 A.-   B.- C.    D. D [由題意可得f(m)=m3+am2+bm=0,m≠0,則m2+am+b=0?、?,且f′(

9、m)=3m2+2am+b=0?、冢伲诨?jiǎn)得m=-,f′(x)=3x2+2ax+b的兩根為-和-,則b=,f=,解得a=-3,m=,故選D.] 2.(2016·北京高考改編)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(x)的最大值為________. 2 [當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-2x<0;當(dāng)x≤0時(shí),f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)>0,f(x)是增函數(shù),當(dāng)-1<x<0時(shí),f′(x)<0,f(x)是減函數(shù),∴f(x)≤f(-1)=2,∴f(x)的最大值為2.] 3.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+c在點(diǎn)x=2處取得極值c-16. (1)求a,b的值; (2)若f

10、(x)有極大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值. [解] (1)因?yàn)閒(x)=ax3+bx+c, 故f′(x)=3ax2+b.2分 由于f(x)在點(diǎn)x=2處取得極值c-16, 故有即 化簡(jiǎn)得解得 5分 (2)由(1)知f(x)=x3-12x+c, f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2. 當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),f′(x)>0, 故f(x)在(-∞,-2)上為增函數(shù); 7分 當(dāng)x∈(-2,2)時(shí),f′(x)<0, 故f(x)在(-2,2)上為減函數(shù); 8分 當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0, 故f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù). 由此可知f(x)在x=-2處取得極大值, f(-2)=16+c, f(x)在x=2處取得極小值f(2)=c-16. 由題設(shè)條件知16+c=28,解得c=12. 10分 此時(shí)f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3, f(2)=-16+c=-4, 因此f(x)在[-3,3]上的最小值為f(2)=-4. 12分

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