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1 4 1不定積分的概念與性質(zhì) 4 2基本積分公式和直接積分法 4 3換元積分法和分部積分法 4 4定積分的概念及其性質(zhì) 4 5定積分的計算 4 6定積分的應用4 7廣義積分 第四章積分及其應用 2 4 1不定積分的概念與性 主要內(nèi)容 1 不定積分的概念 2 不定積分的性質(zhì) 3 不定積分的幾何意義 3 一 不定積分的概念 1 引例2 原函數(shù)概念3 原函數(shù)存在定理4 不定積分概念5 不定積分的例子 4 1 引例已知自由落體的運動速度v gt 求自由落體的路程公式 由導數(shù)的力學意義可知 速度 聯(lián)想到 并且常數(shù)的導數(shù)為0 所以 于是路程為 又當t 0時s 0 0 代入上式得C 0 故所求的路程公式為 解 設自由落體的路程為 5 該物理問題是已知速度求路程 抽象為數(shù)學問題 就是已知導數(shù)求原來的函數(shù) 這是求導數(shù)的逆運算 這里需要解決兩個問題 一是逆運算是否存在 二是如果逆運算存在的話 結(jié)論有幾個 現(xiàn)在就來圍繞這兩個問題解決求導數(shù) 或微分 的逆運算問題 就引例引出的思考 6 設函數(shù)f x 在區(qū)間I上有定義 若存在函數(shù)F x 使得對于I上的任一點x 都有 則稱函數(shù)F x 為f x 在I上的一個原函數(shù) 由于常數(shù)C的導數(shù)是0 因此若一個函數(shù)有原函數(shù) 那么它就有無窮多個原函數(shù) 設F x 是f x 的一個原函數(shù) 則F x C C是任意常數(shù) 都是f x 的原函數(shù) 而且只F x C才是f x 的原函數(shù) 2 原函數(shù)概念 定義1 7 某區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù) 3 原函數(shù)存在定理 由于初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上是連續(xù)的 因而初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上存在原函數(shù) 定理1 8 設F x 是f x 的一個原函數(shù) 則f x 的全體原函數(shù)F x C稱為f x 的不定積分 記為 即 4 不定積分概念 定義2 9 因為 所以 5 不定積分的例子 例1 解 10 當x 0時 所以 當x 0時 所以 因此 不論x 0或x 0 都有公式 例2 解 11 二 不定積分的性質(zhì) 求不定積分與求導數(shù) 或微分 互為逆運算 即有 可見 微分號與積分號相遇時可以抵消 但先微分后積分 最后需加任意常數(shù)C 12 解 兩邊同時求導 得f x 2x 從而有 故所求不定積分為 例3 13 三 不定積分的幾何意義 函數(shù)f x 的原函數(shù)F x 的圖象稱為f x 一條積分 曲線 不定積分 表示全體原函數(shù)F x C 所以不定積分 在幾何上表示曲線y F x 沿y軸上下平移 C 個單位而得到的一族積分曲線 由性質(zhì) 1 可知 這一族積分曲線上相對于同一橫坐標x0的點的切線斜率相等 即這些切線互相平行 14 x0 幾何意義圖示 15 求過點 0 0 且曲線上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的余弦值 求此曲線 設所求曲線為y f x x y 為曲線上任一點 由此可求得 又曲線過點 0 0 代入上式得C 0 于是所求的曲線為 y sinx 若要求出積分曲線族中的一條特定曲線 就必須另外附加條件 根據(jù)這個條件確定積分常數(shù)C的值 就可以求出所需曲線 題中的 曲線過點 0 0 就是這個附加條件 例4 注意 由導數(shù)的幾何意義可知 解 16 1 原函數(shù) 在某區(qū)間上 若F x f x 則稱F x 是f x 的一個原函數(shù) 且f x 的原函數(shù)有無窮多個 F x C是f x 的全體原函數(shù) 2 不定積分 f x 的不定積分即f x 的全體原函數(shù)F x C 即 求f x 的不定積分是先求f x 的一個原函數(shù)F x 再加任意常數(shù)C 求不定積分和求導數(shù)是互為逆運算 可以用求導來檢驗積分結(jié)果的正確性 四 小結(jié) 17 3 不定積分的幾何意義 f x 的原函數(shù)F x 的圖象稱為f x 的一條積分曲線 在幾何上稱為f x 的積分曲線族 族中的曲線上 相對于同一橫坐標的點的切線斜率相等 即切線 不定積分 互相平行 18 作業(yè) 習題4 1