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線性代數(shù)在動力機(jī)械工程領(lǐng)域中的應(yīng)用 院系：能源動力學(xué)院 學(xué)號：201364180 姓名：董書金 在機(jī)械工程領(lǐng)域復(fù)雜線性方程組的數(shù)值求解是經(jīng)常遇見的問題，而且機(jī)械工程中的一些多解問題，例如機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)配構(gòu)型，機(jī)器人機(jī)構(gòu)樹狀解和設(shè)計方案的多解問題等，常常需要線性代數(shù)中線性方程的一些理論求解。并且線性代數(shù)中的公式通用于能淬火硬化的各種碳素鋼及合金鋼。實際上,這些方程可以當(dāng)作是一種定量尺度,廣泛用于設(shè)計或選擇鋼種、制定或修訂標(biāo)準(zhǔn)、控制熔煉成分等方面?，F(xiàn)代飛行器外形設(shè)計，這個就需要先研究飛機(jī)表面的氣流的過程。把飛行器的外形分成若干大的部件，每個部件沿著其表面又用三維的細(xì)網(wǎng)格劃分出許多立方體，這些立方體包括了機(jī)身表面以及此表面內(nèi)外的空氣。對每個立方體列寫出空氣動力學(xué)方程，其中包括了與它相鄰的立方體的共同邊界變量，這些方程通常都已經(jīng)簡化為線性方程。結(jié)合高等代數(shù)廣泛用于研制和提供能量轉(zhuǎn)換機(jī)械，包括將熱能、化學(xué)能、原子能、電能、流體壓力能和天然機(jī)械能轉(zhuǎn)換為適合于應(yīng)用的機(jī)械能的各種動力機(jī)械，以及將機(jī)械能轉(zhuǎn)換為所需要的其他能量的能量變換機(jī)械。 一、線性方程數(shù)據(jù)處理在理工科學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)運(yùn)用 l 用于計算多元或者單元復(fù)雜結(jié)構(gòu)極限（線性代數(shù)原理運(yùn)用軟件：MATLAB），解放人工計算無法解決計算的復(fù)雜問題。 l 其計算原理用于求解導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，定積分，多重積分，進(jìn)而解決實際運(yùn)用中計算不規(guī)則曲面，形體的面積，體積等，并用于航空器外殼，船舶形體量，汽車制造，精密機(jī)械制造等工程設(shè)計中。 1.描述n階線性時不變（LTI）連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 n≥m 已知y及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值為y(0)，y(1)(0)，…，y(n-1)(0)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。 解：當(dāng)LTI系統(tǒng)的輸入為零時，其零輸入響應(yīng)為微分方程的齊次解（即令微分方程等號右端為0），其形式為（設(shè)特征根均為單根） 其中p1，p2，…，pn是特征方程a1ln+a2ln-1+…+ anl+ an+1 =0的根，它們可用roots(a)語句求得。各系數(shù)C1，…，Cn由y及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值來確定。對此有 C1+ C2+…+Cn = y0 y0 = y(0) p1C1+ p2C2+…+ pnCn=Dy0 (Dy0表示y的導(dǎo)數(shù)的初始值y(1)(0)) ………………………………… 寫成矩陣形式為 即 VC = Y0 ， 其解為 C =V \ Y0 式中 V為范德蒙矩陣，在MATLAB的特殊矩陣庫中有vander函數(shù)可直接生成。 （參考文獻(xiàn)： 郭龍先，張毅敏，何建瓊.高等代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2011） l 用于求解多元線性，非線性方程或多解，方程的根，求和與級數(shù)求和，極值點(diǎn)，概率論問題模擬分析等問題，進(jìn)而運(yùn)用于天氣預(yù)測，流體力學(xué)分析，經(jīng)濟(jì)學(xué)最優(yōu)解，機(jī)械最優(yōu)結(jié)構(gòu)，空氣動力學(xué)等多領(lǐng)域中。 1.在熱傳導(dǎo)的研究中, 一個重要的問題是確定一塊平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布. 根據(jù)…定律, 只要測定一塊矩形平板四周的溫度就可以確定平板上各點(diǎn)的溫度. 圖8 一塊平板的溫度分布圖 【模型準(zhǔn)備】如圖9所示的平板代表一條金屬梁的截面. 已知四周8個節(jié)點(diǎn)處的溫度(單位C), 求中間4個點(diǎn)處的溫度T1, T2, T3, T4. T1 T2 T3 T4 100 80 90 80 60 50 60 50 圖9 一塊平板的溫度分布圖 【模型假設(shè)】假設(shè)忽略垂直于該截面方向上的熱傳導(dǎo), 并且每個節(jié)點(diǎn)的溫度等于與它相鄰的四個節(jié)點(diǎn)溫度的平均值. 【模型建立】根據(jù)已知條件和上述假設(shè), 有如下線性方程組 【模型求解】將上述線性方程組整理得 . 在Matlab命令窗口輸入以下命令 >> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100]; >> x = A\b; x’ Matlab執(zhí)行后得 ans = 82.9167 70.8333 70.8333 60.4167 可見T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167. （參考文獻(xiàn)： 陳懷琛, 高淑萍, 楊威, 工程線性代數(shù), 北京: 電子工業(yè)出版社, 2007. 頁碼: 15-16.） l 其計算原理用于平面解析幾何分析，線性模擬計算，非線性多方向定向求解等復(fù)雜數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)處理過程，進(jìn)而用于平面設(shè)計，立體結(jié)構(gòu)分析及結(jié)構(gòu)優(yōu)化，物理復(fù)雜受力求解，航天模擬，電路設(shè)計優(yōu)化，發(fā)動機(jī)設(shè)計，能量轉(zhuǎn)換優(yōu)化等眾多能源動力學(xué)領(lǐng)域中。 1.設(shè)平移變換為 (x, y) (x+a, y+b) 旋轉(zhuǎn)變換(繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)q角度)為 (x, y) (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq) 放縮變換(沿x軸方向放大s倍, 沿y軸方向放大t倍)為 (x, y) (sx, ty) 【模型求解】R2中的每個點(diǎn)(x, y)可以對應(yīng)于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1單位的平面上. 我們稱(x, y, 1)是(x, y)的齊次坐標(biāo). 在齊次坐標(biāo)下, 平移變換 (x, y) (x+a, y+b) 可以用齊次坐標(biāo)寫成 (x, y, 1) (x+a, y+b, 1). 于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 旋轉(zhuǎn)變換 (x, y) (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq) 可以用齊次坐標(biāo)寫成 (x, y, 1) (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq, 1). 于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 放縮變換 (x, y) (sx, ty) 可以用齊次坐標(biāo)寫成 (x, y, 1) (sx, ty, 1). 于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 2.電路是電子元件的神經(jīng)系統(tǒng). 參數(shù)的計算是電路設(shè)計的重要環(huán)節(jié). 其依據(jù)來自兩個方面: 一是客觀需要, 二是物理學(xué)定律. 圖22 USB擴(kuò)展板 【模型準(zhǔn)備】假設(shè)圖23中的方框代表某類具有輸入和輸出終端的電路. 用記錄輸入電壓和輸入電流(電壓v以伏特為單位, 電流i以安培為單位), 用記錄輸出電壓和輸入電流. 若= A, 則稱矩陣A為轉(zhuǎn)移矩陣. 輸入終端v1 輸出終端v2 i1 i2 電路 圖23 具有輸入和輸出終端的電子電路圖 圖24給出了一個梯形網(wǎng)絡(luò), 左邊的電路稱為串聯(lián)電路, 電阻為R1(單位: 歐姆). 右邊的電路是并聯(lián)電路, 電路R2. 利用歐姆定理和楚列斯基定律, 我們可以得到串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣分別是 和 v1 v2 i1 i2 R1 v3 i2 i3 R2 串聯(lián)電路 并聯(lián)電路 圖24 梯形網(wǎng)絡(luò) 設(shè)計一個梯形網(wǎng)絡(luò), 其轉(zhuǎn)移矩陣是. 【模型假設(shè)】假設(shè)導(dǎo)線的電阻為零. 【模型建立】設(shè)A1和A2分別是串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣, 則輸入向量x先變換成A1x, 再變換到A2(A1x). 其中 A2A1 == 就是圖22中梯形網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移矩陣. 于是, 原問題轉(zhuǎn)化為求R1, R2的值使得=. 【模型求解】由=可得. 根據(jù)其中的前兩個方程可得R1 = 8, R2 = 2. 把R1 = 8, R2 = 2代入上面的第三個方程確實能使等式成立. 這就是說在圖22中梯形網(wǎng)絡(luò)中取R1 = 8, R2 = 2即為所求. 【模型分析】若要求的轉(zhuǎn)移矩陣改為, 則上面的梯形網(wǎng)絡(luò)無法實現(xiàn). 因為這時對應(yīng)的方程組是. 根據(jù)前兩個方程依然得到R1 = 8, R2 = 2, 但把R1 = 8, R2 = 2代入上第三個方程卻不能使等式成立. （參考文獻(xiàn) David C. Lay, 線性代數(shù)及其應(yīng)用, 沈復(fù)興, 傅鶯鶯等譯, 北京: 人民郵電出版社, 2009. 頁碼: 129-130.） 二、線性代數(shù)學(xué)理論在能源動力工程中的綜合運(yùn)用 l 航空飛行分析與設(shè)計 （參考文獻(xiàn)： 南京航天航空大學(xué)飛行器設(shè)計空氣動力學(xué)院學(xué)習(xí)參考課件） l 航空動力軌道探測及數(shù)據(jù)處理 2.太空航天探測器發(fā)射以后, 可能需要調(diào)整以使探測器處在精確計算的軌道里. 雷達(dá)監(jiān)測到一組列向量x1, …, xk, 它們給出了不同時刻探測器的實際位置與預(yù)定軌道之間的偏差的信息. 圖28 火星探測器 【模型準(zhǔn)備】令Xk = [x1, …, xk]. 在雷達(dá)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時需要計算出矩陣Gk = XkXkT. 一旦接收到數(shù)據(jù)向量xk+1, 必須計算出新矩陣Gk+1. 因為數(shù)據(jù)向量到達(dá)的速度非?？? 隨著k的增加, 直接計算的負(fù)擔(dān)會越來越重. 現(xiàn)需要給出一個算法, 使得計算Gk的負(fù)擔(dān)不會因為k的增加而加重. 【模型求解】因為 Gk = XkXkT = [x1, …, xk]=, Gk+1 = Xk+1= [Xk, xk+1]= XkXkT + xk+1= Gk + xk+1, 所以一旦接收到數(shù)據(jù)向量xk+1, 只要計算xk+1, 然后把它與上一步計算得到的Gk 相加即可. 這樣計算Gk的負(fù)擔(dān)不會因為k的增加而加重. （參考文獻(xiàn) David C. Lay, 線性代數(shù)及其應(yīng)用, 沈復(fù)興, 傅鶯鶯等譯, 北京: 人民郵電出版社, 2009. 頁碼: 123.） 結(jié)語：總而觀之，線性代數(shù)理論與數(shù)據(jù)處理方法，分析思維已經(jīng)滲入我們所學(xué)專業(yè)的多個領(lǐng)域，并且隨著相應(yīng)處理技術(shù)的完善與推廣，代數(shù)分析處理方法必將對科技的各個領(lǐng)域帶來極大的便利與方法，必將在今后的科技發(fā)展中發(fā)揮其越來越明顯的優(yōu)勢并為數(shù)學(xué)，物理，力學(xué)，地理，經(jīng)濟(jì)，天文學(xué)等眾多學(xué)科產(chǎn)生極大的推動作用。