《【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學北師大版一輪訓練：第2篇 能力提升練——導數(shù)及其應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學北師大版一輪訓練：第2篇 能力提升練——導數(shù)及其應用（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、能力提升練——導數(shù)及其應用 (建議用時：90分鐘) 一、選擇題 1．(2014·新余模擬)若曲線f(x)＝xsin x＋1在x＝處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實數(shù)a的值為(　　)． A．－2　 B．－1　 C．1　 D．2 解析　直線ax＋2y＋1＝0的斜率為－，函數(shù)的導數(shù)為f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin＋cos ＝1，由－×1＝－1，解得a＝2. 答案　D 2．(2014·上高二中模擬)曲線y＝ex在點A處的切線與直線x－y＋3＝0平行，則點A的坐標為(　　)． A．(－1，e－1)　 B．(0,1) C．(1，e)　 D．(0,2)

2、 解析　直線x－y＋3＝0的斜率為1，所以切線的斜率為1，因為y′＝ex，所以由y′＝ex＝1，解得x＝0，此時y＝e0＝1，即點A的坐標為(0,1)． 答案　B 3．(2014·山東省實驗中學診斷)曲線y＝x3＋x在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為(　　)． A．　 B．　 C．　 D． 解析　y′＝f′(x)＝x2＋1，在點的切線斜率為k＝f′(1)＝2.所以切線方程為y－＝2(x－1)，即y＝2x－，與坐標軸的交點坐標為，，所以三角形的面積為××＝. 答案　B 4．(2014·長安一中模擬)函數(shù)f(x)＝x＋的單調遞減區(qū)間是(　　)． A．(－1,1)　 B．(－1

3、,0)∪(0,1) C．(－1,0)，(0,1)　 D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析　函數(shù)f(x)＝x＋的定義域為x≠0，令f′(x)＝1－＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(－1,0)，(0,1)． 答案　C 5．設函數(shù)g(x)＝x(x2－1)，則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為(　　)． A．－1　 B．0　 C．－　 D． 解析　g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x＝或－(舍去)． 當x變化時，g′(x)與g(x)的變化情況如下表： x 0 1 g′(x) － 0 ＋ g(

4、x) 0  極小值  0 所以當x＝時，g(x)有最小值g＝－. 答案　C 6．(2014·宜春模擬)函數(shù)y＝＋sin x的圖像大致是(　　)． 解析　函數(shù)y＝f(x)＝＋sin x為奇函數(shù)，所以圖像關于原點對稱，排除B.當x→＋∞時，y＞0，排除D.f′(x)＝＋cos x，由f′(x)＝＋cos x＝0，得cos x＝－，所以函數(shù)y＝f(x)＝＋sin x的極值有很多個，排除A，所以選C. 答案　C 7．(2014·金溪一中模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin x－x(x∈[0，π])，那么下列結論正確的是(　　)． A．f(x)在上是增函數(shù) B．f(x)在上是

5、減函數(shù) C．存在x∈[0，π]，f(x)>f D．任意x∈[0，π]，f(x)≤f 解析　注意到f′(x)＝cos x－，當x∈時，f′(x)>0；當x∈時，f′(x)<0，因此函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，f(x)在[0，π]內的最大值是f，即任意x∈[0，π]，都有f(x)≤f，因此D正確． 答案　D 8．(2014·漢中模擬)若函數(shù)f(x)＝2x2－ln x在其定義域內的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內不是單調函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)． A．[1，＋∞)　 B．　 C．[1,2)　 D． 解析　f′(x)＝4x－＝(x＞0)， 令f′(x)＝0，得x＝

6、， 據(jù)題意得解得k∈. 答案　B 9．(2014·青島一模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖像如圖所示，則x＋x等于(　　)． A．　 B．　 C．　 D． 解析　由圖可知f(1)＝0，f(2)＝0， ∴解得 ∴f(x)＝x3－3x2＋2x， ∴f′(x)＝3x2－6x＋2. 由圖可知x1，x2為f(x)的極值點， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝. ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝. 答案　C 10．(2013·湖北卷)已知函數(shù)f(x)＝x(ln x－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)． A．(－∞，0)　 B．(0，) C

7、．(0,1)　 D．(0，＋∞) 解析　由題知，x>0，f′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函數(shù)f(x)有兩個極值點，則f′(x)＝0有兩個不等的正根，即函數(shù)y＝ln x＋1與y＝2ax的圖像有兩個不同的交點(x>0)，則a>0；設函數(shù)y＝ln x＋1上任一點(x0,1＋ln x0)處的切線為l，則kl＝y(tǒng)′＝，當l過坐標原點時，＝?x0＝1，令2a＝1?a＝，結合圖像知0

8、x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3. 答案　3 12．(2014·白鷺洲中學模擬)f(x)＝x－sin x－cos x的圖像在點A(x0，f(x0))處的切線斜率為，則tan 2x0的值為________． 解析　f′(x)＝－cos x＋sin x， ∴f′(x0)＝－cos x0＋sin x0＝， 即sin x0－cos x0＝0， ∴tan x0＝， ∴tan 2x0＝＝＝. 答案　 13． (2014·揚州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x－(m∈R)在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，則m＝________. 解析　f′(x)＝＋＝(x＞0)， ①當m＞0時，f′(x)

9、＞0，f(x)在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)， f(x)有最小值f(1)＝－m＝4， 得m＝－4，與m＞0矛盾． ②當m＜0時，若－m＜1，即m＞－1， f(x)min＝f(1)＝－m＝4， 得m＝－4，與m＞－1矛盾； 若－m∈[1，e]，即－e≤m≤－1， f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4， 解得m＝－e3，與－e≤m≤－1矛盾； 若－m＞e，即m＜－e時，f(x)min＝f(e)＝1－＝4，解得m＝－3e，符合題意． 答案　－3e 14．(2014·鎮(zhèn)安中學模擬)已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g

10、(x1)成立，則實數(shù)a的取值范圍是________ . 解析　f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，當x＞－1時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調遞增；當x＜－1時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調遞減，所以當x＝－1時，f(x)取得極小值，即最小值為f(－1)＝－.函數(shù)g(x)的最大值為a，若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，則有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值，即a≥－. 答案　 三、解答題 15．(2013·廣東卷改編)設函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－kx2. (1)當k＝1時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； (2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是

11、增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍． 解　(1)當k＝1時，f(x)＝(x－1)ex－x2， ∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)． 令f′(x)>0，即x(ex－2)>0， ∴x>ln 2或x<0. 令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0

12、 由于ex≥1，∴2k≤1，則k≤. 又當k＝時，f′(x)＝x(ex－1)≥0當且僅當x＝0時取等號．因此，實數(shù)k的取值范圍是. 16．(2014·江西九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若過點A(1，m)(m≠－2)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3， 依題意，f′(1)＝f′(－1)＝0， 即解得a＝1，b＝0. ∴f(x)＝x3－3x. (2)由(1)知f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， ∵曲線方程為y＝x3－3x，

13、 ∴點A(1，m)(m≠－2)不在曲線上． 設切點為M(x0，y0)，則點M的坐標滿足y0＝x－3x0. ∵f′(x0)＝3(x－1)， ∴切線的斜率為3(x－1)＝， 整理得2x－3x＋m＋3＝0. ∵過點A(1，m)可作曲線的三條切線， ∴關于x0的方程2x－3x＋m＋3＝0有三個實根． 設g(x0)＝2x－3x＋m＋3，則g′(x0)＝6x－6x0， 由g′(x0)＝0，得x0＝0或1.∴g(x0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減． ∴函數(shù)g(x0)＝2x－3x＋m＋3的極值點為x0＝0和1. ∴關于x0的方程2x－3x＋m＋3＝0有三

14、個實根的充要條件是解得－3

15、x)最大，并求出L(x)的最大值． 參考公式：(eax＋b)′＝aeax＋b(a，b為常數(shù))． 解　(1)由題意，該產(chǎn)品一年的銷售量y＝， 將x＝40，y＝500代入得k＝500e40， 該產(chǎn)品一年的銷售量y(萬件)關于x(元)的函數(shù)關系式為y＝500e40－x. 所以分公司一年的利潤L(萬元)與售價x的函數(shù)關系式為L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)． (2)L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．令L′(x)＝0，得x＝31＋a， ∵2≤a≤5，∴33≤31＋a≤36， 在x

16、＝31＋a兩側L′(x)的值由正變負， 當33≤a＋31≤35，即2≤a≤4時，L(x)在[35,41]上單調遞減．L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5. 當35＜a＋31≤36＜41，即4＜a≤5時，L(x)在(35,31＋a)上單調遞增；在(31＋a,41]上單調遞減，因此L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a， ∴L(x)max＝ 當2≤a≤4時，每件產(chǎn)品的售價為35元，該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大，最大為500(5－a)e5萬元；當4＜a≤5時，每件產(chǎn)品的售價為(31＋a)元，該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大，最大為500e9－a萬元． 18．(2014·臨川

17、二中模擬)已知函數(shù)f(x)＝＋aln x－2(a>0)． (1)若對于任意x∈(0，＋∞)都有f(x)>2(a－1)成立，試求a的取值范圍； (2)記g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R)，當a＝1時，函數(shù)g(x)在區(qū)間[e－1，e]上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝－＋＝. 由f′(x)>0，解得x>； 由f′(x)<0，解得02(a－1)成立， 所以只需滿足f>2(a－1)即可． 則＋aln －2>2(a－1)，即aln >a. 由aln >a，解得00解得x>1； 由g′(x)<0解得0