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《函數(shù)單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計 【設(shè)計思路】有效的概念教學(xué)必須建立在學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)之上順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展，因此在教學(xué)設(shè)計中注意在學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)和新概念間尋找“最近發(fā)展區(qū)”，呈現(xiàn)知識的發(fā)生和形成過程，使學(xué)生始終處于問題探索研究狀態(tài)之中。為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，在探索概念階段,讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程，使得學(xué)生對概念的認(rèn)識不斷深入．在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)思維較為活躍的特點(diǎn)，對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?，加深對定義的理解，同時也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆。在教學(xué)設(shè)計中發(fā)揮好多媒體教學(xué)的優(yōu)勢，注意結(jié)合圖形，由淺入深，采用數(shù)形結(jié)合方法，從感知發(fā)展到理性思維，讓學(xué)生經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)情境——探究概念——理解反思——拓展應(yīng)用——?dú)w納總結(jié)”的活動過程，體驗(yàn)了參與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，培養(yǎng)“用數(shù)學(xué)”的意識和能力，成為積極主動的建構(gòu)者 。 【教學(xué)目標(biāo)】 1．理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法． 2．通過觀察、歸納、抽象、概括自主建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性概念的過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生的推理論證能力． 3．在學(xué)習(xí)中體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證、勇于探索的良好習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，讓學(xué)生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程． 【背景分析】 1、教材分析 本節(jié)是高中數(shù)學(xué)新教材必修1第1章第1.3.1節(jié)第一課時，主要學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的概念，依據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。他是高中數(shù)學(xué)中相當(dāng)重要的一個基礎(chǔ)知識點(diǎn)。是高中數(shù)學(xué)中起著承上啟下作用的核心知識之一．是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)．在比較數(shù)的大小、解方程或不等式、求函數(shù)的值域或最值、函數(shù)的定性分析以及相關(guān)的數(shù)學(xué)綜合問題中也有廣泛的應(yīng)用。通過本節(jié)課 的學(xué)習(xí)，加深對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識，為今后函數(shù)學(xué)習(xí)打下理論基礎(chǔ)；還有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、分析和解決問題的能力。從方法論的角度分析，本節(jié)教學(xué)過程中還滲透了探索發(fā)現(xiàn)、數(shù)形結(jié)合、歸納轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。所以本節(jié)課的 重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性定義及本質(zhì)，單調(diào)性的判斷及證明。 2、學(xué)清分析： 從學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)來看，初中已經(jīng)重點(diǎn)研究了一些函數(shù)的增減性，只是當(dāng)時的研究較為粗略，他們只能根據(jù)函數(shù)的圖象觀察出“隨著自變量的增大函數(shù)值增大”等變化趨勢，但對于數(shù)學(xué)上具有抽象概括性形式化的定義尚難于接受。本節(jié)內(nèi)容正是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和提高。好在前一節(jié)學(xué)習(xí)的函數(shù)及其表示,為過渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用，從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來看，高一學(xué)生正處于以感性思維為主的年齡階段，而且逐步地從感性思維過渡到理性思維，并由此向邏輯思維發(fā)展，但學(xué)生思維不成熟、不嚴(yán)密。所以本節(jié)課的 難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性形式化定義的認(rèn)識和理解，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教法導(dǎo)學(xué)】 根據(jù)建構(gòu)主義、最近發(fā)展區(qū)理論和本節(jié)課的特點(diǎn)，貫徹“教為主導(dǎo)，學(xué)為主體，問題解決為主線，能力發(fā)展為目標(biāo)”的教學(xué)思想，采用啟發(fā)誘導(dǎo)、支架式教學(xué)，通過營造問題情景，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，鼓勵學(xué)生自主探索，發(fā)揮好多媒體教學(xué)的優(yōu)勢，充分利用學(xué)生熟知函數(shù)圖象的直觀性，注意結(jié)合圖形，由淺入深，從直觀感知到理性思維，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)分析和解決問題。 【教學(xué)手段】 利用多媒體直觀、形象的動態(tài)功能，為函數(shù)單調(diào)性概念的理解提供直觀、形象的認(rèn)知基礎(chǔ);同時對函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)變化趨勢進(jìn)行動態(tài)演示，幫助學(xué)生理解。 【教學(xué)課型】概念教學(xué)課 【教學(xué)準(zhǔn)備】多媒體、黑板、課件 【教學(xué)過程】 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 探究問題1：為了預(yù)測北京奧運(yùn)會開幕式當(dāng)天的天氣情況，數(shù)學(xué)興趣小組研究了2002年到2006年每年這一天的天氣情況，下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.觀察曲線是如何變化的？當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及達(dá)到的時刻？ 〖師生活動〗：學(xué)生獨(dú)立思考并回答問題。教師指出在生活中我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的．還比如降雨量、股票價格等。用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)這些例子反映的就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小，反映在圖象上就是上升或下降，函數(shù)圖象的這種變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映，這就是我們今天所要研究的函數(shù)的一個重要性質(zhì)——函數(shù)的單調(diào)性。 〖設(shè)計意圖〗：設(shè)置實(shí)際生活的例子，讓學(xué)生對圖象的上升和下降有初步的感性認(rèn)識，為下一步對概念理性講解作了鋪墊，同時要通過實(shí)例讓學(xué)生感受到函數(shù)的單調(diào)性和生活的密切相關(guān)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的好奇心。 二、指導(dǎo)觀察，形成概念 探究問題2：作出函數(shù)的圖象， 并且觀察他們圖象在哪個區(qū)間內(nèi)是上升的哪個區(qū)間內(nèi)是下降的？能不能用數(shù)學(xué)語言把上面兩個函數(shù)圖象上升或下降的特征描述出來嗎？ 〖師生活動〗教師在問題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步強(qiáng)化對圖象的感性認(rèn)識，展示函數(shù)，圖象，讓學(xué)生觀察在整個定義域內(nèi)y隨x的變化情況。在知識過度的關(guān)鍵處，從函數(shù)變量的角度分析問題，給學(xué)生一定的時間，讓學(xué)生通過觀察、思考探究，對問題作出回答，讓學(xué)生先說，教師修正。結(jié)論1：函數(shù)在定義域內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，函數(shù)在定義域內(nèi)區(qū)間上任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，在定義域內(nèi)區(qū)間上任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有。 結(jié)論2：引導(dǎo)學(xué)生用自然語言描述圖象的變化規(guī)律，并能進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))，第1：不同的函數(shù)變化趨勢不同，第2：同一函數(shù)在不同的區(qū)間有不同的變化趨勢。第3：同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的是函數(shù)的局部性質(zhì)。 〖設(shè)計意圖〗順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律，以學(xué)生熟知的函數(shù)為切入點(diǎn)，從直觀感知圖象入手，對單調(diào)性的認(rèn)識由形到數(shù)，讓學(xué)生體會函數(shù)值的增減變化，把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度, 探究問題3：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)嗎? 〖師生活動〗學(xué)生獨(dú)立思考，合作交流，回答問題，如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．教師指出：這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀、描述性的認(rèn)識．如果從數(shù)值變化的角度描述就會得到如下概念： 定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮: 如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)。 由學(xué)生類比得到減函數(shù)的定義： 如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。 注:（1）三大特征：①屬于同一區(qū)間；②任意性；③有大?。和ǔＲ?guī)定；（2）相對于定義域，函數(shù)的單調(diào)性可以是函數(shù)的局部性質(zhì)。 〖設(shè)計意圖〗：讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義， 探究問題4：下圖是定義在[－5，5]上的函數(shù) 的圖象，根據(jù)圖象說出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上， 是增函數(shù)還是減函數(shù)。 〖師生活動〗：教師直接提問，學(xué)生獨(dú)立思考并回答。的單調(diào)區(qū)間有 [－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。其中在[－5，－2）,[1，3）上是減函數(shù)；在[－2，1），[3，5）上是增函數(shù)。強(qiáng)調(diào)單調(diào)區(qū)間的寫法：問題6：可否寫成[－5，－2）U[－2，1）？問題7：寫成[－5，－2）還是寫成[－5，－2]？多媒體展示構(gòu)造反例說明：（1）單調(diào)區(qū)間一般不能求并集；（2）當(dāng)端點(diǎn)滿足單調(diào)性定義時，可開可閉。 〖設(shè)計意圖〗心理學(xué)認(rèn)為概念一旦形成，必須及時加以鞏固，設(shè)計通過直觀圖象加深學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性等概念的理解。 三、辨析概念，強(qiáng)化理解 探究問題5：判斷題：①． ②若函數(shù)． ③若函數(shù)在區(qū)間和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)． ④因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1/x在區(qū)間上都是減函數(shù)，所以f(x)=1/x在上是減函數(shù). 〖師生活動〗學(xué)生獨(dú)立探究，合作交流得到正確結(jié)論。 〖設(shè)計意圖〗通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解。通過判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性．②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))．③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 探究問題6：如何從解析式的角度說明在上為增函數(shù)？ 〖師生活動〗：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如2和3，因?yàn)?2<32，所以在上為增函數(shù)．(2)仿(1)，取多組數(shù)值驗(yàn)證均滿足，所以在為增函數(shù)．(3)任取,因?yàn)?即，所以在上為增函數(shù)． 〖設(shè)計意圖〗順應(yīng)學(xué)生的思維從特殊到一般，對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量。事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法。 四、應(yīng)用概念，提升能力 探究問題7：物理學(xué)中的玻意耳定律P=（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時，壓強(qiáng)P將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。 〖師生活動〗教師引導(dǎo)學(xué)生思考并回答①P=是函數(shù)嗎？②你能畫出P=圖象嗎？③函數(shù)P=是否具有單調(diào)性？你能作出猜想嗎？④如果具有單調(diào)性， 你能用單調(diào)性的定義加以證明嗎？ 學(xué)生證明，教師修正。 〖設(shè)計意圖〗用數(shù)學(xué)方法證明物理定理，既注重了學(xué)科之間的整合，又圖顯了函數(shù)單調(diào)性概念的應(yīng)用。 探究問題8：函數(shù)在（0，＋∞）上是增函數(shù) 〖師生活動〗設(shè)是(0,＋∞)上的任意兩個值,且，則 又，故， 則，即： 因此，函數(shù)在（0，＋∞）上是增函數(shù)。 總結(jié)定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟： 1、取值:設(shè)任意屬于給定區(qū)間，且； 2、作差變形:變形的常用方法:因式分解、配方、有理化等； 3、定號:確定的正負(fù)號； 4、下結(jié)論:由定義得出函數(shù)的單調(diào)性。 〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟。 五、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)． 1．知識與技能：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷和證明。 2．過程與方法：概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性． 單調(diào)性證明的方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論． 數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合． 3．書面作業(yè)：課本第60頁習(xí)題1.3第1，2，3題． 4．課后探究：①研究函數(shù)y=x+1/x的單調(diào)性． ②課后思考函數(shù)在R上單調(diào)遞增，那么(f(x)-f(y))/(x-y)，的符號有什么規(guī)律？若單調(diào)遞減，又該如何? 〖設(shè)計意圖〗了解等價形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為今后用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆． 【板書設(shè)計】： 函數(shù)單調(diào)性 一、函數(shù)單調(diào)性概念 1、單調(diào)遞增函數(shù) 2、單調(diào)遞減函數(shù) 3、單調(diào)區(qū)間 (主板書) 二、例題及解答 例1 例2 (副板書) 議練活動 (輔助性板書) 【反思評價】： 本節(jié)課的引入從學(xué)生熟知的具體函數(shù)切入，讓學(xué)生直觀感知圖象的升降，降低了學(xué)習(xí)的難度，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)值的角度分析其變化特征，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維從直觀感知到理性思維的飛躍，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合，選用簡單易懂的例題供學(xué)生練習(xí)，通過適當(dāng)例題、習(xí)題的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、歸納總結(jié)，靈活掌握知識，使學(xué)生從“知”到“會”到“悟”再到“用”；引導(dǎo)與合作交流相結(jié)合,讓學(xué)生積極參與,討論交流,充分挖掘單調(diào)性的特點(diǎn)及意義,在分析具體問題的過程中總結(jié)證明單調(diào)性的方法和步驟，讓每個學(xué)生都能動手、動口、動腦，在愉悅環(huán)境中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，充分體會函數(shù)單調(diào)性現(xiàn)實(shí)意義，為今后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，樹立信心。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，我從以下三個方面進(jìn)行教學(xué)評價： 1．關(guān)注學(xué)生從直觀感知向理性思維的過渡，通過學(xué)生的回答情況適度加以引導(dǎo)， 2．在學(xué)生探究過程時通過觀察，評價學(xué)生積極參與的程度和主動合作的意識， 3．通過課堂小結(jié)和作業(yè)反饋教學(xué)效果，以便查漏補(bǔ)缺。 4．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般指“最大”區(qū)間，學(xué)生如果只回答其子區(qū)間，應(yīng)給予糾正。 5．如何讓學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性中：“對任意兩個變量…”的“任意”的意義仍是值得斟酌的。能否讓學(xué)生來舉例，讓學(xué)生討論來展開研究？ 以上我對本節(jié)課的一些理解和思考，不妥之處，敬請各位專家批評指正。謝謝！