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2014 ---2015學(xué)年度第二學(xué)期 《數(shù)學(xué)分析2》A試卷 學(xué)院 班級 學(xué)號（后兩位） 姓名 題號 一 二 三 四 五 六 七 八 總分 核分人 得分 一. 判斷題（每小題3分，共21分）(正確者后面括號內(nèi)打?qū)?，否則打叉) 1.若在連續(xù)，則在上的不定積分可表為（ ）. 2.若為連續(xù)函數(shù)，則（ ）. 3. 若絕對收斂，條件收斂，則必然條件收斂（ ）. 4. 若收斂，則必有級數(shù)收斂（ ） 5. 若與均在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則也在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂（ ）. 6. 若數(shù)項級數(shù)條件收斂，則一定可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)闹嘏攀蛊浒l(fā)散于正無窮大（ ）. 7. 任何冪級數(shù)在其收斂區(qū)間上存在任意階導(dǎo)數(shù)，并且逐項求導(dǎo)后得到的新冪級數(shù)收斂半徑與收斂域與原冪級數(shù)相同（ ）. 二. 單項選擇題（每小題3分，共15分） 1.若在上可積，則下限函數(shù)在上（ ） A.不連續(xù) B. 連續(xù) C.可微 D.不能確定 2. 若在上可積，而在上僅有有限個點處與不相等，則（ ） A. 在上一定不可積； B. 在上一定可積,但是； C. 在上一定可積，并且； D. 在上的可積性不能確定. 3.級數(shù) A.發(fā)散 B.絕對收斂 C.條件收斂 D. 不確定 4.設(shè)為任一項級數(shù)，則下列說法正確的是（ ） A.若，則級數(shù)一定收斂； B. 若，則級數(shù)一定收斂； C. 若，則級數(shù)一定收斂； D. 若，則級數(shù)一定發(fā)散； 5.關(guān)于冪級數(shù)的說法正確的是（ ） A. 在收斂區(qū)間上各點是絕對收斂的； B. 在收斂域上各點是絕對收斂的； C. 的和函數(shù)在收斂域上各點存在各階導(dǎo)數(shù)； D. 在收斂域上是絕對并且一致收斂的； 三.計算與求值（每小題5分，共10分） 1. 2. 四. 判斷斂散性（每小題5分，共15分） 1. 2. 3. 五. 判別在數(shù)集D上的一致收斂性（每小題5分，共10分） 1. 2. 六．已知一圓柱體的的半徑為R，經(jīng)過圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面 角向斜上方切割，求從圓柱體上切下的這塊立體的體積。（本題滿10分） 七. 將一等腰三角形鐵板倒立豎直置于水中（即底邊在上），且上底邊距水表面距離為10米，已知三角形底邊長為20米，高為10米，求該三角形鐵板所受的靜壓力。(本題滿分10分) 八. 證明：函數(shù)在上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).（本題滿分9分） 2014 ---2015學(xué)年度第二學(xué)期 《數(shù)學(xué)分析2》B卷 答案 學(xué)院 班級 學(xué)號（后兩位） 姓名 題號 一 二 三 四 五 六 七 八 總分 核分人 得分 一、 判斷題（每小題3分，共21分，正確者括號內(nèi)打?qū)矗駝t打叉） 1.? 2.? 3.? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ? 二.單項選擇題（每小題3分，共15分） 1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B 三.求值與計算題（每小題5分，共10分） 1. 解：由于-------------------------3分 而 ---------------------------------4分 故由數(shù)列極限的迫斂性得： -------------------------------------5分 2. 設(shè) ，求 解：令 得 =----------------2分 = = -----------------------------------4分 = =---------------5分 四.判別斂散性（每小題5分，共10分） 1. 解： -------3分 且 ，由柯西判別法知， 瑕積分 收斂 -------------------------5分 2. 解： 有 -----------------------------2分 從而 當(dāng) -------------------------------4分 由比較判別法 收斂----------------------------5分 五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共15分） 1. 解：極限函數(shù)為-----------------------2分 又 --------3分 從而 故知 該函數(shù)列在D上一致收斂. -------------------------5分 2. 解：因當(dāng) 時，--------------2分 而 正項級數(shù) 收斂， -----------------------------4分 由優(yōu)級數(shù)判別法知，該函數(shù)列在D上一致收斂.-------------5分 3. 解：易知，級數(shù)的部分和序列一致有界，---2分 而 對 是單調(diào)的，又由于 ，------------------4分 所以在D上一致收斂于0， 從而由狄利克雷判別法可知，該級數(shù)在D上一致收斂。------5分 六. 設(shè)平面區(qū)域D是由圓，拋物線及x軸所圍第一象限部分，求由D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積（本題滿分10分） 解：解方程組得圓與拋物線在第一象限 的交點坐標(biāo)為：， ---------------------------------------3分 則所求旋轉(zhuǎn)體得體積為： -------------------------------7分 =------------------ = ------------------------------------------------------10分 七.現(xiàn)有一直徑與高均為10米的圓柱形鐵桶（厚度忽略不計），內(nèi)中盛滿水，求從中將水抽出需要做多少功？（本題滿分10分） 解：以圓柱上頂面圓圓心為原點，豎直向下方向為x軸正向建立直角坐標(biāo)系 則分析可知做功微元為： --------------------------------5分 故所求為： -------------------------------------8分 =1250 =12250（千焦）-----------------------------------10分 八．設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，證明：若與都絕對收斂，則在上絕對且一致收斂. （本題滿分9分） 證明：是上的單調(diào)函數(shù)，所以有 ------------------------------4分 又由與都絕對收斂， 所以 收斂，--------------------------------------7分 由優(yōu)級數(shù)判別法知： 在上絕對且一致收斂.--------------------------------2013 ---2014學(xué)年度第二學(xué)期 《數(shù)學(xué)分析2》A試卷 學(xué)院 班級 學(xué)號（后兩位） 姓名 題號 一 二 三 四 五 六 七 總分 核分人 得分 一. 判斷題（每小題2分，共16分）(正確者后面括號內(nèi)打?qū)矗駝t打叉) 1.若在[a,b]上可導(dǎo)，則在[a,b]上可積. ( ) 2.若函數(shù)在[a,b]上有無窮多個間斷點，則在[a,b]上必不可積。 （ ） 3.若均收斂，則一定條件收斂。 （ ） 4.若在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則在區(qū)間I處處收斂（ ） 5.若為正項級數(shù)（），且當(dāng) 時有： ，則級數(shù)必發(fā)散。（ ） 6.若以為周期，且在上可積，則的傅里葉系數(shù)為： （ ） 7.若，則 （ ） 8.冪級數(shù)在其收斂區(qū)間上一定內(nèi)閉一致收斂。（ ） 二. 單項選擇題（每小題3分，共18分） 1. 下列廣義積分中，收斂的積分是（ ） A B C D 2.級數(shù)收斂是部分和有界的（ ） A 必要條件 B 充分條件 C充分必要條件 D 無關(guān)條件 3.正項級數(shù)收斂的充要條件是（ ） A. B.數(shù)列單調(diào)有界 C. 部分和數(shù)列有上界 D. 4.設(shè)則冪級數(shù)的收斂半徑R=（ ） A. B. C. D. 5. 下列命題正確的是（ ） A 在絕對收斂必一致收斂 B 在一致收斂必絕對收斂 C 若，則在必絕對收斂 D 在條件收斂必收斂 6..若冪級數(shù)的收斂域為,則冪級數(shù)在上 A. 一致收斂 B. 絕對收斂 C. 連續(xù) D.可導(dǎo) 三. 求值或計算（每題4分，共16分） 1. ； 2. 3． . 4.設(shè)在[0,1]上連續(xù)，求 四.（16分）判別下列反常積分和級數(shù)的斂散性. 1.； 2. 3. ； 4. 五 、判別函數(shù)序列或函數(shù)項級數(shù)在所給范圍上的一致收斂性（每題5分，共10分） 1. 2. ； 六.應(yīng)用題型（14分） 1. 一容器的內(nèi)表面為由繞y軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)拋物面，其內(nèi)現(xiàn)有水（），若再加水7（），問水位升高了多少米？ 2. 把由，x軸，y軸和直線所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的體積，并求滿足條件的. 七．證明題型 （10分） 已知與均在[a,b]上連續(xù)，且在[a,b]上恒有，但不恒等于，證明： 2013 ---2014學(xué)年度第二學(xué)期 《數(shù)學(xué)分析2》B試卷 學(xué)院 班級 學(xué)號（后兩位） 姓名 題號 一 二 三 四 五 六 七 總分 核分人 得分 一、 判斷題（每小題2分，共18分，正確者括號內(nèi)打?qū)?，否則打叉） 1.對任何可導(dǎo)函數(shù)而言，成立。（ ） 2.若函數(shù)在上連續(xù)，則必為在上的原函數(shù)。（ ） 3.若級數(shù)收斂，必有。（ ） 4.若，則級數(shù)發(fā)散. 5.若冪級數(shù)在處收斂，則其在[-2,2]上一致收斂.（ ） 6.如果在以a,b為端點的閉區(qū)間上可積，則必有 .（ ） 7.設(shè)在上有定義，則與級數(shù)同斂散.（ ） 8.設(shè)在任子區(qū)間可積，b為的暇點，則與 同斂散.（ ） 9.設(shè)在上一致收斂，且存在，則. 二.單項選擇題（每小題3分，共15分） 1. 函數(shù)在上可積的必要條件是（ ） A 連續(xù) B 有界 C 無間斷點 D 有原函數(shù) 2. 下列說法正確的是（ ） A. 和收斂，也收斂 B. 和發(fā)散，發(fā)散 C. 收斂和發(fā)散，發(fā)散 D. 收斂和發(fā)散，發(fā)散 3. 在收斂于，且可導(dǎo)，則（ ） A. B. 可導(dǎo) C. D. 一致收斂，則必連續(xù) 4.級數(shù) A.發(fā)散 B.絕對收斂 C.條件收斂 D. 不確定 5.冪級數(shù)的收斂域為： A.（-0.5,0.5） B.[-0.5,0.5] C. D. 三.求值與計算題（每小題4分，共16分） 1. 2. 3. 4. 四.判別斂散性（每小題4分，共16分） 1.； 2. 3.. 4. 五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共10分） 1. 2. 六.應(yīng)用題型（16分） 1.試求由曲線及曲線所平面圖形的面積. 2.將表達為級數(shù)形式，并確定前多少項的和作為其近似，可使之誤差不超過十萬分之一. 7. （9分）證明：若函數(shù)項級數(shù)滿足： （ⅰ） ；（ⅱ）收斂.則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂. 014 ---2015學(xué)年度第二學(xué)期 《數(shù)學(xué)分析2》A卷答案 三. 判斷題（每小題3分，共21分） 1. ? 2. ? 3. ? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ? 二.單項選擇題（每小題3分，共15分） B, C, C, D, A 三.計算與求值（ 每小題5分，共10分） 1. 解：原式= =---------------------------2分 =-------------------------3分 ==---------------------------5分 2.原式= -------------------------------2分 = --------------------4分 = ---------------------------5分 四. 判斷斂散性（ 每小題5分，共15分） 1. ----------------------------2分 且 ---------------------------------3分 由柯西判別法知，收斂。---------5分 2.由比式判別法 -----4分 故該級數(shù)收斂. -------------------------------5分 3. 解：由萊布尼茲判別法知，交錯級數(shù)收斂-----------2分 又 知其單調(diào)且有界，---------4分 故由阿貝爾判別法知，級數(shù)收斂. --------------------------------5分 五.1. 解：極限函數(shù)為 ---------------------2分 又 ---------------------------------4分 故知 該函數(shù)列在D上一致收斂.-----------5分 2. 解：因當(dāng) 時，----------------------3分 而 正項級數(shù) 收斂， -----------------------------4分 由優(yōu)級數(shù)判別法知，該函數(shù)列在D上一致收斂.---------------5分 六．已知一圓柱體的的半徑為R，由圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面 角向斜上方切割，求所切下這塊立體的體積。（本題滿分10分） 解:在底圓面上以所截直徑線為x軸，底圓的圓心為原點示坐標(biāo)系， 過x處用垂直x軸的平面取截該立體，所得直角三角形的面積為： --------------------------------5分 故所求立體的體積為： ------------7分 = -------10分 七.解：建立圖示坐標(biāo)系(豎直方向為x軸) 則第一象限等腰邊的方程為 ------------------------------------3分 壓力微元為： 故所求為 ----------------------------------------7分 ------10分 八. 證明：每一項在上連續(xù)， 又 而收斂 所以在上一致收斂，-------------------------------3分 故由定理結(jié)論知 在上連續(xù)，------------------------------5分 再者 而收斂 所以在上一致收斂，結(jié)合在上的連續(xù)性 可知在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù). ----------------9分 2014 ---2015學(xué)年度第二學(xué)期 《數(shù)學(xué)分析2》B試卷 學(xué)院 班級 學(xué)號（后兩位） 姓名 題號 一 二 三 四 五 六 七 八 總分 核分人 得分 二、 判斷題（每小題3分，共21分，正確者括號內(nèi)打?qū)?，否則打叉） 1.若為偶函數(shù)，則必為奇函數(shù)（ ）. 2.為符號函數(shù)，則上限函數(shù)y=在上連續(xù)（ ）. 3.若收斂，必有（ ）. 4.若在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則在區(qū)間I上處處收斂（ ）. 5.若在上內(nèi)閉一致收斂，則在上一致收斂（ ）. 6.若數(shù)項級數(shù)絕對收斂，則經(jīng)過任意重拍后得到的新級數(shù)仍然絕對收斂，并且其和不變（ ）. 7.若函數(shù)項級數(shù)在上的某點收斂，且在上一致收斂，則也在上一致收斂（ ）. 二.單項選擇題（每小題3分，共15分） 1. 函數(shù)是奇函數(shù)，且在上可積，則（ ） A B C D 2.關(guān)于積分，正確的說法是（ ） A.此為普通積分 B. 此為瑕積分且瑕點為0 C. 此為瑕積分且瑕點為1 D. 此為瑕積分且瑕點為0,1 3.就級數(shù)（）的斂散性而言，它是（ ） A. 收斂的 B. 發(fā)散的 C. 僅 時收 D. 僅 時收斂 4..函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于0的充要條件是（ ） A. B. C. D. 5.冪級數(shù)的收斂域為： A.（-0.5,0.5） B.[-0.5,0.5] C. D. 三.求值與計算題（每小題5分，共10分） 1. 2. 設(shè) ，求 四.判別斂散性（每小題5分，共10分） 1. 2. 五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共15分） 1. 2. 3. 六. 設(shè)平面區(qū)域D是由圓，拋物線及x軸所圍第一象限部分，求由D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積（本題滿分10分） 七.現(xiàn)有一直徑與高均為10米的圓柱形鐵桶（厚度忽略不計），內(nèi)中盛滿水，求從中將水抽出需要做多少功？（本題滿分10分） 八．設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，證明：若與 都絕對收斂，則在上絕對且一致收斂. （本題滿分9分）