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1、 第2講　平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示 【2013年高考會(huì)這樣考】 1．考查平面向量基本定理的應(yīng)用． 2．考查坐標(biāo)表示下向量共線條件． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)理解基本定理，重點(diǎn)運(yùn)用向量的坐標(biāo)進(jìn)行加、減、數(shù)乘的運(yùn)算以及向量共線的運(yùn)算． 基礎(chǔ)梳理 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共線的向量e1，e2叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

2、則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)． ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a，b共線． 一個(gè)區(qū)別 向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別： 在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的

3、區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a＝＝(x，y)． 當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí)，向量不變，即＝＝(x，y)，但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化． 兩個(gè)防范 (1)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息． (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，則a1＋a2＋…＋an－1的坐標(biāo)為(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4、 A．(4,3) B．(－4，－3) C．(－3，－4) D．(－3,4) 解析　a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝(－3，－4)． 答案　C 2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c＝(　　)． A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a(chǎn)＋3b 解析　設(shè)c＝xa＋yb，則∴ ∴c＝3a－b. 答案　B 3．(2012·鄭州月考)設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a與b共線且方向相反，則m的值為(　　)． A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析　設(shè)a＝λb(λ＜0)，即m

5、＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ＜0，∴m＝－1. 答案　A 4．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c＝(　　)． A．(4,6) B．(－4，－6) C．(4，－6) D．(－4,6) 解析　設(shè)c＝(x，y)， 則4a＋(3b－2a)＋c＝0， ∴∴ 答案　C 5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________. 解析　a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c， ∴2－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1. 答案　

6、－1　　 考向一　平面向量基本定理的應(yīng)用 【例1】?(2012·南京質(zhì)檢)如圖所示，在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. [審題視點(diǎn)] 由B，H，C三點(diǎn)共線可用向量，來表示. 解析　由B，H，C三點(diǎn)共線，可令＝x＋(1－x)，又M是AH的中點(diǎn)，所以＝＝x＋(1－x)，又＝λ＋μ.所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝. 答案　 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底

7、確定后，任一向量的表示都是唯一的． 【訓(xùn)練1】 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，則x＝________，y＝________. 解析　以AB所在直線為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖， 令A(yù)B＝2，則＝(2,0)，＝(0,2)，過D作DF⊥AB交AB的延長線于F，由已知得DF＝BF＝，則＝(2＋， )． ∵＝x＋y，∴(2＋，)＝(2x,2y)． 即有解得 另解：＝＋＝＋， 所以x＝1＋，y＝. 答案　1＋　 考向二　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【例2】?(2011·合肥模擬)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2

8、.求M，N的坐標(biāo)和. [審題視點(diǎn)] 求，的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求M，N. 解　∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， ∴＝(1,8)，＝(6,3)． ∴＝3＝3(1,8)＝(3,24)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)． 設(shè)M(x，y)，則＝(x＋3，y＋4)． ∴得∴M(0,20)． 同理可得N(9,2)，∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯(cuò)坐標(biāo)． 【訓(xùn)練2】 在平行四邊形A

9、BCD中，AC為一條對(duì)角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) 解析　由題意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案　B 考向三　平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算 【例3】?已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得ka＋b與a－3b共線，且方向相反？ [審題視點(diǎn)] 根據(jù)共線條件求k，然后判斷方向． 解　若存在實(shí)數(shù)k，則ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1,2)

10、－3(－3,2)＝(10，－4)． 若這兩個(gè)向量共線，則必有 (k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0. 解得k＝－.這時(shí)ka＋b＝， 所以ka＋b＝－(a－3b)． 即兩個(gè)向量恰好方向相反， 故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在． 向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個(gè)向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值． 【訓(xùn)練3】 (2011·西安質(zhì)檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝(　　)． A. B. C. D. 解析　設(shè)c＝(m

11、，n)， 則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)． ∵(c＋a)∥b，∴－3×(1＋m)＝2×(2＋n)，又c⊥(a＋b)， ∴3m－n＝0，解得m＝－，n＝－. 答案　D 閱卷報(bào)告5——平面幾何知識(shí)應(yīng)用不熟練致誤 【問題診斷】 在平面幾何圖形中設(shè)置向量問題，是高考命題向量試題的常見形式，求解這類問題的常規(guī)思路是：首先選擇一組基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再進(jìn)行求解． 【防范措施】 一是會(huì)利用平行四邊形法則和三角形法則；二是弄清平面圖形中的特殊點(diǎn)、線段等． 【示例】?(2011·湖南)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)誤．＝2，＝3，則·＝_____

12、___. 錯(cuò)因　搞錯(cuò)向量的夾角或計(jì)算錯(cuò) 實(shí)錄?。?填錯(cuò)的結(jié)論多種)． 正解　由題意畫出圖形如圖所示，取一組基底{，}，結(jié)合圖形可得＝(＋)，＝－＝－， ∴·＝(＋)·＝2－ 2－·＝－－cos 60°＝－. 答案?。? 【試一試】 (2011·天津)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|＋3|的最小值為________． [嘗試解析]　 以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝x. ∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)， P(0，x)，＝(2，－x)， ＝(1，a－x)，∴＋3＝(5,3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|＋3|的最小值為5. 答案　5