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定積分在求極限中的應(yīng)用 1、知識(shí)準(zhǔn)備 1.1緒論 微積分學(xué)在大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有相當(dāng)重要的地位.然而,求極限又是微積分學(xué)中常常要面臨的問(wèn)題.因此,積累更多求極限的方法應(yīng)是每位大學(xué)生必備的素養(yǎng). 求極限的方法層出不窮,最常用的方法有極限的定義和性質(zhì),重要極限的結(jié)論,洛必達(dá)法則以及泰勒公式等.應(yīng)用極限的定義時(shí),往往是在極限的結(jié)果已經(jīng)比較明顯,只需要根據(jù)極限的定義把相關(guān)式子進(jìn)行放縮便可得到相應(yīng)的結(jié)果.但是,這種方法一方面敘述上比較麻煩,另一方面也只適用于看上去容易放縮的式子.重要極限的結(jié)論形式上要求非常嚴(yán)格,也只能解決兩種形式的極限問(wèn)題.洛必達(dá)法則是用于解決“”型的極限和“”型極限的.泰勒公式適宜于解決求分式極限中分子或分母有加減運(yùn)算的問(wèn)題,通過(guò)泰勒展式后可以達(dá)到某些項(xiàng)抵消效果.但若仔細(xì)觀察這些方法,其特點(diǎn)不是表達(dá)較繁瑣就是僅僅應(yīng)用到微分學(xué)知識(shí).事實(shí)上,微分學(xué)和積分學(xué)的關(guān)系正如中小學(xué)時(shí)代學(xué)習(xí)過(guò)的加法與減法,乘法與除法,乘方與開(kāi)方以及冪運(yùn)算與取對(duì)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系一樣,他們互為逆運(yùn)算.倘若也能用到積分學(xué)知識(shí)來(lái)解決求極限的問(wèn)題,那么求極限的方法才算完美.而利用定積分求極限正體現(xiàn)了這一理念. 1.2定積分的概念 下面首先讓我們回顧一下定積分以及極限的定義: 定積分:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義,在閉區(qū)間內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)將分成n個(gè)區(qū)間,記,,作乘積(稱(chēng)為積分元),把這些乘積相加得到和式(稱(chēng)為積分形式)設(shè),若極限存在唯一且該極限值與區(qū)是的分法及分點(diǎn)的取法無(wú)關(guān),則稱(chēng)這個(gè)唯一的極限值為函數(shù)在上的定積分,記作,即.否則稱(chēng)在上不可積. 注1:由牛頓萊布尼茲公式知,計(jì)算定積分與原函數(shù)有關(guān),故這里借助了不定積分的符號(hào). 注2:若存在,區(qū)間進(jìn)行特殊分割,分點(diǎn)進(jìn)行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等,但反之不成立,這種思想在考題中經(jīng)常出現(xiàn),請(qǐng)讀者要真正理解. 注3:定積分是否存在或者值是多少只與被積函數(shù)式和積分區(qū)間有關(guān)與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即 仔細(xì)觀察定積分的定義,我們一定會(huì)發(fā)現(xiàn)定積分的極限有以下兩個(gè)特征.第一,定積分是無(wú)窮項(xiàng)和式的極限,容易知道一般項(xiàng)在項(xiàng)數(shù)趨近于無(wú)窮大時(shí)極限值必然趨近于零,否則和式極限不存在.第二,定積分與某一連續(xù)函數(shù)有緊密的關(guān)系,它的一般項(xiàng)受到這一連續(xù)函數(shù)的約束,它是連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上進(jìn)行了無(wú)窮的分割,各小區(qū)間上任意的函數(shù)值與區(qū)間長(zhǎng)度的乘積的累加. 對(duì)于極限,大學(xué)主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限和函數(shù)的極限.數(shù)列的極限是用于解決離散的自然數(shù)的相關(guān)極限,而函數(shù)的極限則主要用于解決連續(xù)函數(shù)的相關(guān)極限.那么就讓我們先一一來(lái)回憶它們吧！ 1.3極限的概念 數(shù)列的極限 設(shè)為數(shù)列, 為實(shí)數(shù),若對(duì)任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí)有, 則稱(chēng)數(shù)列收斂于,實(shí)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的極限,并記作或. (讀作:當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí), 的極限等于或趨于).由于限于取正整數(shù),所以在數(shù)列極限的記號(hào)中把寫(xiě)成,即或. 若數(shù)列沒(méi)有極限,則稱(chēng)不收斂,或稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列. 注1:關(guān)于:①的任意性.定義１中的正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通項(xiàng)與常數(shù)a的接近程度,越小,表示接近得越好;而正數(shù)可以任意小,說(shuō)明與常數(shù)a可以接近到任何程度;②的暫時(shí)固定性.盡管有其任意性,但一經(jīng)給出,就暫時(shí)地被確定下來(lái),以便依靠它來(lái)求出Ｎ;③的多值性.既是任意小的正數(shù),那么等等,同樣也是任意小的正數(shù),因此定義１中的不等式中的可用等來(lái)代替.從而“”可用“”代替;④正由于是任意小的正數(shù),我們可以限定小于一個(gè)確定的正數(shù). 注2:關(guān)于:①相應(yīng)性,一般地, 隨的變小而變大,因此常把定義作來(lái)強(qiáng)調(diào), 是依賴(lài)于的;一經(jīng)給定,就可以找到一個(gè);②多值性的相應(yīng)性并不意味著是由唯一確定的,因?yàn)閷?duì)給定的,若時(shí)能使得當(dāng)時(shí),有,則或更大的數(shù)時(shí)此不等式自然成立.所以不是唯一的.事實(shí)上,在許多場(chǎng)合下,最重要的是的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在實(shí)際使用中的也不必限于自然數(shù),只要是正數(shù)即可;而且把“”改為“”也無(wú)妨. 函數(shù)的極限 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù),對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它有多么小),總存在某正數(shù),使得當(dāng)滿足不等式時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式,那么常數(shù)就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,記為. 可以看出，數(shù)列極限與函數(shù)極限定義的思想是一致的,都是相應(yīng)的某個(gè)表達(dá)上的值無(wú)限地接近某個(gè)常數(shù)值.不同的是數(shù)列是離散的,數(shù)列中的項(xiàng)在跳躍式地接近,而函數(shù)是連續(xù)的,函數(shù)值在逐漸地接近,但二者都能與相應(yīng)的常數(shù)值以任意程度地接近. 2、定積分與極限 2.1定積分在求極限中應(yīng)用概述 不難看出,無(wú)論是數(shù)列的極限還是函數(shù)的極限,它們都與定積分的定義存在著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系,那么就讓我們來(lái)揭曉它們之間玄機(jī)與奧秘吧. 事實(shí)上,定積分的定義中蘊(yùn)含著一列數(shù)｛｝的和,并且只要充分地小,和式就可以任意地接近確定的實(shí)數(shù)J=,這正是極限思想的存在,即.這就為我們求極限提供了一種獨(dú)特而有力的方法——利用定積分求極限.因?yàn)樵诜e分學(xué)中有大量的積分公式,所以我們運(yùn)用之解決眾多類(lèi)型的和式極限. 2.2定積分求極限中應(yīng)用思想的形成 先讓我們看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子: 例1.求極限. 分析:此極限式的求解,不容易直接用極限的定義解決,因?yàn)樵摲ㄍ怯脕?lái)一邊計(jì)算一邊證明某個(gè)極限結(jié)果已經(jīng)比較明顯的問(wèn)題,因此這里不適合;重要極限的結(jié)論顯然也在這里沒(méi)有用武之地,因?yàn)樾问缴细静煌?再考慮洛必達(dá)法則,它不是無(wú)窮比無(wú)窮型的極限也非零比零型的極限,也不可能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用來(lái)解決連續(xù)函數(shù)的極限問(wèn)題,通過(guò)泰勒展式往往能把非多項(xiàng)式形式的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式形式,以簡(jiǎn)化形式從而求解,看來(lái)這里也不適用.那是不是就沒(méi)有什么合適的辦法了呢？答案當(dāng)然是否定的,事實(shí)上,它從形式上與定積分的定義還是有一些相像的,那么就讓我們嘗試用定積分的辦法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題吧！ 解:把此極限式轉(zhuǎn)化為某個(gè)積分形式,從而計(jì)算定積分.為此做如下變形: . 不難看出,其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)積分和(這里取得是等量分割,).所以, J=. 從該例題的解法中可以看出,本題的關(guān)鍵是將極限和轉(zhuǎn)化為積分和,從而利用了定積分將所求極限迎刃而解.于是,我們可以總結(jié)出定積分在求極限中應(yīng)用的一般方法步驟: Sept1將和式極限經(jīng)過(guò)變形,使其成為積分形式.這里常取; Sept2確定積分函數(shù)的上下限. a=; Sept3用x代換,寫(xiě)出定積分表達(dá)式,并求出原極限的值. 通過(guò)以上的一般方法步驟,我們?cè)诿鎸?duì)無(wú)窮項(xiàng)和式的極限問(wèn)題時(shí)就有方可依,有法可循了.現(xiàn)在讓我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子,并從中仔細(xì)體會(huì)以上方法步驟. 例2.求極限. 解:Sept1 化和式極限為積分形式. 原極限=. 顯然,這里,被積函數(shù)可看成 Sept2 確定積分函數(shù)上下限. Sept3 寫(xiě)出積分表達(dá)式并求出積分值. 原極限=. 對(duì)于本題,我們是緊緊按照剛剛總結(jié)出的方法步驟進(jìn)行的,并順利地求出了原題的極限值.這是一個(gè)具體的例子,那么我們是否可以總結(jié)出更為一般性結(jié)論呢？答案自然是肯定的. 3、應(yīng)用定積分求極限 3.1一般性結(jié)論的綜述及其應(yīng)用 至此,我們可以得出如下結(jié)論: 結(jié)論1如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),將區(qū)間進(jìn)行等分, ,那么，. 事實(shí)上,連續(xù)函數(shù)一定可積,而將區(qū)間進(jìn)行n等分也是分割的一種特殊情況.根據(jù)定積分的定義,上述結(jié)論成立. 當(dāng)然,并不是所有的用到定積分求極限的問(wèn)題中都要嚴(yán)格用到上面總結(jié)出的三個(gè)步驟,我們可視情況靈活處理,比如無(wú)需用到某一步驟或者還需用到其他求極限的思想等.下面我們?cè)倏匆唤M求極限的習(xí)題,以充分感受結(jié)論1的用途. 習(xí)題組1 1) 2) 3) . 這組習(xí)題都是無(wú)窮項(xiàng)式子和的極限問(wèn)題,都可以把定積分的思想應(yīng)用到求極限中去.現(xiàn)在就讓我們用結(jié)論1來(lái)解決這些求極限的問(wèn)題,并從不同習(xí)題中尋找出異同,以加深對(duì)結(jié)論1的掌握和認(rèn)識(shí). 解: (1) 分析 原極限顯然可以看成在上的定積分.故 (2)分析 先通過(guò)恒等變形,原極限式=,被積函數(shù),積分區(qū)間是,于是原極限值=; (3)分析 原和式極限的通項(xiàng)是不可以看成是關(guān)于的某一個(gè)函數(shù),但是注意到: 應(yīng)用結(jié)論1,上面不等式左端可以取極限,即 =,上面不等式右端可以取極限,即 . 于是,由極限的迫斂性可知原極限值=. 這組題均典型地運(yùn)用了定積分的計(jì)算,從而求出了各極限.我們發(fā)現(xiàn),只要找到某個(gè)連續(xù)函數(shù),并能把這個(gè)和式極限轉(zhuǎn)化成積分形式,我們就只需計(jì)算出f(x)在[0,1]上的積分值,從而確定出原極限值.這三個(gè)習(xí)題中,例題1的式子無(wú)需再進(jìn)行恒等變形,因?yàn)槠湫问缴弦呀?jīng)是f()了;習(xí)題2與習(xí)題3形式上直觀上不是f()的形式,因?yàn)槭阶优c式子都不含的項(xiàng).為此,我們需要對(duì)習(xí)題2以及習(xí)題3極限的式子進(jìn)行恒等變形,通過(guò)提取公因式等手段使其出現(xiàn)的因子.當(dāng)然有的題可能不容易找到對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù),例如習(xí)題3,我們可以用極限的一些性質(zhì),如極限的迫斂性,從而間接地求出原和式極限的極限值. 3.2一般性結(jié)論的深化及推廣 接下來(lái),我們對(duì)結(jié)論1進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐茝V,以得到更多形式的極限的求法. 推論1如果函數(shù)均在上可積, 證明:首先, 均在上可積. 又由于,,所以, 于是,==. 例3.求極限: . 解:由推論1可知,f(x)= 于是,原極限式=. 推論2設(shè) 例4.試求:. 推論3如果函數(shù)在區(qū)間上可積,且 . 證明:記A=,則 例5.計(jì)算. 解:本題也可以直接運(yùn)用推論3, 這三個(gè)推論是對(duì)結(jié)論1的必要補(bǔ)充與完善.形式上我們不僅有無(wú)窮項(xiàng)式子和的極限,還衍生出了無(wú)窮項(xiàng)式子乘積的極限.它們都是順著結(jié)論1的思路繼續(xù)進(jìn)行探索,從形式上豐富了定積分在求極限中應(yīng)用這一思想,但從本質(zhì)上講,它們與結(jié)論1是一致的.它們都緊緊抓住了定積分概念的實(shí)質(zhì),意識(shí)到定積分是無(wú)窮項(xiàng)和的極限,應(yīng)用數(shù)學(xué)的一些基本性質(zhì),對(duì)各式子進(jìn)行恒等變形,盡量把不同形式的極限向定積分定義中的和式上去靠攏.最終通過(guò)簡(jiǎn)單明了的定積分公式,求出定積分的值來(lái),以確定出原極限的值.由這三個(gè)推論來(lái)看, 等形式的極限，我們都有方可循,用定積分的方法容易求出其極限來(lái).對(duì)于任何一種數(shù)學(xué)方法,只要我們仔細(xì)地觀察與推究,都能將其結(jié)論或應(yīng)用范圍加以推廣,就像結(jié)論1.現(xiàn)在讓我們來(lái)看一組習(xí)題,以體會(huì)以上諸推論. 現(xiàn)在,我們已經(jīng)積累了多種求和式極限的方法,它們是今后應(yīng)用定積分解決極限類(lèi)問(wèn)題的最佳模型與范例.那就再讓我們來(lái)看一組習(xí)題,以熟悉與鞏固 等形式的極限吧. 下面這組習(xí)題綜合用到了以上各結(jié)論與推論. 習(xí)題組2用定積分的方法計(jì)算下列各極限. (1); (2); (3); (4). 解:分析 以上例題都容易恒等變形,使其滿足結(jié)論1或者推論1至推論3的條件.于是, (1) (2) =， = (3) ; (4). 3.3定積分在求極限中應(yīng)用思想的轉(zhuǎn)移 至此,我們已經(jīng)深深的體會(huì)到了各種形式的定積分在極限中應(yīng)用的作用.僅僅于此,我們尚不能滿足,我們可以把定積分在求極限中的應(yīng)用思想借鑒到其他方面.例如,利用這種思想方法來(lái)證明一些不等式,或者用之解決一些復(fù)雜一點(diǎn)的求極限問(wèn)題.下面將舉例說(shuō)明. 例6.證明:若函數(shù)在上連續(xù),且對(duì)于，有，則. 證明:已知與在上都可積.將進(jìn)行等分,分點(diǎn)是.在第K個(gè)區(qū)間上取.由算數(shù)平均不小于幾何平均,有 . 體會(huì):本例恰巧反過(guò)來(lái),將積分和轉(zhuǎn)化為極限和的形式,并運(yùn)用了算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)這一結(jié)論,將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).較好地認(rèn)識(shí)與掌握定積分與極限之間的關(guān)系是解決本問(wèn)題的關(guān)鍵.該例題說(shuō)明,我們應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)到定積分在極限中的作用,并能做到靈活變通,適當(dāng)情形下,二者可以相互轉(zhuǎn)化,將問(wèn)題化難為易,從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的. 例7.試求極限. 分析:該問(wèn)題似乎不能直接運(yùn)用結(jié)論1或推論1至推論3來(lái)求極限.因?yàn)闃O限的表達(dá)式不容易化成以上結(jié)論或者推論的情形.但是,該問(wèn)題的解決就真用不到定積分了嗎？答案是否定的.在解決該問(wèn)題之前,還是先讓我們看一下沃利斯公式的由來(lái)吧！ 沃利斯公式:. 證明:令,則當(dāng)時(shí)用分部積分法容易求得 移項(xiàng)并整理后可得遞推公式:由于 重復(fù)應(yīng)用上面的遞推公式可得 , 又由于 ,再將式代入,便可以得到 ,因?yàn)? ,根據(jù)極限的迫斂性可知.而,故得沃利斯公式 . 現(xiàn)在讓我們來(lái)仔細(xì)看看沃利斯公式究竟與定積分有什么關(guān)系吧!事實(shí)上,在計(jì)算定積分 時(shí),我們巧妙地運(yùn)用了定積分的遞推表達(dá)式,這樣我們才正真地尋找到了解決極限問(wèn)題的金鑰匙,看來(lái)定積分的運(yùn)算還是在其中發(fā)揮了不可低估的作用.那么就讓我們直接運(yùn)用該公式來(lái)探究例8問(wèn)題吧！ 根據(jù)沃利斯公式,可知. 從某種程度上講,我們利用了定積分方法解決了例8中極限的問(wèn)題.倘若我們采用其方法來(lái)求這個(gè)極限,恐怕會(huì)走一些彎路. 3.4定積分在求極限中應(yīng)用思想的完善 我們知道反常積分也是定積分在極限下定義出來(lái)的.以上的所有求極限問(wèn)題都是將極限的表達(dá)式整體轉(zhuǎn)化成積分形式,從而應(yīng)用了定積分巧妙地求出了原極限的結(jié)果,那么能不能把定積分在求極限中局部應(yīng)用呢？現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)看一個(gè)有趣的問(wèn)題,以便說(shuō)明此問(wèn)題. 例8.證明:. 分析:這個(gè)例題不同于前面所有的例題,前面的例題,我們都能迅速地將所求極限的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成,而本例不行,但它形式上與我們討論的定積分在求極限中應(yīng)用的例子非常相像,因?yàn)槭阶又杏袩o(wú)窮多項(xiàng)和,所以我們就嘗試用定積分的方法來(lái)求它吧！ 把這個(gè)極限式子的分子進(jìn)行適當(dāng)變形.如果根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn),我們知道的.可是現(xiàn)在我們對(duì)兩個(gè)問(wèn)題有所質(zhì)疑.第一,我們并沒(méi)有把原極限式直接轉(zhuǎn)化成積分形式;第二,即使局部用到了定積分,但我們知道的.事實(shí)上,原式經(jīng)變形后,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)分子與分母中的無(wú)窮大量是等價(jià)的.即 (這里我們統(tǒng)一了分子分母中的變量,統(tǒng)一用變量x,這里已經(jīng)表示變量x是逐步趨近,由數(shù)學(xué)分析中歸結(jié)原理”,這個(gè)手段是不影響極限結(jié)果的). 最后我們求得其結(jié)果,. 由此可以看到,在求極限的問(wèn)題中,定積分的思想不僅可以對(duì)表達(dá)式整體使用,也可以對(duì)其進(jìn)行局部使用.總之,只要我們善于思考書(shū)本上的一些概念以及分析它們之間聯(lián)系,我們就往往能夠游刃有余地把一種數(shù)學(xué)思想用于解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題上. 最后,讓我們?cè)賮?lái)總結(jié)一下,定積分在求極限中應(yīng)用時(shí)所應(yīng)該注意的幾個(gè)問(wèn)題. 第一,極限必須是無(wú)窮項(xiàng)和的極限,并且這些和的極限經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸冃沃竽苻D(zhuǎn)化為定積分的形式. 第二,應(yīng)用定積分求極限時(shí),往往還需要用到其他的一些求極限的方法和手段,例如極限的迫斂性,重要極限的結(jié)論,取對(duì)數(shù)手段等. 第三,求極限一類(lèi)問(wèn)題往往需要使用各種手段,這樣才能做到事半功倍. 4、論文總結(jié) 4.1再認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué) 通過(guò)以上探討,我們重新認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué).我們?cè)谶M(jìn)行推理與應(yīng)用時(shí),是有深切體會(huì)的.數(shù)學(xué)本身是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖匀豢茖W(xué),因?yàn)樗且环N思維的工具,是一種思想方法,它還是一種理性的藝術(shù). 數(shù)學(xué)是一種思維的工具.第一,數(shù)學(xué)具抽象性.數(shù)學(xué)概念是以極度抽象的形式出現(xiàn)的.本文中討論的定積分以及極限更是如此.與此同時(shí),數(shù)學(xué)的研究方法也是抽象的,這就是說(shuō)數(shù)學(xué)命題的真理性不能建立在經(jīng)驗(yàn)之上,而必須依靠于嚴(yán)格的證明.當(dāng)數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的研究時(shí),其關(guān)鍵在于能建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型.我們?cè)谶\(yùn)用定積分求極限時(shí),就已經(jīng)擁有了較好的數(shù)學(xué)模型——函數(shù)模型.在一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型上展開(kāi)數(shù)學(xué)的推導(dǎo)和計(jì)算,以形成對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí),判斷和預(yù)測(cè).這就是運(yùn)用抽象思維去解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的體現(xiàn).第二,數(shù)學(xué)賦予科學(xué)知識(shí)以邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的可靠性,是使認(rèn)識(shí)從感性階段發(fā)展到理性階段,并使理性認(rèn)識(shí)進(jìn)一步深化的重要手段.在數(shù)學(xué)中,每一個(gè)公式,定理都要嚴(yán)格地從邏輯上加以證明以后才能夠確立.當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)了“結(jié)論1”之后,相繼經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推理與論證后才拓展到了“推論1”至“推論3”.第三,數(shù)學(xué)是一種輔助工具和表現(xiàn)方式.我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題本身時(shí),還必須依賴(lài)于數(shù)學(xué)中的其他相關(guān)方法思路.另外數(shù)學(xué)反映的是一種復(fù)雜而抽象事物內(nèi)部關(guān)系,但是我們?nèi)匀挥泻?jiǎn)明的數(shù)學(xué)符號(hào)與形象鮮明的圖形等來(lái)表示它.無(wú)論是定積分還是極限,其中都用到了豐富的數(shù)學(xué)符號(hào),離開(kāi)這些數(shù)學(xué)符號(hào),我們的表達(dá)似乎顯得寸步難行. 數(shù)學(xué)是一種思想方法.數(shù)學(xué)是研究量的科學(xué).它研究客觀對(duì)象量的變化,關(guān)系等,并在提煉量的規(guī)律性的基礎(chǔ)上形成各種有關(guān)量的推導(dǎo)和演算的方法.數(shù)學(xué)的思想方法體現(xiàn)著它作為一般方法論的特征和性質(zhì),是物質(zhì)世界質(zhì)與量的統(tǒng)一,內(nèi)容與形式的統(tǒng)一的最有效的表現(xiàn)方式.無(wú)論是定積分還是極限都離不開(kāi)計(jì)算,這就意味著它們中都蘊(yùn)含著量的變化. 數(shù)學(xué)還是一種理性的藝術(shù).一般我們覺(jué)得,藝術(shù)與數(shù)學(xué)是兩種風(fēng)格與本質(zhì)都有著明顯不同的事物.它們一個(gè)處于高度理性化的峰頂,另一個(gè)則位于精神世界的樞紐地帶;一個(gè)是自然科學(xué)的代表,另一個(gè)則是美學(xué)的杰作.但是,在種種表面上無(wú)關(guān)甚至完全不同的現(xiàn)象身后卻隱藏著藝術(shù)與數(shù)學(xué)相當(dāng)一致的一般意義.我們進(jìn)行學(xué)術(shù)研究純粹是我們進(jìn)取以及求知欲的驅(qū)使. 藝術(shù)與數(shù)學(xué)都是公認(rèn)的地球語(yǔ)言.藝術(shù)與數(shù)學(xué)在描繪萬(wàn)事萬(wàn)物的過(guò)程中,還同時(shí)完善了自身的表現(xiàn)形式,這種表現(xiàn)形式最基本的載體便是藝術(shù)與數(shù)學(xué)各自獨(dú)特的語(yǔ)言特征.其共同特點(diǎn)有(1)超文化性.藝術(shù)與數(shù)學(xué)所表達(dá)的是一種帶有普遍意義的人類(lèi)共同的心聲,因而它們可以超越時(shí)間和地域界限,實(shí)現(xiàn)不同文化群體之間的廣泛傳播和交流.(2)整體性.藝術(shù)的整體性來(lái)自于其藝術(shù)表現(xiàn)的普遍性和廣泛性;數(shù)學(xué)的整體性來(lái)自于數(shù)學(xué)統(tǒng)一的符號(hào)體系,各個(gè)分支之間的有力聯(lián)系,共同的邏輯法則和既約的表達(dá)方式.(3)簡(jiǎn)明性.它首先表現(xiàn)為很高的抽象程度,其次是凝凍與濃縮.(4)代表性.藝術(shù)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言各自代表性可以誘發(fā)某種強(qiáng)烈的情感體驗(yàn),喚起某種美的享受,而意義則在于把注意力轉(zhuǎn)向思維,上升為理念,成為表現(xiàn)人類(lèi)內(nèi)心意圖的方式.(5)形式性.在藝術(shù)與數(shù)學(xué)各自進(jìn)行的符號(hào)與信息的含義交換中,其共同的特征就是達(dá)到了實(shí)體與形式的分離.我們研究的定積分在求極限中的應(yīng)用,那種思想以及符號(hào)呈現(xiàn)方式可被世界人悅納. 藝術(shù)與數(shù)學(xué)具有共同的精神價(jià)值.其共同的特點(diǎn)有:(1)自律性.數(shù)學(xué)價(jià)值的自律性是與數(shù)學(xué)價(jià)值的客觀性相關(guān)聯(lián)的;藝術(shù)的價(jià)值也是不能以人的意志而轉(zhuǎn)移.藝術(shù)與數(shù)學(xué)的價(jià)值基本上是在自身框架內(nèi)被鑒別,鑒賞和評(píng)價(jià)的.(2)超越性.它們可以超越時(shí)空,彰顯永恒.在藝術(shù)與數(shù)學(xué)的價(jià)值超越過(guò)程中,現(xiàn)實(shí)得以擴(kuò)張,延伸.藝術(shù)與數(shù)學(xué)的超越性還表現(xiàn)為超前的價(jià)值.(3)非功利性.藝術(shù)與數(shù)學(xué)的非功利性是其價(jià)值判斷異于其他種類(lèi)文化與科學(xué)的顯著特征之一.(4)多樣化,物質(zhì)化與廣泛化.在現(xiàn)代技術(shù)與商業(yè)化的推動(dòng)下,藝術(shù)與數(shù)學(xué)的價(jià)值也開(kāi)始發(fā)生升華,出現(xiàn)了各自價(jià)值在許多領(lǐng)域內(nèi)的散射,滲透,應(yīng)用,交叉等情況.定積分在求極限中的應(yīng)用,不僅僅貢獻(xiàn)于數(shù)學(xué)本身,它將逐漸在其他領(lǐng)域也發(fā)揮一定的作用. 4.2結(jié)束語(yǔ) 我們已經(jīng)見(jiàn)到了定積分在求極限問(wèn)題中應(yīng)用的各種形式.事實(shí)上,只要我們對(duì)學(xué)過(guò)的某些概念用心的體會(huì),并加以深刻的思考,我們就可能將其精髓運(yùn)用到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域.正如我們這里把定積分與極限結(jié)合起來(lái),并進(jìn)行了適當(dāng)推廣,得到了較為滿意的結(jié)論和推論. 本文主要給大家介紹了定積分在求極限中應(yīng)用.一開(kāi)始我們就回憶了定積分以及極限等大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要概念.然后剖析它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)而尋找到了一種獨(dú)特的求極限的辦法——借助定積分求極限.當(dāng)然,這種思想也并非空穴來(lái)風(fēng),它是源于教材中某些例題中具有創(chuàng)新性思想方法或者一些獨(dú)特的步驟.因?yàn)椴皇撬械臄?shù)學(xué)概念之間經(jīng)過(guò)思考推理,相互之間就能建立起聯(lián)系來(lái).因此,在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們務(wù)必對(duì)教材中的基本概念加深體會(huì),尤其是要把相互之間或多或少存在著某種關(guān)系的概念加以比較與分析.然后對(duì)其進(jìn)行大膽的假設(shè),并進(jìn)行一定的邏輯證明.如果我們的假設(shè)成立,那就是我們發(fā)現(xiàn)的新事物,這對(duì)于我們發(fā)散思維與創(chuàng)新思維都是大有裨益的;假設(shè)不成立,我們也可更好地掌握不同概念之間區(qū)別,這對(duì)于我們理解知識(shí)都是有好處的.所以,在我們平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們要積極去思考,并大膽地進(jìn)行某些適當(dāng)?shù)募僭O(shè),以提升我們創(chuàng)新思維能力. 求極限的方法可能還有更多,值得大家去思考與挖掘.希望本文能起到拋磚引玉的目的,能激發(fā)更多的數(shù)學(xué)愛(ài)好者攜起手來(lái)探索出更多實(shí)用與巧妙的求極限的方法來(lái).歡迎大家對(duì)本文進(jìn)行批評(píng)與指正. 參考文獻(xiàn) [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社,2001． [2]劉玉璉,劉偉等.數(shù)學(xué)分析講義習(xí)題選解.北京,高等教育出版社,2002． [3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M]北京, 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This paper will focus on the applications of definite integral in solving the limit problems. Keywords: Definite integral, Limit, Applications.