《《數(shù)學(xué)分析III》期中考試試題及參考答案.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《數(shù)學(xué)分析III》期中考試試題及參考答案.doc（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

數(shù)學(xué)分析下冊(cè)期末試題（模擬） 一、填空題（每小題3分，共24分） 1、重極限___________________ 2、設(shè)，則全微分_______________________ 3、設(shè)，則___________________ 4、設(shè)是以原點(diǎn)為中心，為半徑的上半圓周，則________. 5、曲面和所截出的曲線在點(diǎn)處的法平面方程是___________________________. 6、已知，則_____________. 7、改變累次積分的順序，______________________. 8、第二型曲面積分______________，其中為球面，取外側(cè). 得分 評(píng)卷人 二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共16分） 1、下列平面點(diǎn)集，不是區(qū)域的是（ ） （A） （B） （C） （D） 2、下列論斷，正確的是（ ） （A）函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)累次極限都不存在，則該函數(shù)在處重極限必定不存在. （B）函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)累次極限都存在且相等，則該函數(shù)在處重極限必定存在. （C）函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則該函數(shù)在處可微. （D）函數(shù)在點(diǎn)處可微，則該函數(shù)在處必定連續(xù). 3、方程在原點(diǎn)附近能確定連續(xù)可微的隱函數(shù)形式是（ ） (A) (B) (C) (D) 以上選項(xiàng)都不對(duì). 4、設(shè)，其中，，則等于（ ） （A） （B） （C） （D） 5、設(shè)平面曲線：在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且點(diǎn)與的坐標(biāo)分別為與，又設(shè)和為上的連續(xù)函數(shù)，則沿從 到的第二型曲線積分等于 （ ） 考 生 答 題 不 得 過 此 線 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 任課教師： 教學(xué)班號(hào)： 姓名： 學(xué)號(hào)： ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶裝∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶訂∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ （A） （B） （C） 考 生 答 題 不 得 過 此 線 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 任課教師： 教學(xué)班號(hào)： 姓名： 學(xué)號(hào)： ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶裝∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶訂∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ （D） 6、變換：，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)行列式為（ ） (A) (B) (C) (D) 7、對(duì)于任意光滑封閉曲線中，以下第二型曲線積分中為零的是（ ） （A） （B） （C） （D） 8、下列積分區(qū)域中，既是型又是型的是（ ） (A)是由直線，和所圍成的閉區(qū)域. (B)是由直線和曲線所圍成的閉區(qū)域. (C)是由直線，和所圍成的閉區(qū)域. (D)是由直線，和曲線所圍成的閉區(qū)域. 得分 評(píng)卷人 三、計(jì)算題（每小題8分，共48分） 1、討論函數(shù)在原點(diǎn)處的連續(xù)性，計(jì)算和. 2、設(shè)，求 3、設(shè)方程組確定了隱函數(shù)組，求和 考 生 答 題 不 得 過 此 線 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 任課教師： 教學(xué)班號(hào)： 姓名： 學(xué)號(hào)： ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶裝∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶訂∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 4、利用含參量積分計(jì)算，其中. 5、計(jì)算，其中是以為半徑，圓心在原點(diǎn)的右半圓周從最上面一點(diǎn)到最下面一點(diǎn). 6、利用極坐標(biāo)變換計(jì)算，其中是由圓 與軸所圍成的平面區(qū)域. 得分 評(píng)卷人 考 生 答 題 不 得 過 此 線 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 任課教師： 教學(xué)班號(hào)： 姓名： 學(xué)號(hào)： ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶裝∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶訂∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶線∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 四、應(yīng)用題（每小題6分，共12分） 1、求由球面與拋物面所圍成的區(qū)域的體積. 2、某工廠打算建造一個(gè)容積為2500長方體倉庫，其中倉庫頂?shù)脑靸r(jià)為200元/，倉庫底面造價(jià)為300元/，倉庫四周造價(jià)為100元/，問如何設(shè)計(jì)可以使倉庫的建造成本最小. 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、填空題（每小題3分，共24分） 1、2 2、 3、 4、 5、 （即） 6、 7、 8、 二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共16分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C A B C B B 三、計(jì)算題（每小題8分，共48分） 1、討論函數(shù)在原點(diǎn)處的連續(xù)性，計(jì)算和. 解 首先考慮， 當(dāng)點(diǎn)沿直線趨于時(shí)，則有 ………………（2分） 由此可見，該極限值隨的變化而變化，故此極限不存在，從而函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù). …………（4分） 由偏導(dǎo)數(shù)的定義， …………（6分） …………（8分） 2、設(shè)，求. 解 記，，，， 則由復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t， . …………………（2分） 再記，，，…… …………………（3分） ……………（6分） …………………（7分） …………………（8分） 3、設(shè)方程組確定了隱函數(shù)組，求和. 解 方程組關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)得 …………………（3分） 解此方程組得， ………………（4分） 方程組關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)得 …………………（7分） 解此方程組得，. …………（8分） 4、利用含參量積分計(jì)算，其中. 解 因?yàn)?，所? …………………………（2分） . 由于被積函數(shù)在上連續(xù)，………………………（4分） 故由含參量積分連續(xù)性定理，交換積分順序得 …………………（6分） …………………（8分） 5、計(jì)算，其中是以為半徑，圓心在原點(diǎn)的右半圓周從最上面一點(diǎn)到最下面一點(diǎn). 解 題設(shè)中的右半圓周從點(diǎn)到點(diǎn)的參數(shù)方程為 ， 其中從到. ………………………（3分） 又，，故第二型曲線積分 …………（4分） ……（6分） …………………（8分） 6、利用極坐標(biāo)變換計(jì)算，其中是由圓 與軸所圍成的平面區(qū)域. 解 引入極坐標(biāo)變換 ， ， …………………………（2分） 則積分區(qū)域在此極坐標(biāo)變換下變?yōu)? ，………………………（4分） 所以， ………………（6分） ……………（8分） 四、應(yīng)用題（每小題6分，共12分） 1、求由球面與拋物面所圍成的區(qū)域的體積. 解 設(shè)所求區(qū)域的體積為，則. …………………（2分） 引入柱面坐標(biāo)變換， ， ，則球面方程變?yōu)?，拋物面方程變?yōu)? …………………（3分） 由方程組，消去得在平面上的投影區(qū)域的邊界曲線方程，. 于是，在柱面坐標(biāo)下可表示為 ，………………（4分） 所以， ………………（6分） 2、某工廠打算建造一個(gè)容積為2500長方體倉庫，其中倉庫頂?shù)脑靸r(jià)為200元/，倉庫底面造價(jià)為300元/，倉庫四周造價(jià)為100元/，問如何設(shè)計(jì)可以使倉庫的建造成本最小. 解 設(shè)倉庫的長寬高分別為，，，則由題設(shè)有. 又設(shè)建造倉庫的成本為，則 …………（2分） 因此，所求問題可歸結(jié)為在約束條件下，函數(shù)的最小值問題. 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ………（3分） 令，解之得 ………（5分） 即倉庫的長、寬、高分別為10，10，25時(shí)，造價(jià)最小，為150000元. ………（6分）