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《數(shù)學(xué)分析選講》課程教學(xué)大綱 一、《分析選講》課程說明 課程代碼：0741123110 課程英文名稱：Selective Lectures of Mathematic Analysis 開課對象：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科生 課程的性質(zhì)：考試 學(xué)時：72 　　數(shù)學(xué)分析選講是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)重要的選修課,它是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分析數(shù)學(xué)的分支和科學(xué)研究必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)知識, 同時也可使其他理科專業(yè)學(xué)生進(jìn)一步了解微積分學(xué)知識，是報(bào)考對數(shù)學(xué)要求較高的碩士學(xué)位研究生同學(xué)的必修課程。 本課程的前導(dǎo)課程為數(shù)學(xué)分析。 　　　　教學(xué)目的： 通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生系統(tǒng)拓展和加深數(shù)學(xué)分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培養(yǎng)學(xué)生分析論證問題的能力、抽象思維能力和科學(xué)研究的初步能力. 教學(xué)內(nèi)容： 本課程主要系統(tǒng)拓展和加深學(xué)習(xí)極限理論, 實(shí)數(shù)的連續(xù)性, 微分中值定理的及其應(yīng)用, 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)和廣義積分,與“一致性”有關(guān)的幾個概念及判別法, 多元函數(shù)微分學(xué),多元函數(shù)積分學(xué)，兩個極限過程的換序這八個核心內(nèi)容。 教學(xué)時數(shù) 教學(xué)時數(shù)：７2學(xué)時 學(xué)分?jǐn)?shù)：　學(xué)分 教學(xué)時數(shù)具體分配： 教學(xué)內(nèi)容 講課(學(xué)時) 習(xí)題課(學(xué)時) 累計(jì) 一、函數(shù)與極限 1.1　　函數(shù) 2 2 1.2 極限 6 6 二、實(shí)數(shù)的連續(xù)性 2.1 實(shí)數(shù)基本定理 2 2 2.2 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì) 2 2 三、微分中值定理及其應(yīng)用 3.1 微分中值定理的應(yīng)用 4 4 3.2 泰勒中值定理的應(yīng)用 4 4 四、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)和廣義積分 4.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂判別法 8 8 4.2 無窮級數(shù)的求和法 4 4 4.3 廣義積分的斂散性判別法 4 4 4.4 廣義積分的求值法 4 4 五、與“一致性”有關(guān)的幾個概念及判別法 5.1 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂及判別法 2 2 5.2 含參變量的廣義積分的一致收斂性 2 2 六、多元函數(shù)微分法 6.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 4 4 6.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 4 4 七、多元函數(shù)積分法 7.1 重積分 6 6 7.2 曲線積分和曲面積分 6 6 八、兩個極限過程的換序 8.1 與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)有關(guān)的換序問題 2 2 8.2 與積分有關(guān)的換序問題 4 4 8.3 兩個基本點(diǎn)求極限運(yùn)算的換序及兩個求導(dǎo)運(yùn)算的換序 2 2 合計(jì) 72 0 72 教學(xué)方式 課堂講授,課外習(xí)作及批改. 考核方式和成績記載說明 考核方式為考試。嚴(yán)格考核學(xué)生出勤情況，達(dá)到學(xué)籍管理規(guī)定的曠課量則取消考試資格。綜合成績根據(jù)平時成績和期末考試成績評定，平時成績占20%，期末考試成績占80%。 二、講授大綱與各章的基本要求 第一章　　函數(shù)與極限 教學(xué)要點(diǎn)： 本章主要研究內(nèi)容為函數(shù)性質(zhì)的確定；通過實(shí)例總結(jié)求數(shù)列與函數(shù)極限的方法，以及如何確定極限的存在性等。 教學(xué)時數(shù)：8學(xué)時。 教學(xué)內(nèi)容： 第一節(jié)　　函數(shù) 　　　　　1.1　求函數(shù)的定義域與值域 　　　　　1.2　由已知函數(shù)關(guān)系求函數(shù)的表達(dá)式 　　　　　1.3　確定函數(shù)的性質(zhì) 　　　　　1.4　函數(shù)方程 第二節(jié)　　極限 　　　　　2.1　極限的概念 　　　　　2.2　求極限的方法 　　　　　2.3　確定極限存在性的方法 　　考核要求： 通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能理解函數(shù)的定義，準(zhǔn)確地確定函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握極限的概念及耱極限的各種常用方法；掌握判斷極限存在性的常用方法。 第二章　　實(shí)數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)要點(diǎn)： 　　本章主要研究 教學(xué)時數(shù)：4學(xué)時。 教學(xué)內(nèi)容： 本章主要內(nèi)容為對實(shí)數(shù)的基本定理——七大定理（確界存在定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、Weierstress定理、Cauchy收斂原理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理）的內(nèi)容加以復(fù)習(xí)及沒證明過的定理給予補(bǔ)充證明，及給出例子加以說明它們的應(yīng)用，同時本章介紹連續(xù)性的證明，連續(xù)性的應(yīng)用，一致連續(xù)的判別等方面的內(nèi)容。 第一節(jié)　　實(shí)數(shù)基本定理 第二節(jié) 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì) 　　　　　2.1　基本性質(zhì) 　　　　　2.2　介值性與連續(xù)性 　　　　　2.3　判別一致連續(xù)的方法 考核要求： 通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者要理解實(shí)數(shù)的基本定理及其應(yīng)用，掌握連續(xù)，一致連續(xù)概念及性質(zhì)，掌握連續(xù)性的應(yīng)用及一致連續(xù)的證明。 第三章 微分中值定理及其應(yīng)用 教學(xué)要點(diǎn)： 　　本章主要研究Roll中值定理、Langrange中值定理、Cauchy中值定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用；給出了導(dǎo)數(shù)的兩大特性；討論了帶Langrange余項(xiàng)與帶Peano余項(xiàng)的Gaylor公式在解題中的若干應(yīng)用。 教學(xué)時數(shù)：8學(xué)時。 教學(xué)內(nèi)容： 第一節(jié) 微分中值定理的應(yīng)用 1.1 Roll定理 1.2 Langrange定理 1.3 導(dǎo)數(shù)的兩大特性 1.4 Cauchy中值定理 第二節(jié) 泰勒中值定理的應(yīng)用 2.1 證明中值公式 2.2 用Taylor公式證明不等式 2.3 關(guān)于界的估計(jì) 2.4 中值點(diǎn)的極限 2.5 求無窮遠(yuǎn)處的極限 考核要求： 本章要求掌握Roll中值定理、Langrange中值定理、Cauchy中值定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用；了解利用Taylor公式證明中值公式，掌握利用Taylor公式證明不等式，掌握利用Taylor公式進(jìn)行界的估計(jì)；掌握中值點(diǎn)的極限求法，了解求無窮遠(yuǎn)處的極限方法。 第四章 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)和廣義積分 教學(xué)要點(diǎn)： 　　本章主要復(fù)習(xí)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂的定義及其斂散性判別法，以及無窮級數(shù)的求和法；研究廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e及其求值。用有一定難度的修例子來加深這些方面的訓(xùn)練，使得學(xué)生能夠更好地掌握這一章內(nèi)容。 教學(xué)時數(shù)：20學(xué)時。 教學(xué)內(nèi)容： 第1節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂判別法 1.1 一般級數(shù)的收斂判別法 1.2 正項(xiàng)級數(shù)收斂判別法 1.3 任意級數(shù)收斂性的判別法 第2節(jié) 無窮級數(shù)的求和法 2.1 作為部分和的極限 2.2 逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分法 2.3 Abel方法 2.4 利用微分方程的方法 2.5 利用Eulor常數(shù) 2.6 作為兩級數(shù)的乘積 第3節(jié) 廣義積分的斂散性判別法 3.1 根據(jù)定義判別廣義積分的收斂性 3.2 廣義積分收斂的充要條件 3.3 廣義積分?jǐn)可⑿缘谋容^判別法 3.4 Abel判別法和Dirichlet判別法 第4節(jié) 廣義積分的求值法 4.1 利用廣義積分的定義 4.2 化為已知的廣義積分 4.3 利用換序性 考核要求： 熟練掌握常用的判別常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別法；能熟練地求無窮級數(shù)的和；掌握判別廣義積分?jǐn)可⑿缘某Ｓ门袆e法；能求具有一定難度的廣義積分的和。 第五章 與“一致性”有關(guān)的幾個概念及判別法 教學(xué)要點(diǎn)： 　　本章主要研究函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)列一致收斂的概念及其斂散性判別法；討論含參變量的廣義積分的一致收斂性判別法。 教學(xué)時數(shù)：4學(xué)時。 教學(xué)內(nèi)容： 第一節(jié) 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂及判別法 1.1 一致收斂的概念 1.2 判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂或非一致收斂的常用方法 第二節(jié) 含參變量的廣義積分的一致收斂性 2.1 M-判別法 2.2 Abel判別法 2.3 Dirichlet判別法 考核要求： 準(zhǔn)確理解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂和一致收斂的概念；熟練掌握函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂的判別法；熟練應(yīng)用判別含參變量的廣義積分?jǐn)可⑿缘娜蠓椒ā? 第六章 多元函數(shù)微分法 教學(xué)要點(diǎn)： 　　本章主要研究求二元函數(shù)的極限的方法，二元函數(shù)的連續(xù)性的證明及應(yīng)用；偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及可微、不可微的證明；求極值、最值的方法。 教學(xué)時數(shù)：8學(xué)時。 教學(xué)內(nèi)容： 第一節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 1.1 求重極限的方法 1.2 多元函數(shù)的連續(xù)性與一元函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 2.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系 2.2 求偏導(dǎo)數(shù)的方法 2.3 求極大(小)值和最大(小)值的方法, 考核要求： 通過本章的學(xué)習(xí)，準(zhǔn)確理解二元函數(shù)極限、連續(xù)的定義、及偏導(dǎo)數(shù)、全微分的定義。掌握二元函數(shù)極限的計(jì)算方法；掌握二元函數(shù)連續(xù)性的證明及應(yīng)用；掌握二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及可微、不可微的證明。 第七章 多元函數(shù)積分法 教學(xué)要點(diǎn)： 　　本章主要研究二重積分、三重積分的計(jì)算；第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計(jì)算；格林公式、高斯公式、斯托克司公式的應(yīng)用。 教學(xué)時數(shù)：12學(xué)時。 教學(xué)內(nèi)容： 第一節(jié) 重積分 1.1 重積分的可積性 1.2 二重積分的計(jì)算方法 1.3 二重積分的應(yīng)用 1.4 三重積分的計(jì)算方法與應(yīng)用 第二節(jié) 曲線積分和曲面積分 2.1 曲線積分的計(jì)算方法與技巧 2.2 曲面積分的計(jì)算方法與技巧 考核要求： 通過本章的學(xué)習(xí)，掌握二重積分、三重積分的計(jì)算；掌握第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計(jì)算；掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式的應(yīng)用。 第八章 兩個極限過程的換序 教學(xué)要點(diǎn)： 　　本章主要研究與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)有關(guān)的換序問題（包括求和與極限的換序、求和與積分的換序、求和與求導(dǎo)的換序）；與積分有關(guān)的換序問題；兩個極限運(yùn)算的換序問題；兩個求導(dǎo)運(yùn)算的換序問題。 教學(xué)時數(shù)：8學(xué)時。 教學(xué)內(nèi)容： 第一節(jié) 與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)有關(guān)的換序問題 第二節(jié) 與積分有關(guān)的換序問題 2.1 積分號下取極限 2.2 兩個積分運(yùn)算的換序 2.3 積分與微分運(yùn)算的換序 第三節(jié) 兩個求極限運(yùn)算的換序及兩個求導(dǎo)運(yùn)算的換序 考核要求： 了解求和與極限、積分的換序，掌握求和與求導(dǎo)的換序；掌握積分號下取極限，了解兩個積分運(yùn)算的換序，掌握積分與微分運(yùn)算的換序；了解兩個求極限、兩個求導(dǎo)運(yùn)算的換充。 三、推薦教材和參考書目 1、《數(shù)學(xué)分析講義》，陳紀(jì)修、於崇華、金路編，高等教育出版社，1999年。 2、《數(shù)學(xué)分析解題方法600例》，李世金、趙潔編，東北師范大學(xué)出版社，1992年。 3、《數(shù)學(xué)分析選講》，劉三陽、于力、李廣民編，科學(xué)出版社2007年。