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目錄 1. 題目.......................................................................................... .2 2. 要求............................................................................................2 3. 設計原理....................................................................................2 3.1 數(shù)字濾波器基本概念............................................................2 3.2 數(shù)字濾波器工作原理............................................................2 3.3 巴特沃斯濾波器設計原理....................................................2 3.4脈沖響應不法..........................................................................4 3.5實驗所用MATLAB函數(shù)說明...............................................5 4.設計思路.....................................................................................6 5、實驗內容.................................................................................6 5.1實驗程序..................................................................................6 5.2實驗結果分析.........................................................................10 6.心得體會....................................................................................10 7.參考文獻....................................................................................10 一、題目：巴特沃斯數(shù)字低通濾波器 二、要求：利用脈沖響應不變法設計巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，通帶截止頻率100HZ,采樣頻率1000HZ，通帶最大衰減為0.5HZ，阻帶最小衰減為10HZ，畫出幅頻、相頻相應相應曲線。并假設一個信號x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t),其中f1=50HZ,f2=200HZ。用此信號驗證濾波器設計的正確性。 三、設計原理 1、 數(shù)字濾波器的基本概念 所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾波器除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序，因此，數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同，只是的形式和實現(xiàn)濾波方法不同。正因為數(shù)字濾波通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波處理精度高、穩(wěn)定、體積小、質量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實驗模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。如果要處理的是模擬信號，可通過A\DC和D\AC,在信號形式上進行匹配轉換，同樣可以使用數(shù)字濾波器對模擬信號進行濾波。 2、 數(shù)字濾波器的工作原理 數(shù)字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)，輸入x(n)是一個時間序列，輸出y(n)也是一個時間序列。如數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(Z),其脈沖響應為h(n),則在時間域內存在下列關系 y(n)=x(n) h(n) 在Z域內，輸入輸出存在下列關系 Y(Z)=H(Z)X(Z) 式中，X(Z),Y(Z)分別為輸入x(n)和輸出y(n)的Z變換。 同樣在頻率域內，輸入和輸出存在下列關系 Y(jw)=X(jw)H(jw) 式中，H(jw)為數(shù)字濾波器的頻率特性，X(jw)和Y(jw)分別為x(n)和y(n)的頻譜。w為數(shù)字角頻率，單位rad。通常設計H(jw)在某些頻段的響應值為1，在某些頻段的響應為0.X(jw)和H(jw)的乘積在頻率響應為1的那些頻段的值仍為X(jw)，即在這些頻段的振幅可以無阻礙地通過濾波器，這些頻帶為通帶。X(jw)和H(jw)的乘積在頻段響應為0的那些頻段的值不管X(jw)大小如何均為零，即在這些頻段里的振幅不能通過濾波器，這些頻帶稱為阻帶。 一個合適的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z)可以根據(jù)需要輸入x(n)的頻率特性，經(jīng)數(shù)字濾波器處理后的信號y(n)保留信號x(n)中的有用頻率成分，去除無用頻率成分。 3、巴特沃斯濾波器設計原理 （1）基本性質 巴特沃斯濾波器以巴特沃斯函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯濾波器是根據(jù)幅頻特性在通頻帶內具有最平坦特性定義的濾波器。 巴特沃思濾波器的低通模平方函數(shù)表示1 N=1,2，…… （2-6） 下面歸納了巴特沃斯濾波器的主要特征 a對所有的N，。 b對所有的N，即 c是Ω的單調下降函數(shù)。 d隨著階次N的增大而更接近于理想低通濾波器。 如下圖2所示，可以看出濾波器的幅頻特性隨著濾波器階次N的增加而變得越來越好，在截止頻率Ωc處的函數(shù)值始終為1/2的情況下，通帶內有更多的頻帶區(qū)的值接近于1；在阻帶內更迅速的趨近于零。 圖2 巴特沃思低通濾波平方幅頻特性函數(shù) （2）系統(tǒng)函數(shù) 設巴特沃斯的系統(tǒng)函數(shù)為Ha（s），則： （3）設計過程 巴特沃思低通濾波技術指標關系式為 ap>-20log|Ha(jΩ)|，Ω<ΩP as<-20log|Ha(jΩ)|，Ω>Ωs 其中：Ωp為通帶邊界頻率，Ωs為阻帶邊界頻率。代入式1.4.1可得: 經(jīng)過化簡整理可得： 取滿足上式的最小整數(shù)N作為濾波器的階數(shù)。再將N代入可得： 或 查表求得歸一化傳輸函數(shù)H(s),令s/Ωc代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的s,即得到實際濾波器傳輸函數(shù)。 4、脈沖響應不變法 所謂脈沖響應不變法就是數(shù)字濾波器的脈沖響應序列h(n)等于模擬濾波器的響應ha(t)的采樣值，即 h(n)=ha(t)|t=nT=ha(nT) 式中，T為采樣周期。 因此數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(Z)可由下式求得 H(z)=Z[h(n)]=Z[ha(nT)] Z[-]表示[-]的內容進行變換，變換的內容請參考相應的數(shù)字信號處理材料。 如果已經(jīng)獲得了滿足性能指標的模擬濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s) ,求與之對應的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)的方法是： （1） 、求模擬濾波器的單位脈沖響應ha(t)。 式中，L[Ha(s)]表示對Ha(s)的Laplace.逆變換。Laplace變換內容請參考高等數(shù)學的積分變換或信號處理教材。 （2）、求模擬濾波器單位沖激響應ha(t)的采樣值，即數(shù)字濾波器沖激響應序列h(n)。 （3）、對數(shù)字濾波器的沖激h(n)響應進行z變換，得到傳遞函數(shù)H(z)。 由上述方法推論出更直接地由模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的步驟是： （1） 利用部分分式展開將模擬濾波器的傳遞函數(shù)H(z)展開成 Ha(s)= Rk\(S-Pk) 在MATLAB中這步可通過residue函數(shù)實現(xiàn) 若調用residue函數(shù)的形式為[b,a]=residue(R,P,K)形式。 若為[R,P,K]=residue(a,b)則為上面調用形式的反過程。 (2)將模擬極點Pk變換為數(shù)字極點e^pkT即得到數(shù)字系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)= Rk\(1-e^pkT*z*(-1)) 式中T為采樣間隔。 （3）將上式轉換為傳遞函數(shù)形式，可采用[R,P,K]=residue(b,a)。 對于上面的步驟，中已經(jīng)提供了沖激響應不變法設計數(shù)字濾波器的函數(shù)，調用格式為 [bz,az]=impinvar(b,a[ ,Fs],Fp) 式中，b,a為模擬濾波器分子和分母多項式系數(shù)向量；Fs為采樣頻率（所濾波數(shù)據(jù)），單位Hz，缺省時為1Hz，為預畸變頻率（prewarped frequency），是一個“匹配”頻率，在該頻率上，頻率響應在變換前后和模擬頻率可精確匹配。一般設計中不考慮。bz,az分別為數(shù)字濾波器分子和分母多項式系數(shù)向量。 5、 實驗所用MATLAB函數(shù)說數(shù)。 （1） [N,wc]=buttord(wp,ws,RP,As,’s’) 該格式用于計算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3db截止頻率wc。Wp、ws和wc是實際模擬角頻率(rad\s)。Rp和As為通帶最大衰減和最小衰減。 （2） [Z,P,k]=buttap(N) 該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子，返回長度為N的列向量Z和P，分別給出N個零點和極點的位置，K表示濾波器增益。 （3） Y=filter(b,a,x) 式中b表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項式的系數(shù)矩陣；a表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項式的系數(shù)矩陣；x表示輸入序列；filter表示輸出序列。IIR函數(shù)實現(xiàn)的直接形式。 (4) [b，a]=butter（N，wc，‘ftype’） 計算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量b、a。 說明： 調用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率的歸一化值，一般是調用buttord格式（1）計算N和wc。系數(shù)b、a是按照z-1的升冪排列。 (5) [B，A]=butter（N，Ωc，‘ftype’，‘s’） 計算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項式系數(shù)向量。 說明：調用參數(shù)N和Ωc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率(實際角頻率)，可調用buttord（2）格式計算N和Ωc。系數(shù)B、A按s的正降冪排列。 tfype為濾波器的類型： ◇ftype=high時，高通；Ωc只有1個值。 ◇ftype=stop時，帶阻；Ωc=[Ωcl,Ωcu]，分別為帶阻濾波器的通帶3dB下截止頻率和上截止頻率。 ◇ ftype缺省時：若Ωc只有1個值，則默認為低通；若Ωc有2個值，則默認為帶通；其通帶頻率區(qū)間Ωcl<Ω <Ωcu。 (6)[H,w]=freqz(b,a,N) b和a分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量，返回量H則包含了離散系統(tǒng)頻響在 0～pi范圍內N個頻率等分點的值（其中N為正整數(shù)），w則包含了范圍內N個頻率等分點。調用默認的N時，其值是512?？梢韵日{用freqz()函數(shù)計算系統(tǒng)的頻率響應，然后利用abs()和angle()函數(shù)及plot()函數(shù)，繪制出系統(tǒng)的頻響曲線。 (7)lp2lp函數(shù) [bt,at]=lp2lp(b,a,w0) 該函數(shù)用于實現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至低通濾波器的頻率變換，可以用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間 進行轉換，但無論哪種形式，其輸入必須是模擬濾波器原型。 （8） [bz,az]=impinvar（b,a,fs) 把具有[b,a]模擬濾波器傳遞函數(shù)模型轉換為采樣頻率為fs的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)模型[bz,az]，如果在函數(shù)中沒有確定頻率fs時，函數(shù)默認為1Hz. 4、 設計思路 設定信號 ↓ 模擬低通濾波器原型→頻率變換→模擬離散化→IIR數(shù)字濾波器→輸出信號 五、設計內容 1.MATLAB程序設計 Wp=2*pi*100; Ws=2*pi*150; %濾波器截止頻率 Rp=0.5; Rs=10; %通帶最大衰減和阻帶最小衰減 Fs=1000; %采樣頻率 Nn=128; %調用freqz所用的頻率點數(shù) [N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s); %模擬濾波器的最小階數(shù) [z,p,k]=buttap(N); %設計模擬低通原型Butterworth濾波器 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k); %將零點極點增益形式轉換為傳遞函數(shù)形式 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wc) %進行頻率轉換 [bz,az]=impinvar(b,a,Fs); %運用脈沖響應不變法得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) figure(1) [H,W]=freqz(bz,az,Nn,Fs); %繪制數(shù)字濾波器的幅值特性和相頻特性 subplot(2,1,1) plot(W,20*log10(abs(H))); xlabel(頻率); ylabel(幅度); grid on; subplot(2,1,2); plot(W,180\pi*unwrap(angle(H))); xlabel(頻率); ylabel(幅度); grid on; figure(2) f1=50; f2=200; %輸入信號的頻率 N=100; %數(shù)據(jù)長度 dt=1\Fs; n=0:N-1; t=n*dt; %采樣間隔和時間序列 x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %濾波器輸入信號 subplot(2,1,1); %繪制輸入信號 plot(t,x); title(輸入信號); %用filter函數(shù)對輸入信號濾波y1=filter(bz,az,x); subplot(2,1,2); %繪出輸出波形 xlabel(時間) title(輸出信號); 2. 實驗結果分析 實驗得到的兩幅圖如上所示，在第一幅圖中，小于100處衰減小于3Hz，而在大于120Hz處衰減大于15dB，滿足濾波器設計指標。由第二幅圖中看出對50Hz和200Hz頻率成分的信號進行了濾波，濾除了200dB的信號，達到濾波的效果。 六.心得體會 程序仿真過程中，我找到了我要設計的低通濾波器的函數(shù)及依據(jù)。依據(jù)設計的濾波器的wp,ws,Rp,Rs四個參數(shù)來確定輸入信號的頻率以實現(xiàn)過濾的目的。實驗過程中我也遇到很多問題，但是通過查找資料都得到了解決。通過這次課程設計學習，我們掌握了matlab的仿真和設計，對低通濾波器設計原理的加深了解及技術指標的設置。這次課程設計不僅讓我對數(shù)字信號處理這門學科的理論知識加深理解，而且還讓我對MATLAB中的許多函數(shù)的運用更加靈活，而且還增強了我的解決問題的能力。 七、參考文獻 [1]《數(shù)字信號處理》（第三版）高西全 丁美玉 編著 西安電子科技大學出版社 [2]《MATLAB工具箱應用》 蘇金明 張蓮花 劉波 編著 電子工業(yè)出版社 [3]《數(shù)字信號處理的MATLAB實現(xiàn)》 萬永革 編著 科學出版社