第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù) 1實(shí)數(shù) 授課章節(jié) 第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù) 1 實(shí)數(shù) 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn) 1 理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性 稠密性和封閉性 2 牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式 它們 是分析論證的重要工具 教學(xué)難點(diǎn) 實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用 教學(xué)方法 講授 部分內(nèi)容自學(xué) 教學(xué)程序 引 言 上節(jié)課中 我們與大家共同探討了 數(shù)學(xué)分析 這門課程的研究對(duì)象 主 要內(nèi)容等話題 從本節(jié)課開始 我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程 的主要內(nèi)容 首先 從大家都較為熟悉的實(shí)數(shù)和函數(shù)開始 問題 為什么從 實(shí)數(shù) 開始 答 數(shù)學(xué)分析 研究的基本對(duì)象是函數(shù) 但這里的 函數(shù) 是定義在 實(shí)數(shù)集 上的 后繼課 復(fù)變函數(shù) 研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù) 為此 我們要先了解一下實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 一 實(shí)數(shù)及其性質(zhì) 1 實(shí)數(shù) qp 有 理 數(shù) 任 何 有 理 數(shù) 都 可 以 用 分 數(shù) 形 式 為 整 數(shù) 且 0 表 示 也 可 以 用 有 限 十 進(jìn) 小 數(shù) 或 無 限 十 進(jìn) 小 數(shù) 來 表 示 無 理 數(shù) 用 無 限 十 進(jìn) 不 循 環(huán) 小 數(shù) 表 示 Rx 一 一 問題 有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一 這對(duì)統(tǒng)一討論實(shí)數(shù)是不利的 為以 下討論的需要 我們把 有限小數(shù) 包括整數(shù) 也表示為 無限小數(shù) 為此作如下規(guī)定 對(duì)于正有限小數(shù) 其中012 nxa 記 009 i na 為 非 負(fù) 整 數(shù) 01 9nxa 對(duì)于正整數(shù) 則記 對(duì)于負(fù)有限小數(shù) 包括負(fù)整數(shù) 0 x 9x 則先將 表示為無限小數(shù) 現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號(hào) 0 表示為yy 0 例 2 1 0 利用上述規(guī)定 任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無限小數(shù)來表示 在此規(guī)定下 如何比較實(shí)數(shù)的大小 2 兩實(shí)數(shù)大小的比較 1 定義 1給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) 其中01 nxa 01 nyb 為非負(fù)整數(shù) 為整數(shù) 若有0 ab kab 2 9 kk 則稱 與 相等 記為 若 或存在非負(fù)整數(shù) 2k xyxy0a l 使得 而 則稱 大于 或 小于 分別記為 01 kl 1llb x 或 對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù) 若按上述規(guī)定分別有 或 xy x y 則分別稱為 與 或 y yx 規(guī)定 任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù) 2 實(shí)數(shù)比較大小的等價(jià)條件 通過有限小數(shù)來比較 定義 2 不足近似與過剩近似 為非負(fù)實(shí)數(shù) 稱有理數(shù)01 na 為實(shí)數(shù) 的 位不足近似 稱為實(shí)數(shù) 的 位過剩近01 nnxa xnnx xn 似 對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù) 其 位不足近似 位01 nxa 01 nnxa 過剩近似 n 注 實(shí)數(shù) 的不足近似 當(dāng) 增大時(shí)不減 即有 過剩近xnx012x 似 當(dāng) n增大時(shí)不增 即有 x012 命題 記 為兩個(gè)實(shí)數(shù) 則 的等價(jià)條01 nxa nyb xy 件是 存在非負(fù)整數(shù) n 使 其中 為 的 位不足近似 為 的nx xn 位過剩近似 n 命題應(yīng)用 例 1 設(shè) 為實(shí)數(shù) 證明存在有理數(shù) 滿足 xyy rxry 證明 由 知 存在非負(fù)整數(shù) n 使得 令 則 nxy 12n r為有理數(shù) 且 32 901 9 即 nnxry xry 3 實(shí)數(shù)常用性質(zhì) 詳見附錄 28930P 1 封閉性 實(shí)數(shù)集 對(duì) 四則運(yùn)算是封閉的 即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的R 和 差 積 商 除數(shù)不為 0 仍是實(shí)數(shù) 2 有序性 關(guān)系 三者必居其一 也只居其一 ab ab 3 傳遞性 c ca若 則 4 阿基米德性 使得 0RnN b 5 稠密性 兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)之間總有另一個(gè)實(shí)數(shù) 6 一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 實(shí)數(shù)集 與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 例 2 設(shè) 證明 若對(duì)任何正數(shù) 有 則 ab a a 提示 反證法 利用 有序性 取 b 二 絕對(duì)值與不等式 1 絕對(duì)值的定義 實(shí)數(shù) 的絕對(duì)值的定義為 a 0 a 2 幾何意義 從數(shù)軸看 數(shù) 的絕對(duì)值 就是點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離 表示就是數(shù)軸 a xa 上點(diǎn) 與 之間的距離 xa 3 性質(zhì) 1 非負(fù)性 0 0 2 a 3 hh 0 aha 4 對(duì)任何 有 三角不等式 bR bb 5 a 6 b0 三 幾個(gè)重要不等式 1 22a 1sin x sinx 2 均值不等式 對(duì) 記 21 Rna 算術(shù)平均值 1 nii aaM 幾何平均值 121ninniaG 調(diào)和平均值 1121 ninii aaaH 有平均值不等式 即 iiiMG 121212 nnnaa 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立 n 3 Bernoulli 不等式 在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過 有不等式 1 x 1 nx N 當(dāng) 且 且 時(shí) 有嚴(yán)格不等式0 N 2 1 nx 證 由 且x 1 nnx 1 nn x 4 利用二項(xiàng)展開式得到的不等式 對(duì) 由二項(xiàng)展開式 0 h 3 2 1 2 1 3nn hnh 有 上式右端任何一項(xiàng) h 練習(xí) P4 5 課堂小結(jié) 實(shí)數(shù) 一 實(shí) 數(shù) 及 其 性 質(zhì)二 絕 對(duì) 值 與 不 等 式 作業(yè) P4 1 1 2 2 3 3 2數(shù)集和確界原理 授課章節(jié) 第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù) 2 數(shù)集和確界原理 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握確界原理 建立起實(shí)數(shù)確界的清晰概念 教學(xué)要求 1 掌握鄰域的概念 2 理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理 并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn) 用 教學(xué)重點(diǎn) 確界的概念及其有關(guān)性質(zhì) 確界原理 教學(xué)難點(diǎn) 確界的定義及其應(yīng)用 教學(xué)方法 講授為主 教學(xué)程序 先通過練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容 以檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果 此后導(dǎo)入新 課 引 言 上節(jié)課中我們對(duì)數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問題作了簡(jiǎn)要討論 此后又讓大家自 學(xué)了第一章 1 實(shí)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容 下面 我們先來檢驗(yàn)一下自學(xué)的效果如何 1 證明 對(duì)任何 有 1 2 xR 1 2 x 2 3 x 1 1xx 2123 x 三 式 相 加 化 簡(jiǎn) 即 可 2 證明 yx 3 設(shè) 證明 若對(duì)任何正數(shù) 有 則 abR ab ab 4 設(shè) 證明 存在有理數(shù) 滿足 xy ryrx 引申 由題 1可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢 這樣思考是做科研時(shí)的經(jīng)常 的思路之一 而不要做完就完了 而要多想想 能否具體問題引出一般的結(jié)論 一般的方法 由上述幾個(gè)小題可以體會(huì)出 大學(xué)數(shù)學(xué) 習(xí)題與中學(xué)的不同 理論性強(qiáng) 概念性強(qiáng) 推理有理有據(jù) 而非憑空想象 課后未布置作業(yè)的習(xí) 題要盡可能多做 以加深理解 語言應(yīng)用 提請(qǐng)注意這種差別 盡快掌握本門課 程的術(shù)語和工具 本節(jié)主要內(nèi)容 1 先定義實(shí)數(shù)集 R中的兩類主要的數(shù)集 區(qū)間與鄰域 2 討論有界集與無界集 3 由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理 確界原理 一 區(qū)間與鄰域 1 區(qū)間 用來表示變量的變化范圍 設(shè) 且 其中 abR 有 限 區(qū) 間區(qū) 間 無 限 區(qū) 間 xRabxabR 開 區(qū) 間 閉 區(qū) 間 有 限 區(qū) 間 閉 開 區(qū) 間 半 開 半 閉 區(qū) 間 開 閉 區(qū) 間 xRaxxR 無 限 區(qū) 間 2 鄰域 聯(lián)想 鄰居 字面意思 鄰近的區(qū)域 與 鄰近的 區(qū)域 很多 a 到底哪一類是我們所要講的 鄰域 呢 就是 關(guān)于 的對(duì)稱區(qū)間 如何用數(shù) 學(xué)語言來表達(dá)呢 1 的 鄰域 設(shè) 滿足不等式 的全體實(shí)數(shù) 的集a 0aR x x 合稱為點(diǎn) 的 鄰域 記作 或簡(jiǎn)記為 即 U Ua Ux 其中 a 稱 為 該 鄰 域 的 中 心 稱 為 該 鄰 域 的 半 徑 2 點(diǎn) 的空心 鄰域 0 o oxaaUa 3 的 右鄰域和點(diǎn) 的空心 右鄰域a 00 UUxaaa 4 點(diǎn) 的 左鄰域和點(diǎn) 的空心 左鄰域00 x 5 鄰域 鄰域 鄰域 其中 M為充分大的正數(shù) Ux Ux 二 有界集與無界集 1 定義 1 上 下界 設(shè) 為 中的一個(gè)數(shù)集 若存在數(shù) 使得一切SR ML 都有 則稱 S為有上 下 界的數(shù)集 數(shù) 稱為 S的xS MxL 上界 下界 若數(shù)集 S既有上界 又有下界 則稱 S為有界集 閉區(qū)間 開區(qū)間 為有限數(shù) 鄰域等都是有界數(shù)集 abba 集合 也是有界數(shù)集 sin xyE 若數(shù)集 S不是有界集 則稱 S為無界集 等都是無界數(shù)集 0 集合 也是無界數(shù)集 1 xyE 注 1 上 下 界若存在 不唯一 2 上 下 界與 S的關(guān)系如何 看下例 例 1 討論數(shù)集 的有界性 Nn 為 正 整 數(shù) 解 任取 顯然有 所以 有下界 1 0n 01 N 但 無上界 因?yàn)榧僭O(shè) 有上界 M 則 M 0 按定義 對(duì)任意 都 0nN 有 這是不可能的 如取0M 則 且 1nM 符 號(hào) 表 示 不 超 過 的 最 大 整 數(shù) 0n 0M 綜上所述知 是有下界無上界的數(shù)集 因而是無界集 N 例 2證明 1 任何有限區(qū)間都是有界集 2 無限區(qū)間都是無界集 3 由有限個(gè)數(shù)組成的數(shù)集是有界集 問題 若數(shù)集 S有上界 上界是唯一的嗎 對(duì)下界呢 答 不唯一 有無窮多個(gè) 三 確界與確界原理 1 定義 定義 2 上確界 設(shè) S是 R中的一個(gè)數(shù)集 若數(shù) 滿足 1 對(duì)一切 有 即 是 S的上界 2 對(duì)任何 存在 使得 xS 0 xS 即 是 S的上界中最小的一個(gè) 則稱數(shù) 為數(shù)集 S的上確界 記作0 sup 從定義中可以得出 上確界就是上界中的最小者 命題 1 充要條件supME 1 x 2 00 oSxM 使 得 證明 必要性 用反證法 設(shè) 2 不成立 則 與 是上界中最小的一個(gè)矛盾 0 o 使 得 均 有 充分性 用反證法 設(shè) 不是 E的上確界 即 是上界 但 0M 0 令 由 2 使得 與 是 E的上界矛0M 0 x 0 x 0 盾 定義 3 下確界 設(shè) S是 R中的一個(gè)數(shù)集 若數(shù) 滿足 1 對(duì)一切 有 即 是 S的下界 2 對(duì)任何 存在 使得 xS 0 xS 即 是 S的下界中最大的一個(gè) 則稱數(shù) 為數(shù)集 S的下確界 記作0 inf 從定義中可以得出 下確界就是下界中的最大者 命題 2 的充要條件 ifS 1 xE 2 0 00 x有 上確界與下確界統(tǒng)稱為確界 例 3 1 則 1 0 1 nSsupS infS 2 則 1 0 0 i xyEsupinfS 注 非空有界數(shù)集的上 或下 確界是唯一的 命題 3 設(shè)數(shù)集 有上 下 確界 則這上 下 確界必是唯一的 A 證明 設(shè) 且 則不妨設(shè)sup s Ax 有 對(duì) 使 矛盾 sup 0 x 0 x 例 sup0R sup1nZ 1inf2Z 則有 5 39Eif5E 開區(qū)間 與閉區(qū)間 有相同的上確界 與下確界 ab abba 例 4設(shè) 和 是非空數(shù)集 且有 則有 SA AS infi supASS 例 5設(shè) 和 是非空數(shù)集 若對(duì) 和 都有 則有Bx Byyxinfsup 證明 是 的上界 是 的下界 y A sup yA sup ifs BA 例 6 和 為非空數(shù)集 試證明 BS inf miinfBAS 證明 有 或 由 和 分別是 和 的下界 有x A xAif 或inf if if B 即 是數(shù)集 的下界 mBS 又 的下界就是 的下界 inf iif AS SA A 是 的下界 是 的下界 同理有n infi ifiB 于是有 inf miBS 綜上 有 nfA 1 數(shù)集與確界的關(guān)系 確界不一定屬于原集合 以例 3 為例做解釋 2 確界與最值的關(guān)系 設(shè) 為數(shù)集 E 1 的最值必屬于 但確界未必 確界是一種臨界點(diǎn) E 2 非空有界數(shù)集必有確界 見下面的確界原理 但未必有最值 3 若 存在 必有 對(duì)下確界有類似的結(jié)論 maxsupax 4 確界原理 Th1 1 確界原理 設(shè) 非空的數(shù)集 若 有上界 則 必有上確界 若 有SSSS 下界 則 必有下確界 S 這里我們給一個(gè)可以接受的說明 非空 Ex 我們可以找到一 ER 個(gè)整數(shù) 使得 p不是 上界 而 是 的上界 然后我們遍查1p 9 2 1p 和 1 我們可以找到一個(gè) 0q 90 使得 0 qp不是E 上界 0q是 E上界 如果再找第二位小數(shù) 1 如此下去 最后得 到 210 它是一個(gè)實(shí)數(shù) 即為 E的上確界 證明 書上對(duì)上確界的情況給出證明 下面講對(duì)下確界的證明 不妨設(shè)S 中的元素都為非負(fù)數(shù) 則存在非負(fù)整數(shù) n 使得 1 Sx 有 n 2 存在 1 有 1 x 把區(qū)間 n10等分 分點(diǎn)為 n 1 2 9 存在 1n 使得 1 有 1 2 存在 Sx2 使得 102 n 再對(duì)開區(qū)間 10等分 同理存在 2 使得1 0n 1 對(duì)任何 有 21 x 2 存在 2x 使 02 n 繼續(xù)重復(fù)此步驟 知對(duì)任何 k 存在 kn使得 1 對(duì)任何 S k1021 2 存在 xk k 因此得到 n21 以下證明 Sif 對(duì)任意 x 對(duì)任何 存在 使 x 作業(yè) P9 1 1 2 2 4 2 4 3函數(shù)概念 授課章節(jié) 第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù) 3 函數(shù)概念 教學(xué)目的 使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念 教學(xué)要求 深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù) 反函數(shù)和初等函數(shù)的定義 熟 悉函數(shù)的各種表示法 牢記基本初等函數(shù)的定義 性質(zhì)及其圖象 會(huì)求初等函數(shù)的存在域 會(huì)分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系 教學(xué)重點(diǎn) 函數(shù)的概念 教學(xué)難點(diǎn) 初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析 教學(xué)方法 課堂講授 輔以提問 練習(xí) 部分內(nèi)容可自學(xué) 教學(xué)程序 引 言 關(guān)于函數(shù)概念 在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的了解 為便于今后的學(xué)習(xí) 本節(jié) 將對(duì)此作進(jìn)一步討論 一 函數(shù)的定義 定義 設(shè) 如果存在對(duì)應(yīng)法則 使對(duì) 存在唯一 DMR fxD 的一個(gè)數(shù) 與之對(duì)應(yīng) 則稱 是定義在數(shù)集 上的函數(shù) 記作y fD M xy 數(shù)集 稱為函數(shù) 的定義域 所對(duì)應(yīng)的 稱為 在點(diǎn) 的函數(shù)值 記Df fx 為 全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù) 的值域 記作 fxf D 即 fDyx 幾點(diǎn)說明 1 函數(shù)定義的記號(hào)中 表示按法則 建立 到 的函數(shù) fM fM 關(guān)系 表示這兩個(gè)數(shù)集中元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 也記作 習(xí)慣 xy xf 上稱 自變量 為因變量 2 函數(shù)有三個(gè)要素 即定義域 對(duì)應(yīng)法則和值域 當(dāng)對(duì)應(yīng)法則和定義域 確定后 值域便自然確定下來 因此 函數(shù)的基本要素為兩個(gè) 定義域和對(duì)應(yīng)法 則 所以函數(shù)也常表示為 yfxD 由此 我們說兩個(gè)函數(shù)相同 是指它們有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則 例如 1 不相同 對(duì)應(yīng)法則相同 定 1 fxR 1 0 gxR 義域不同 2 相同 只是對(duì)應(yīng)法則的表 2 x 達(dá)形式不同 3 函數(shù)用公式法 解析法 表示時(shí) 函數(shù)的定義域常取使該運(yùn)算式子有 意義的自變量的全體 通常稱為存在域 自然定義域 此時(shí) 函數(shù)的記號(hào)中的 定義域可省略不寫 而只用對(duì)應(yīng)法則 來表示一個(gè)函數(shù) 即 函數(shù) 或f yfx 函數(shù) f 4 映射 的觀點(diǎn)來看 函數(shù) 本質(zhì)上是映射 對(duì)于 稱為f aD f 映射 下 的象 稱為 的原象 fa fa 5 函數(shù)定義中 只能有唯一的一個(gè) 值與它對(duì)應(yīng) 這樣定義xD y 的函數(shù)稱為 單值函數(shù) 若對(duì)同一個(gè) 值 可以對(duì)應(yīng)多于一個(gè) 值 則稱這種x 函數(shù)為多值函數(shù) 本書中只討論單值函數(shù) 簡(jiǎn)稱函數(shù) 二 函數(shù)的表示方法 1 主要方法 解析法 公式法 列表法 表格法 和圖象法 圖示法 2 可用 特殊方法 來表示的函數(shù) 1 分段函數(shù) 在定義域的不同部分用不同的公式來表示 例如 符號(hào)函數(shù) 1 0sgn x 借助于 sgnx可表示 即 fx sgnfxx 2 用語言敘述的函數(shù) 注意 以下函數(shù)不是分段函數(shù) 例 取整函數(shù) y 比如 3 5 3 3 3 3 5 4 常有 即 1x 01x 與此有關(guān)一個(gè)的函數(shù) 非負(fù)小數(shù)函數(shù) 圖 y 形是一條大鋸 畫出圖看一看 狄利克雷 Dirichlet 函數(shù) 1 0 xD 當(dāng) 為 有 理 數(shù)當(dāng) 為 無 理 數(shù) 這是一個(gè)病態(tài)函數(shù) 很有用處 卻無法畫出它的圖形 它是周期函數(shù) 但卻 沒有最小周期 事實(shí)上任一有理數(shù)都是它的周期 黎曼 Riemman 函數(shù) 1 001 ppxqNqR 當(dāng) 為 既 約 分 數(shù)當(dāng) 和 內(nèi) 的 無 理 數(shù) 三 函數(shù)的四則運(yùn)算 給定兩個(gè)函數(shù) 記 并設(shè) 定義 與12 fxDg12D f 在 上的和 差 積運(yùn)算如下 gD Fxf Gxfgx Hgx 若在 中除去使 的值 即令 可在 0 2 0 DxD 上定義 與 的商運(yùn)算如下 D fg fxLDg 注 若 則 與 不能進(jìn)行四則運(yùn)算 12D f 為敘述方便 函數(shù) 與 的和 差 積 商常分別寫為 ffgfg 四 復(fù)合運(yùn)算 引言 在有些實(shí)際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才建立起它們 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 例 質(zhì)量為 m的物體自由下落 速度為 v 則功率 為E 2211Emgtvgt 抽去該問題的實(shí)際意義 我們得到兩個(gè)函數(shù) 把 代2 fvgt vt 入 即得f 21 fvtmgt 這樣得到函數(shù)的過程稱為 函數(shù)復(fù)合 所得到的函數(shù)稱為 復(fù)合函數(shù) 問題 任給兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合嗎 考慮下例 2 arcsin 1 yfuDugxER 就不能復(fù)合 結(jié)合上例可見 復(fù)合的前提條件是 內(nèi)函數(shù) 的值域與 外函數(shù) 的定義域的交集不空 從而引出下面定義 2 定義 復(fù)合函數(shù) 設(shè)有兩個(gè)函數(shù) yfDugx 若 則對(duì)每一個(gè) 通過 對(duì)應(yīng) 內(nèi)唯一一個(gè) ExfDE xE 值 而 又通過 對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)值 這就確定了一個(gè)定義在 上的函數(shù) ufy 它以 為自變量 因變量 記作 或 簡(jiǎn)記xy fgx yfgxE 為 稱為函數(shù) 和 的復(fù)合函數(shù) 并稱 為外函數(shù) 為內(nèi)函數(shù) 為中間fg fg u 變量 3 例子 例 求 并求定義 1 2xgufy xgff 域 例 1 1 2 xfxf 則 12xf xf A B C D 2 12 x 2 x 2 x 例 討論函數(shù) 與函數(shù) 能否 0 yfu 2 1 ugR 進(jìn)行復(fù)合 求復(fù)合函數(shù) 4 說明 復(fù)合函數(shù)可由多個(gè)函數(shù)相繼復(fù)合而成 每次復(fù)合 都要驗(yàn)證能否進(jìn)行 在哪個(gè)數(shù)集上進(jìn)行 復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么 例如 復(fù)合成 2sin 1yuvx 2si1 yx 不僅要會(huì)復(fù)合 更要會(huì)分解 把一個(gè)函數(shù)分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) 在分 解時(shí)也要注意定義域的變化 2 2log1 0 log 1 a ayxyuzx 2rcsinrcsinv 2i 2 xuyyvx 五 反函數(shù) 引言 在函數(shù) 中把 叫做自變量 叫做因變量 但需要指出的是 自變 yfx y 量與因變量的地位并不是絕對(duì)的 而是相對(duì)的 例如 那2 1 fut 么 對(duì)于 來講是自變量 但對(duì) 來講 是因變量 uf tu 習(xí)慣上說函數(shù) 中 是自變量 是因變量 是基于 隨 的變化現(xiàn) yfx yyx 時(shí)變化 但有時(shí)我們不僅要研究 隨 的變化狀況 也要研究 隨 的變化的狀yx 況 對(duì)此 我們引入反函數(shù)的概念 反函數(shù)概念 定義設(shè) Xf R是一函數(shù) 如果 1x X 2 由 2121xx 或由 1 ff 則稱 f在 上是 1 1 的 若 Y f 稱 為滿的 若 Xf是滿的 1 1 的 則稱 f為 1 1對(duì)應(yīng) R是 1 1 的意味著 xy 對(duì)固定 y至多有一個(gè)解x Yf是 1 1 的意味著對(duì) Y f有且僅有一個(gè) 解 定義 設(shè) Xf 是 1 1對(duì)應(yīng) y 由 xf 唯一確 定一個(gè) x 由這種對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱為 y的反 函數(shù) 記為 1yf 反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域 YXf 1 顯然有 If 恒等變換 1 恒等變換 YXff 從方程角度看 函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別 作為函數(shù) 習(xí)慣 上我們還是把反函數(shù)記為 1xy 這樣它的圖形與 xfy 的圖形是關(guān)于對(duì)角線 對(duì)稱的 嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是 1 1對(duì)應(yīng)的 所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù) 但 1 1 對(duì)應(yīng)的函數(shù) 有反函數(shù) 不一定是嚴(yán)格單調(diào)的 看下面例子 21 30 xxf 它的反函數(shù)即為它自己 實(shí)際求反函數(shù)問題可分為二步進(jìn)行 1 確定 YXf 的定義域 X和值域 Y 考慮 1 1對(duì)應(yīng)條件 固定 Yy 解方程 yx 得出 1yfx 2 按習(xí)慣 自變量 因變量 互換 得 1xf 例 求 2 xesh R R的反函數(shù) 0 x y 解 固定 y 為解 2 xe 令 zx 方程變?yōu)?1z 02y 2 舍去 12 y 得 ln 2 yx 即 ln2xshx 稱為反雙曲正弦 定理 給定函數(shù) f 其定義域和值域分別記為 X和 Y 若在 Y上存在函數(shù) yg 使得 fg 則有 1yfg 分析 要證兩層結(jié)論 一是 的反函數(shù)存在 我們只要證它是 1 1 對(duì)應(yīng)就行了 二是要證 1 f 證 要證 xfy 的反函數(shù)存在 只要證 xf是 到 Y的 1 1 對(duì)應(yīng) 1 X 2 若 21fxf 則由定理?xiàng)l件 我們有 1 fg 2g 即 Y 是 1 1 對(duì)應(yīng) 再證 y X 使得 xfy y 由反函數(shù)定義 1fx 再由定理?xiàng)l件 gf 1 gfy 例 若 f存在唯一 不動(dòng)點(diǎn) 則 xf也 不動(dòng)點(diǎn) R 證 存在性 設(shè) x ff 即 xf是 f 的不動(dòng)點(diǎn) 由唯一性 x 即存在 的不動(dòng)點(diǎn) 唯一性 設(shè) xf fxf 說明 x是 的不動(dòng)點(diǎn) 由唯一性 x 從映射的觀點(diǎn)看函數(shù) 設(shè)函數(shù) 滿足 對(duì)于值域 中的每一個(gè)值 中 yfxD fDy 有且只有一個(gè)值 使得 則按此對(duì)應(yīng)法則得到一個(gè)定義在 fy 上的函數(shù) 稱這個(gè)函數(shù)為 的反函數(shù) 記作 fD 或1 fDyx 1 xfyfD 注 釋 a 并 不是任 何函數(shù) 0 y f x y f 1 x 0 y f x 都有反函數(shù) 從映射的觀點(diǎn)看 函數(shù) 有反函數(shù) 意味著 是 與ff 之間的一個(gè)一一映射 稱 為映射 的逆映射 它把 fD1 D b 函數(shù) 與 互為反函數(shù) 并有 f 1 fx 1 fxyf c 在反函數(shù)的表示 中 是以 為自變量 為因變量 若1 xfyfD yx 按習(xí)慣做法用 做為自變量的記號(hào) 作為因變量的記號(hào) 則函數(shù) 的反f 函數(shù) 可以改寫為1f yxD 應(yīng)該注意 盡管這樣做了 但它們的表示同一個(gè)函數(shù) 因?yàn)槠涠x域和對(duì) 應(yīng)法則相同 僅是所用變量的記號(hào)不同而已 但它們的圖形在同一坐標(biāo)系中畫出 時(shí)有所差別 六 初等函數(shù) 1 基本初等函數(shù) 類 常量函數(shù) 為常數(shù) yC 冪函數(shù) xR 指數(shù)函數(shù) 0 1ya 對(duì)數(shù)函數(shù) log ax 三角函數(shù) sin cs cyytgxt 反三角函數(shù) araro xrxyarctgx 注 冪函數(shù) 和指數(shù)函數(shù) 都涉及乘冪 而在 yxR 01 xy 中學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義 下面我們借助于確界來定義無 理指數(shù)冪 便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實(shí)指數(shù)乘冪 并保持有理批數(shù)冪的 基本性質(zhì) 定義 給定實(shí)數(shù) 設(shè) 為無理數(shù) 我們規(guī)定 0 1a x sup 1 0rxx a r0 Xx有 即 f fM 取 m 即可 f 反之如果 使得 令 則 xfx 0a1 即 使得對(duì) 有 即 有界 0 fx 0 X f fR 例 2 證明 為 上的無上界函數(shù) 1 fx 0 例 3 設(shè) 為 D上的有界函數(shù) 證明 1 g inf if inf xDxxgx 2 supsups xDf 例 4驗(yàn)證函數(shù) 在 內(nèi)有界 325 fR 解法一 由 當(dāng) 時(shí) 有 623 22 xxx 0 56 22 xf 30 對(duì) 總有 即 在 內(nèi)有界 R 3 f xfR 解法二 令 關(guān)于 的二次方程 有實(shí)數(shù) 25 xy 0352 yxy 根 4 425 0 y 解法三 令 對(duì)應(yīng) 于是 23 tgx x ttgtgtxf 2222 sec1oin6513535 2sin2 sin625 txft 二 單調(diào)函數(shù) 定義 3設(shè) 為定義在 D上的函數(shù) 1 若f 1212 xDx 則稱 為 D上的增函數(shù) 若 則稱 為 D上的嚴(yán)格12 fx fff 增函數(shù) 2 若 則稱 為 D上的減函數(shù) 若 則稱12 fxf f 12 x 為 D上的嚴(yán)格減函數(shù) f 例 5 證明 在 上是嚴(yán)格增函數(shù) 3y 證明 設(shè) 21x 212121 xx 如 02 則 3 如 1 則 221120 故 0321 x即得證 例 6 討論函數(shù) 在 上的單調(diào)性 yx R 當(dāng) 時(shí) 有 但此函數(shù)在 上的不是嚴(yán)格增函12 12 12x R 數(shù) 注 1 單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān) 在定義域的某些部分 可能單調(diào) f 也可能不單調(diào) 所以要會(huì)求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 2 嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義 其圖象無自交點(diǎn)或無平行于 軸的部分 更x 準(zhǔn)確地講 嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于 軸的直線至多有一個(gè)交點(diǎn) 這一x 特征保證了它必有反函數(shù) 總結(jié)得下面的結(jié)論 定理 1 設(shè) 為嚴(yán)格增 減 函數(shù) 則 必有反函數(shù) 且 yfxD f1f 在其定義域 上也是嚴(yán)格增 減 函數(shù) f 證明 設(shè) 在 上嚴(yán)格增函數(shù) 對(duì) 下面證明f yfxDfy 一 這樣的 只有一個(gè) 事實(shí)上 對(duì)于 內(nèi)任一 由于 在 上嚴(yán)格增函數(shù) 當(dāng)x 1 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 總之 即1 1 fy1x 1 ffy 從而 yDDfx 一 例 7 討論函數(shù) 在 上反函數(shù)的存在性 如果 在2 2x 上不存在反函數(shù) 在 的子區(qū)間上存在反函數(shù)否 結(jié)論 函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān) 例 8 證明 當(dāng) 時(shí)在 上嚴(yán)格增 當(dāng) 時(shí)在 上嚴(yán)格遞減 xya1 01a R 三 奇函數(shù)和偶函數(shù) 定義 4 設(shè) D為對(duì)稱于原點(diǎn)的數(shù)集 為定義在 D上的函數(shù) 若對(duì)每一個(gè)f 有 1 則稱 為 D上的奇函數(shù) 2 x fxf f fxf 則稱 為 D上的偶函數(shù) f 注 1 從函數(shù)圖形上看 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 中心對(duì)稱 偶 函數(shù)的圖象關(guān)于 軸對(duì)稱 y 2 奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ 因此 沒有必要討論奇 01 fx 偶性 3 從奇偶性角度對(duì)函數(shù)分類 奇 函 數(shù) y sin偶 函 數(shù) g非 奇 非 偶 函 數(shù) ix co既 奇 又 偶 函 數(shù) 0 4 由于奇偶函數(shù)對(duì)稱性的特點(diǎn) 研究奇偶函數(shù)性質(zhì)時(shí) 只須討論原點(diǎn)的 左邊或右邊即可四 周期函數(shù) 1 定義 設(shè) 為定義在數(shù)集 D上的函數(shù) 若存在 使得對(duì)一切 有f 0 xD 則稱 為周期函數(shù) 稱為 的一個(gè)周期 fx f f 2 幾點(diǎn)說明 1 若 是 的周期 則 也是 的周期 所以周期若存在 則f nN 不唯一 如 因此有如下 基本周期 的說法 即若在周sin 2 4yx 期函數(shù) 的所有周期中有一個(gè)最小的周期 則稱此最小周期為 的 基本周期 f f 簡(jiǎn)稱 周期 如 周期為 i 2 任給一個(gè)函數(shù)不一定存在周期 既使存在周期也不一定有基本周期 如 1 不是周期函數(shù) 2 為常數(shù) 任何正數(shù)都是它的1yx yC 周期 第二章數(shù)列極限 引 言 為了掌握變量的變化規(guī)律 往往需要從它的變化過程來判斷它的變化趨勢(shì) 例如有這么一個(gè)變量 它開始是 1 然后為 如此 一直無盡地1 234n 變下去 雖然無盡止 但它的變化有一個(gè)趨勢(shì) 這個(gè)趨勢(shì)就是在它的變化過程 中越來越接近于零 我們就說 這個(gè)變量的極限為 0 在高等數(shù)學(xué)中 有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān) 如導(dǎo)數(shù) 微分 積分 級(jí)數(shù)等 并且在實(shí)際問題中極限也占有重要的地位 例如求圓的面積和 圓周長(zhǎng) 已知 但這兩個(gè)公式從何而來 2 Srl 要知道 獲得這些結(jié)果并不容易 人們最初只知道求多邊形的面積和求直 線段的長(zhǎng)度 然而 要定義這種從多邊形到圓的過渡就要求人們?cè)谟^念上 在思 考方法上來一個(gè)突破 問題的困難何在 多邊形的面積其所以為好求 是因?yàn)樗闹芙缡且恍┲?線段 我們可以把它分解為許多三角形 而圓呢 周界處處是彎曲的 困難就在 這個(gè) 曲 字上面 在這里我們面臨著 曲 與 直 這樣一對(duì)矛盾 辯證唯物主義認(rèn)為 在一定條件下 曲與直的矛盾可以相互轉(zhuǎn)化 整個(gè)圓周 是曲的 每一小段圓弧卻可以近似看成是直的 就是說 在很小的一段上可以 近似地 以直代曲 即以弦代替圓弧 按照這種辯證思想 我們把圓周分成許多的小段 比方說 分成 個(gè)等長(zhǎng)的n 小段 代替圓而先考慮其內(nèi)接正 邊形 易知 正 邊形周長(zhǎng)為nn2sinlR 顯然 這個(gè) 不會(huì)等于 然而 從幾何直觀上可以看出 只要正 邊形的邊l 數(shù)不斷增加 這些正多邊形的周長(zhǎng)將隨著邊數(shù)的增加而不斷地接近于圓周長(zhǎng) 越大 近似程度越高 n 但是 不論 多么大 這樣算出來的總還只是多邊形的周長(zhǎng) 無論如何它只n 是周長(zhǎng)的近似值 而不是精確值 問題并沒有最后解決 為了從近似值過渡到精確值 我們自然讓 無限地增大 記為 直觀nn 上很明顯 當(dāng) 時(shí) 記成 極限思想 nllimnl 即圓周長(zhǎng)是其內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)的極限 這種方法是我國(guó)劉微 張晉 早在 第 3世紀(jì)就提出來了 稱為 割圓術(shù) 其方法就是 無限分割 以直代曲 其思想在于 極限 除之以外 象曲邊梯形面積的計(jì)算均源于 極限 思想 所以 我們有必要 對(duì)極限作深入研究 1數(shù)列極限的概念 教學(xué)目的 使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念 會(huì)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列 極限等有關(guān)命題 教學(xué)要求 使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的 定義的清晰概念 深刻理解數(shù)列N 發(fā)散 單調(diào) 有界和無窮小數(shù)列等有關(guān)概念 會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的 定義證明數(shù)列的有關(guān)命題 并能運(yùn)用 語言正確表述數(shù)列N 不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述 教學(xué)重點(diǎn) 數(shù)列極限的概念 教學(xué)難點(diǎn) 數(shù)列極限的 定義及其應(yīng)用 教學(xué)方法 講授為主 教學(xué)程序 一 什么是數(shù)列 1 數(shù)列的定義 數(shù)列就是 一列數(shù) 但這 一列數(shù) 并不是任意的一列數(shù) 而是有一定的 規(guī)律 有一定次序性 具體講數(shù)列可定義如下 若函數(shù) 的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合 則稱 為數(shù)列 f N fR 注 1 根據(jù)函數(shù)的記號(hào) 數(shù)列也可記為 n 2 記 則數(shù)列 就可寫作為 簡(jiǎn)記為 nfa fn12 na na 即 fnN 3 不嚴(yán)格的說法 說 是一個(gè)數(shù)列 f 2 數(shù)列的例子 1 2 1 34 n 11 2 435n 3 4 2965 0 二 什么是數(shù)列極限 1 引言 對(duì)于這個(gè)問題 先看一個(gè)例子 古代哲學(xué)家莊周所著的 莊子 天下篇 引用過一句話 一尺之棰 日取其半 萬世不竭 把每天截下的部分的長(zhǎng)度 列出如下 單位為尺 第 1天截下 2 第 2天截下 21 第 3天截下 3 第 天截下 n12n 得到一個(gè)數(shù)列 23 n 不難看出 數(shù)列 的通項(xiàng) 隨著 的無限增大而無限地接近于零 1n 一般地說 對(duì)于數(shù)列 若當(dāng) 無限增大時(shí) 能無限地接近某一個(gè)常 ana 數(shù) 則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列 常數(shù) 稱為它的極限 不具有這種特性的數(shù)列就a 不是收斂的數(shù)列 或稱為發(fā)散數(shù)列 據(jù)此可以說 數(shù)列 是收斂數(shù)列 0是它的極限 12n 數(shù)列 都是發(fā)散的數(shù)列 2 n 需要提出的是 上面關(guān)于 收斂數(shù)列 的說法 并不是嚴(yán)格的定義 而僅 是一種 描述性 的說法 如何用數(shù)學(xué)語言把它精確地定義下來 還有待進(jìn)一步 分析 以 為例 可觀察出該數(shù)列具以下特性 1n 隨著 的無限增大 無限地接近于 1 隨著 的無限增大 1na n 與 1的距離無限減少 隨著 的無限增大 無限減少 會(huì)任意小 只要 充分大 n 如 要使 只要 即可 1 0 10n 要使 只要 即可 任給無論多么小的正數(shù) 都會(huì)存在數(shù)列的一項(xiàng) 從該項(xiàng)之后 Na nN 即 當(dāng) 時(shí) 1 n 0 N n 1 n 如何找 或 存在嗎 解上面的數(shù)學(xué)式子即得 取1 即可 這樣 當(dāng) 時(shí) 1 N 0 n1 nN 綜上所述 數(shù)列 的通項(xiàng) 隨 的無限增大 無限接近于 1 1 1n 即是對(duì)任意給定正數(shù) 總存在正整數(shù) 當(dāng) 時(shí) 有 此即 N 以 1為極限的精確定義 記作 或 n 1limn 1 n 2 數(shù)列極限的定義 定義 1 設(shè) 為數(shù)列 為實(shí)數(shù) 若對(duì)任給的正數(shù) 總存在正整數(shù) 使得 naa N 當(dāng) 時(shí)有 則稱數(shù)列 收斂于 實(shí)數(shù) 稱為數(shù)列 的極限 N na na 并記作 或 limn n 讀作 當(dāng) 趨于無窮大時(shí) 的極限等于 或 趨于 由于 限于取正整nan 數(shù) 所以在數(shù)列極限的記號(hào)中把 寫成 即 或 limna na 若數(shù)列 沒有極限 則稱 不收斂 或稱 為發(fā)散數(shù)列 n n n 問題 如何表述 沒有極限 na 3 舉例說明如何用 定義來驗(yàn)證數(shù)列極限N 例 1 證明 1lim0 pn 證明 不妨設(shè) 要使 0 N時(shí) 有 0 1pnppP 12 例 2 求證 0 lim qq n 證明 不妨設(shè) 要使 nnq0 只要 lg qn 注意這里 0lg lq 只要 lg 取 qNlg 則當(dāng) N時(shí) 就有 n 即 lim n 例 3 求證 1lim a n 證法 1 先設(shè) 0 要使 1 nna 只要 na 只要 1 lg n 只要 lg 取 lg aN 當(dāng) N 時(shí) 就有 1 na 即 1lim na 對(duì) 10 令 b 則 lim li nnba 證法 2 令 nnha 1 則 nnn hha 1 an 00 要使 只要 取 aN 只要 N 就有 1na 即 lim n 例 4 證 1 0 an 證明 因?yàn)?2 acnan 0 要使 0 nan 只要 ac 取 N 則只要 Nn 就有 an 即 0lim n 例 5 04li2 n 證明 nn3 3 2 1 2 1 31 3 n 注意到對(duì)任何正整數(shù) 時(shí)有 就有kn k 2 176 2 127640 4 nn 12746n 于是 對(duì) 取 0 max N 例 6 lim an 證法一 令 有 用 Bernoulli不等式 有 1n 0n 或 1 na 1 1naan 證法二 用均值不等式 nna個(gè)10 n 例 7 lim n 證一 時(shí) 2 n 2121 102 nnn 證二 2 n 二項(xiàng)式展開 1 2 nn 因此 0 取 2 N 則當(dāng) Nn 時(shí)就有 10n即 附 此題請(qǐng)注意以下的錯(cuò)誤做法 1 1 nnn nn1n 注意 不趨于零 例 8 證明 34lim2 n 證明 由于 n 1222 3 因此 0 只要取 n1 便有 42n 由于 式是在 3 的條件下成立的 故應(yīng)取 12 3max N 當(dāng)Nn 時(shí)就有 42n 即 34li2 n 總結(jié) 用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等式 關(guān)鍵的追求有 兩點(diǎn) 一是把隱性表達(dá)式變成顯性表達(dá)式 在重鎖迷霧中看清廬山真面目 二 是抓住主要矛盾 舍去次要矛盾 要取舍合理 不能放大得過份 4 關(guān)于數(shù)列的極限的 定義的幾點(diǎn)說明N 1 關(guān)于 的任意性 定義 1中的正數(shù) 的作用在于衡量數(shù)列通項(xiàng) 與常數(shù) 的接近程度 越小 表示接近得越好 而正數(shù) 可以任意小 說na 明 與常數(shù) 可以接近到任何程度 的暫時(shí)固定性 盡管 有其任意性 但 一經(jīng)給出 就暫時(shí)地被確定下來 以便依靠它來求出 的多值性 既是N 任意小的正數(shù) 那么 等等 同樣也是任意小的正數(shù) 因此定義 1中的2 3 不等式 中的 可用 等來代替 從而 可用 na 2 na 代替 正由于 是任意小正數(shù) 我們可以限定 小于一個(gè)確定的 正數(shù) 2 關(guān)于 相應(yīng)性 一般地 隨 的變小而變大 因此常把 定NN N 作 來強(qiáng)調(diào) 是依賴于 的 一經(jīng)給定 就可以找到一個(gè) 多值 性 的相應(yīng)性并不意味著 是由 唯一確定的 因?yàn)閷?duì)給定的 若NN 時(shí)能使得當(dāng) 時(shí) 有 則 或更大的數(shù)時(shí)此不等式自10 n na 10 然成立 所以 不是唯一的 事實(shí)上 在許多場(chǎng)合下 最重要的是 的存在性 N 而不是它的值有多大 基于此 在實(shí)際使用中的 也不必限于自然數(shù) 只要 是正數(shù)即可 而且把 改為 也無妨 3 數(shù)列極限的幾何理解 在定義 1中 當(dāng) 時(shí)有 n na 當(dāng) 時(shí)有 當(dāng) 時(shí)有 nN na 所有下標(biāo)大于 的項(xiàng) 都落在鄰域 內(nèi) aU Nn U 而在 之外 數(shù)列 中的項(xiàng)至多只有 個(gè) 有限個(gè) 反之 任給 n 0 若在 之外數(shù)列 中的項(xiàng)只有有限個(gè) 設(shè)這有限個(gè)項(xiàng)的最大下標(biāo)為 N 則當(dāng) 時(shí)有 即當(dāng) 時(shí)有 由此寫出數(shù)列極限的n na na 一種等價(jià)定義 鄰域定義 定義 任給 若在 之外數(shù)列 中的項(xiàng)只有有限個(gè) 則稱數(shù)1 0 U 列 收斂于極限 n 由此可見 1 若存在某個(gè) 使得數(shù)列 中有無窮多個(gè)項(xiàng)落在0na 之外 則 一定不以 為極限 2 數(shù)列是否有極限 只與它從某一0 Ua naa 項(xiàng)之后的變化趨勢(shì)有關(guān) 而與它前面的有限項(xiàng)無關(guān) 所以 在討論數(shù)列極限時(shí) 可以添加 去掉或改變它的有限項(xiàng)的數(shù)值 對(duì)收斂性和極限都不會(huì)發(fā)生影響 例 1 證明 和 都是發(fā)散數(shù)列 2 1 n 例 2 設(shè) 作數(shù)列如下 證limlinxya 12 nnzxyxy 明 nz 例 3 設(shè) 為給定的數(shù)列 為對(duì) 增加 減少或改變有限項(xiàng)之后得anbna 到的數(shù)列 證明 數(shù)列 與 同時(shí)收斂或發(fā)散 且在收斂時(shí)兩者的極限相等 na 三 無窮小數(shù)列 在所有收斂數(shù)列中 在一類重要的數(shù)列 稱為無窮小數(shù)列 其定義如下 定義 2 若 則稱 為無窮小數(shù)列 lim0na na 如 都是無窮小數(shù)列 11 2 數(shù)列 收斂于 的充要條件 n 定理 2 1 數(shù)列 收斂于 的充要條件是 為無窮小數(shù)列 na na 作業(yè) 教材 P27 3 4 5 7 8 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 教學(xué)內(nèi)容 第二章 數(shù)列極限 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 教學(xué)目的 熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì) 掌握求數(shù)列極限的常用方法 教學(xué)要求 1 使學(xué)生理解并能證明數(shù)列性質(zhì) 極限的唯一性 局部有界性 保號(hào)性 保不等式性 2 掌握并會(huì)證明收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理 迫斂性定理 并會(huì)用 這些定理求某些收斂數(shù)列的極限 教學(xué)重點(diǎn) 迫斂性定理及四則運(yùn)算法則及其應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn) 數(shù)列極限的計(jì)算 教學(xué)方法 講練結(jié)合 教學(xué)程序 引 言 上節(jié)引進(jìn) 數(shù)列極限 的定義 并通過例題說明了驗(yàn)證 的方法 limna 這是極限較基本的內(nèi)容 要求掌握 為了學(xué)習(xí)極限的技巧及其應(yīng)用極限來解決問 題 還需要對(duì)數(shù)列的性質(zhì)作進(jìn)一步討論 一 收斂數(shù)列的性質(zhì) 性質(zhì) 1 極限唯一性 若數(shù)列 na收斂 則它的極限唯一 證一 假設(shè) ba與 都是數(shù)列 的極限 則由極限定義 對(duì) 0 12 N 當(dāng) 1n 時(shí) 有 an 2Nn 時(shí) 有 ban 取 mx 21N 則當(dāng) 時(shí)有 2 baabannnn 由 的任意性 上式僅當(dāng) b 時(shí)才成立 證二 反證 假設(shè) n極限不唯一 即至少有兩個(gè)不相等的極限值 設(shè) 為 ba an lim bn li且 a 故不妨設(shè) ba 取 02 a 由定義 1N 當(dāng) 1 時(shí)有 n bn 又 2 當(dāng) 2n時(shí)有 ban 2 abn 因此 當(dāng) max 21Nn 時(shí)有 nn ab 2 矛盾 因此極限值必唯一 性質(zhì) 2 有界性 如果數(shù)列 n收斂 則 n必為有界數(shù)列 即 0 M 使對(duì) n 有 Man 證明 設(shè) n lim取 1 0 N使得當(dāng) Nn時(shí)有 1 an 即 aann 1 an 令 1x 21NM 則有對(duì) n a 即數(shù)列 na有界 注 有界性只是數(shù)列收斂的必要條件 而非充分條件 如 1 n 在證明時(shí)必須分清何時(shí)用取定 何時(shí)用任給 上面定理 3 2證明 中必須用取定 不能用任給 否則 N隨 在變 找到的 M也隨 在變 界M 的意義就不明確了 性質(zhì) 3 保序性 設(shè) an lim bn li 1 若 ba 則存在 N使得當(dāng) 時(shí)有 nba 2 若存在 當(dāng) n時(shí)有 nba 則 不等式性質(zhì) 證明 1 取 02 ba 則存在 1N 當(dāng) 1 時(shí) 2 ban 從而 n 又存在 2N 當(dāng) 2 時(shí) 2 ban 2ban 當(dāng) max 21Nn 時(shí) nnab 2 反證 如 b 則由 知必 當(dāng) N 時(shí) nb這與已知矛盾 推論 保號(hào)性 若 an li則 當(dāng) n時(shí) an 特別地 若0lim an 則 N 當(dāng) 時(shí) n與 同號(hào) 思考 如把上述定理中的 nba 換成 n 能否把結(jié)論改成nnba lili 例 設(shè) 0 n 21 若 an lim 則 an li 證明 由保序性定理可得 0 a 若 0a 則 1N 當(dāng) 1n 時(shí)有 2 na n 即n lim 若 0 a 則 2 當(dāng) 2n 時(shí)有 an aannn 數(shù)列較為復(fù)雜 如何求極限 性質(zhì) 4 四則運(yùn)算法則 若 n b都收斂 則 nba n nba 也都收斂 且 nnnaa limli lim b limli 特別 地 nnc lili 為常數(shù)如再有 0li nb則 n 也收斂 且 nnbalilim 證明 由于 nnnba 1 nb a1 故只須證關(guān)于和積與倒數(shù) 運(yùn)算的結(jié)論即可 設(shè) an lim bn li 0 1N 當(dāng) 1n 時(shí) an 2N 當(dāng) 2 時(shí) b 取 ax 21N 則當(dāng) n時(shí)上兩式同時(shí)成立 1 bababb nnnnnn 由收斂數(shù)列的有界性 0 M 對(duì) 有 Mn 故當(dāng) Nn 時(shí) 有 aban 由 的任意性知 n lim 2 0li bn 由保號(hào)性 0 N及 k 對(duì) 0Nn 有 kbn 如可令 2 bk 取 max 20 則當(dāng) 時(shí)有 1 bkbbnnn 由 的任意性得 n 1li 用歸納法 可得有限個(gè)序列的四則運(yùn)算 Nkknknnxx1 1 limli k knk 但將上述 N換成 一般不成立 事實(shí)上 1k 或 k本身也是一種極限 兩 種極限交換次序是個(gè)非常敏感的話題 是高等分析中心課題 一般都不能交換 在一定條件下才能交換 具體什么條件 到后面我們會(huì)系統(tǒng)研究這個(gè)問題 性質(zhì) 5 兩邊夾定理或迫斂性 設(shè)有三個(gè)數(shù)列 na b nc 如 N 當(dāng) Nn 時(shí)有 nnbca 且 lim nalilbn 則 nimlc 證明 nlinlil 0 21 N 當(dāng) 1N 時(shí) laln 當(dāng) 2n時(shí) lbln 取 max 210 則當(dāng) 0 時(shí)以上兩式與已知條件中的不等式同 時(shí)成立 故有 0n 時(shí) lbcalnn lcn即 nlimlc 該定理不僅提供了一個(gè)判定數(shù)列收斂的方法 而且也給出了一個(gè)求極限的 方法 推論 若 N 當(dāng) n 時(shí)有 nbca 或 acn 且 abn li 則acn lim 例 求證 nli 0 a 證明 k 使得 從而當(dāng) kn時(shí)有 0 n a ak 121 由于 nlimk k nlia0 由推論即可得結(jié)論 例 設(shè) 1a 2 m是 個(gè)正數(shù) 證明 nlim x 2121nnma 證明 設(shè) a21mA 則 An nma 21A nli 由迫斂性得結(jié)論 例 1 1 lim a n 在證明中 令 0 nh nha 1 得 n ah 0 由此推出0nh 由此例也看出由 nnyzx 和 nnyx limli 也推出 zn li 例 2 證明 1lim 證明 令 nnh 3 2 1 2 1 nhnhn 1 0 n 兩邊夾推出 h 即 n 在求數(shù)列的極限時(shí) 常需要使用極限的四則運(yùn)算法則 下舉幾例 例 3 求極限 93 64lim2 n 解 3 4li1li 212 nnn 例 4 求極限 10 aa 解 nnn 1lim 1 lim 例 5 1 lim 3 lili33 nnn li li nnn 例 6 求 011 limbbaakkmn km 0 a kb 解 原式 kkk kmmn nbnbaa 011li km 即 有理式的極限 0高 次 則 為分 子 最 高 次 低 于 分 母 最 為 最 高 次 系 數(shù) 之 比分 子 分 母 最 高 次 數(shù) 相 同 如 3 27103542lim nn 例 7 lin 1 1limli 21nnn 例 8 設(shè) 0 ba 證明 ax li b nn 證明 max 2 ax mx bbnn 二 數(shù)列的子列 1 引言 極限是個(gè)有效的分析工具 但當(dāng)數(shù)列 的極限不存在時(shí) 這個(gè)工具隨之失 na 效 這能說明什么呢 難道 沒有一點(diǎn)規(guī)律嗎 當(dāng)然不是 出現(xiàn)這種情況原na 因是我們是從 整個(gè) 數(shù)列的特征角度對(duì)數(shù)列進(jìn)行研究 那么 如果 整體無序 部分 是否也無序呢 如果 部分 有序 可否從 部分 來推斷整體的 性質(zhì)呢 簡(jiǎn)而言之 能否從 部分 來把握 整體 呢 這個(gè) 部分?jǐn)?shù)列 就 是要講的 子列 2 子列的定義 定義1 設(shè) 為數(shù)列 為正整數(shù)集 的無限子集 且 naknN 則數(shù)列23kn 12 knna 稱為數(shù)列 的一個(gè)子列 簡(jiǎn)記為 kna 注1 由定義可見 的子列 的各項(xiàng)都來自 且保持這些項(xiàng)在 nk na 中的的先后次序 簡(jiǎn)單地講 從 中取出無限多項(xiàng) 按照其在 中的順nan n 序排成一個(gè)數(shù)列 就是 的一個(gè)子列 或子列就是從 中順次取出無窮多nan 項(xiàng)組成的數(shù)列 注2 子列 中的 表示 是 中的第 項(xiàng) 表示 是 中的 knkkn akkna k 第k項(xiàng) 即 中的第k項(xiàng)就是 中的第 項(xiàng) 故總有 特別地 若akk 則 即 kn knkna 注3 數(shù)列 本身以及 去掉有限項(xiàng)以后得到的子列 稱為 的平凡 nana na 子列 不是平凡子列的子列 稱為 的非平凡子列 如 都是 的非平凡子列 由上節(jié)例知 數(shù)列 與它的任一21 k n n 平凡子列同為收斂或發(fā)散 且在收斂時(shí)有相同的極限 那么數(shù)列 的收斂性與的非平凡子列的收斂性又有何關(guān)系呢 此即下面 na 的結(jié)果 定理2 8 數(shù)列 n收斂的充要條件是 na的任何非平凡子列都收斂 證明 必要性 設(shè) limknna 是 的任一子列 任給 0 存在正 數(shù)N 使得當(dāng) Nk 時(shí)有 k由于 故當(dāng) Nk 時(shí)有 nk 從而也 有 akn 這就證明了 kn收斂 且與 na有相同的極限 充分性 考慮 a的非平凡子列 2k 12 k與 3k 按假設(shè) 它們都 收斂 由于 6k既是 2k 又是 3的子列 故由剛才證明的必要性 limlili 36kk 9 又 36 ka既是 12 k又是 3k的子列 同樣可得 lili312ka 10 9 式與 10 式給出 122lili kk 所以由課本例7可知 na收斂 由定理2 8的證明可見 若數(shù)列 na的任何非平凡子列都收斂 則所有這 些子列與 na必收斂于同一個(gè)極限 于是 若數(shù)列 na有一個(gè)子列發(fā)散 或有 兩個(gè)子列收斂而極限不相等 則數(shù)列 n一定發(fā)散 例如數(shù)列 1 n 其偶數(shù)項(xiàng) 組成的子列 1 2 收斂于1 而奇數(shù)項(xiàng)組成的子列 12k收斂于 從而 n 發(fā)散 再如數(shù)列 sin 它的奇數(shù)項(xiàng)組成的子列 si 即為1 k 由于這個(gè)子列發(fā)散 故數(shù)列 2 sin 發(fā)散 由此可見 定理 2 8是判 斷數(shù)列發(fā)散的有力工具 3 數(shù)列極限存在的條件 教學(xué)內(nèi)容 第二章 數(shù)列極限 3 數(shù)列極限存在的條件 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具 教學(xué)要求 1 掌握并會(huì)證明單調(diào)有界定理 并會(huì)運(yùn)用它求某些收斂數(shù)列的極 限 2 初步理解 Cauchy準(zhǔn)則在極限理論中的主要意義 并逐步會(huì)應(yīng) 用 Cauchy準(zhǔn)則判斷某些數(shù)列的斂散性 教學(xué)重點(diǎn) 單調(diào)有界定理 Cauchy 收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn) 相關(guān)定理的應(yīng)用 教學(xué)方法 講練結(jié)合 教學(xué)程序 引 言 在研究比較復(fù)雜的極限問題時(shí) 通常分兩步來解決 先判斷該數(shù)列是否有 極限 極限的存在性問題 若有極限 再考慮如何計(jì)算些極限 極限值的計(jì)算 問題 這是極限理論的兩基本問題 在實(shí)際應(yīng)用中 解決了數(shù)列 極限的存 na 在性問題之后 即使極限值的計(jì)算較為困難 但由于當(dāng) 充分大時(shí) 能充分 接近其極限 故可用 作為 的近似值 ana 本節(jié)將重點(diǎn)討論極限的存在性問題 為了確定某個(gè)數(shù)列是否有極限 當(dāng)然不可能將每一個(gè)實(shí)數(shù)依定義一一加以 驗(yàn)證 根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來作出判斷 從收斂數(shù)列的有界性可知 若 收斂 則 為有界數(shù)列 但反之不一 nana 定對(duì) 即 有界不足以保證 收斂 例如 但直觀看來 若 有界 na 1 na 又 隨 n的增大 減少 而增大 減少 它就有可能與其上界 或下界 非 常接近 從而有可能存在極限 或收斂 為了說明這一點(diǎn) 先給出具有上述特征的數(shù)列一個(gè)名稱 單調(diào)數(shù)列 一 單調(diào)數(shù)列 定義 若數(shù)列 的各項(xiàng)滿足不等式 則稱 為遞增 na11 nna na 遞減 數(shù)列 遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列 例如 為遞減數(shù)列 為遞增數(shù)列 不是單調(diào)數(shù)列 1 2 n 二 單調(diào)有界定理 問題 1 單調(diào)數(shù)列一定收斂嗎 2 收斂數(shù)列一定單調(diào)嗎 一個(gè)數(shù)列 如果僅是單調(diào)的或有界的 不足以保證其收斂 但若既單調(diào) na 又有界 就可以了 此即下面的極限存在的判斷方法 定理 單調(diào)有界定理 在實(shí)數(shù)系中 有界且單調(diào)數(shù)列必有極限 幾何解釋 單調(diào)數(shù)列 na只可能向一個(gè)方向移動(dòng) 故僅有兩種可能 1 點(diǎn) na沿?cái)?shù)軸移向無窮遠(yuǎn) 2 無限趨于某一個(gè)定點(diǎn) A 即 na 證明 不妨設(shè) na單調(diào)增加有上界 把 na看作集合 有確界原理 sup na 存在 即 1 n 2 0 Nn 使 0na 由于 na單調(diào)增加 故當(dāng) 0時(shí)有 0n 即當(dāng) 0 時(shí) n亦即 nalim 例 1 a 證明數(shù)列 1 2 a 3 naa 收斂 并求其極限 證明 從該數(shù)列的構(gòu)造 顯見它是單調(diào)增加的 下面來證它是有界的 易見 0 an 且 12a 23a 1 nna 從而 1 2 nnn 兩端除以 n得 n an an 1故 n有界即得極限存在 設(shè) nliml 對(duì)等式 1 2 nn 兩邊取極限 則有 limli1 2 nnna an 1lil224al 因 n為正數(shù)列 故 0 l 因此取 1l 即為所求極限 例 2 求 nlim ka 為一定數(shù) 1 a 解 記 nc k 則 0nc且 kknnac 1 1 則 N 當(dāng) N 時(shí) 1 ka 故 n后 nc單調(diào)遞減 又有 0 nc 極限一定存在 設(shè)為 A 由 n kna 1 1 兩邊取極限得 Aa1 0 例 3 設(shè) 證明數(shù)列 收斂 2 32 n na 例 4 求 計(jì)算 的逐次逼近 1 0 1 nnxaxa limnx 法 亦即迭代法 解 由均值不等式 有 有下界 nnxx2 1 nnxax 注意到對(duì) 有