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第 四 章 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 1 連續(xù)性概念 連續(xù)函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中著重討論的一類函數(shù) . 從幾何形象上粗略地說 , 連續(xù)函 數(shù)在坐 標(biāo)平 面上 的圖象 是一 條連綿 不斷 的 曲線 .當(dāng)然我們不能滿足于這種直 觀的認 識 , 而應(yīng) 給出函 數(shù)連 續(xù)性 的精確 定義 , 并由此出發(fā)研究連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) .本 節(jié)中先 定義 函數(shù) 在一點 的連 續(xù)性和 在區(qū) 間 上的連續(xù)性 . 一 函數(shù)在一點的連續(xù)性 定義 1 設(shè)函數(shù) f 在某 U( x0 ) 內(nèi)有定義 .若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 0 則稱 f 在點 x0 連續(xù) . 例如 , 函數(shù) f ( x ) = 2 x + 1 在點 x = 2 連續(xù) , 因為 又如 , 函數(shù) lim x → 2 f ( x) = lim x → 2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = xsin 1 x , x ≠ 0 , 0 , x = 0 在點 x = 0 連續(xù) , 因為 lim x → 0  f ( x) = lim x → 0 xsin 1 x  = 0 = f ( 0) . 為引入函數(shù) y = f ( x ) 在點 x0 連 續(xù) 的另 一種 表述 , 記 Δ x = x - x0 , 稱為 自 變量 x( 在點 x0 ) 的增量或改變量 .設(shè) y0 = f ( x0 ) , 相應(yīng) 的函數(shù) y ( 在 點 x0 ) 的 增 量記為 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δ x) - f ( x0 ) = y - y0 . 注 自變量的增量 Δ x 或函數(shù)的增量 Δy 可以是正數(shù) , 也可以是 0 或負數(shù) . 引進了增量的概念之后 , 易見“ 函數(shù) y = f ( x ) 在點 x0 連續(xù)”等價于 lim Δy = 0 . Δ x → 0 70 第四章 函數(shù)的連續(xù)性 由于函數(shù)在一點的連續(xù)性 是通 過 極限 來定 義的 , 因 而 也可 直接 用 ε- δ方 式來敘述 , 即 : 若對任給的 ε> 0 , 存在 δ> 0 , 使得當(dāng) | x - x0 | < δ時有 | f ( x) - f ( x0 ) | < ε, ( 2) 則稱函數(shù) f 在點 x0 連續(xù) . 由上述定義 , 我們可得出函數(shù) f 在點 x0 有 極限 與 f 在 x0 連 續(xù)這兩 個概 念 之間的聯(lián)系 .首先 , f 在點 x0 有極限是 f 在 x0 連續(xù)的必要條件 ; 進一步說“, f 在 點 x0 連續(xù)”不僅要求 f 在點 x0 有極限 , 而且其 極限值應(yīng) 等于 f 在 x0 的 函數(shù) 值 f ( x0 ) .其次 , 在討論極限 時 , 我們假 定 f 在 點 x0 的某 空心 鄰域 U( x0 ) 內(nèi)有 定 義 ( f 在點 x0 可以沒有定義 ) , 而“ f 在點 x0 連續(xù)”則要求 f 在某 U( x0 ) 內(nèi) ( 包 括 點 x0 ) 有定義 , 此時由于 (2 ) 式當(dāng) x = x0 時總是成 立的 , 所以在 極限定義 中的“0 < | x - x0 | < δ”換成了在連續(xù)定義中的“ | x - x0 | < δ”.最后 , (1 ) 式又可表示為 lim x → x 0 f ( x) = f lim x , x → x 0 可見“ f 在點 x0 連續(xù)”意味著極限運算 lim x → x 與對應(yīng)法則 f 的可交換性 . 0 例 1 證明函數(shù) f ( x ) = x D( x ) 在 點 x = 0 連續(xù) , 其 中 D ( x ) 為 狄 利 克 雷 函數(shù) . 證 由 f (0 ) = 0 及 | D( x ) | ≤ 1 , 對任給的 ε> 0 , 為使 | f ( x ) - f ( 0) | = | xD( x ) | ≤ | x | < ε, 只要取 δ= ε, 即可按 ε- δ定義推得 f 在 x = 0 連續(xù) . □ 相應(yīng)于 f 在點 x0 的左、右極限的概念 , 我們給出左、右連續(xù)的定義如下 : 定義 2 設(shè)函數(shù) f 在某 U + ( x0 ) ( U - ( x0 ) ) 內(nèi)有定義 .若 lim x → x + 0 f ( x) = f ( x0 ) lim - x → x 0 f ( x) = f ( x0 ) , 則稱 f 在點 x0 右 ( 左 ) 連續(xù) . 根據(jù)上述定義 1 與定義 2 , 不難推出如下定理 . 定理 4.1 函數(shù) f 在點 x0 連續(xù)的充 要條 件是 : f 在 點 x0 既是 右連續(xù) , 又 是 左連續(xù) . 例 2 討論函數(shù) 在點 x = 0 的連續(xù)性 . 解 因為  f ( x ) = x + 2 , x ≥ 0 , x - 2 , x < 0 lim x → 0 + lim x → 0 - f ( x ) = lim x → 0 + f ( x) = lim x → 0 - ( x + 2 ) = 2 , ( x - 2) = - 2 , 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在點 x = 0 右連 續(xù) , 但 不左 連續(xù) , 從 而 它在 x = 0 不 連續(xù) ( 見 ● 1 連續(xù)性概念 71 圖 4 - 1 ) . □ 二 間斷點及其分類 定義 3 設(shè)函數(shù) f 在某 U( x0 ) 內(nèi)有定義 .若 f 在 點 x0 無定義 , 或 f 在點 x0 有 定 義而 不 連續(xù) , 則稱 點 x0 為 函數(shù) f 的間斷點或不連續(xù)點 . 按此定義以及上一段中關(guān)于極限與連續(xù)性之間聯(lián)系的 討論 , 若 x0 為函數(shù) f 的間斷點 , 則必出現(xiàn)下列情形之一:  圖 4 - 1 ( i) f 在點 x0 無定義或極限 lim x→ x f ( x ) 不存在 ; 0 ( ii) f 在點 x0 有定義且極限 lim x → x 0 f ( x ) 存在 ① , 但 lim x → x 0 f ( x) ≠ f ( x0 ) . 據(jù)此 , 我們對函數(shù)的間斷點作如下分類 : 1. 可去間斷點 若 lim x → x f ( x ) = A , 0 而 f 在點 x0 無定義 , 或有定義但 f ( x0 ) ≠ A , 則稱 x0 為 f 的可去間斷點 . 例如 , 對于函數(shù) f ( x ) = | sgn x | , 因 f ( 0) = 0 , 而 lim x → 0 f ( x) = 1 ≠ f (0 ) , 故 x = 0 為 f ( x ) = | sgn x | 的 可 去 間 斷 點 . 又 如 函 數(shù) g ( x ) = sin x , 由 于 x lim x → 0 g ( x ) = 1 , 而 g 在 x = 0 無定義 , 所以 x = 0 是函數(shù) g 的可去間斷點 . 設(shè) x0 為函數(shù) f 的可去間斷點 , 且 lim x→ x f ( x ) = A .我們按 如下 方法定 義一 個 0 函數(shù) f^: 當(dāng) x ≠ x0 時 , f^( x ) = f ( x) ; 當(dāng) x = x0 時 , f^( x0 ) = A .易 見 , 對 于函 數(shù) f^, x0 是它的連續(xù)點 .例如 , 對上述的 g( x) = sin x , 我們定義 x 則 g^在 x = 0 連續(xù) .  g^( x) = sin x x , x ≠ 0 , 1 , x = 0 , 2. 跳躍間斷點 若函數(shù) f 在點 x0 的左、右極限都存在 , 但 lim x → x + 0 f ( x) ≠ lim x → x - 0 f ( x) , 則稱點 x0 為函數(shù) f 的跳躍間斷點 . 例如 , 對函數(shù) f ( x ) = [ x ] ( 圖 1 - 8) , 當(dāng) x = n ( n 為整數(shù) ) 時有 ① 這里所說的極限存在是指存在有限極限 , 即不包括非正常極限 . 72 第四章 函數(shù)的連續(xù)性 lim x → n - [ x] = n - 1 , lim x→ n+ [ x] = n , 所以在整數(shù)點上函數(shù) f 的左、右極限不相 等 , 從而 整數(shù) 點都是 函數(shù) f ( x ) = [ x] 的跳躍間斷點 .又如符號函數(shù) sgn x 在點 x = 0 處的左、右 極限 分別 為 - 1 和 1 , 故 x = 0 是 sgn x 的跳躍間斷點 ( 圖 1 - 3) . 可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱 為第 一類 間斷 點 .第一類 間斷 點的特 點是 函 數(shù)在該點處的左、右極限都存在 . 3. 函數(shù)的所有其他形式的間斷點 , 即使得函數(shù)至少有 一側(cè)極限 不存在的 那 些點 , 稱為第二類間斷點 . 例如 , 函數(shù) y = 1 當(dāng) x→ 0 時不存在有限的極限 , 故 x = 0 是 y = 1 的第二類 x x 間斷點 .函數(shù) sin 1 在點 x = 0 處左、右極限都不存在 , 故 x = 0 是 sin 1 的第二類 x x 間斷點 .又如 , 對于狄利克雷函數(shù) D( x ) , 其定義域 R 上 每一點 x 都 是第二類 間 斷點 . 三 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 若函數(shù) f 在區(qū)間 I 上的每一點都連續(xù) , 則稱 f 為 I 上的連續(xù)函數(shù) .對于閉區(qū) 間或半開半閉區(qū)間的端點 , 函數(shù)在這些點上連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù) . 例如 , 函數(shù) y = c, y = x , y = sin x 和 y = cos x 都是 R 上 的連 續(xù) 函數(shù) .又 如 函數(shù) y = 1 - x2 在 ( - 1 , 1 ) 每 一點處都 連續(xù) , 在 x = 1 為 左連續(xù) , 在 x = - 1 為 右連續(xù) , 因而它在 [ - 1 , 1] 上連續(xù) . 若函數(shù) f 在區(qū)間 [ a , b] 上僅有 有限 個第 一類間 斷點 , 則稱 f 在 [ a, b] 上 分 段連續(xù) .例如 , 函數(shù) y = [ x ] 和 y = x - [ x] 在區(qū)間 [ - 3 , 3 ] 上是分段連續(xù)的 . 在3 中我們將證明任何初等函數(shù)在其定義區(qū) 間上為 連續(xù)函數(shù) .同 時 , 也 存 在著在其定義區(qū)間上每一點處都不連續(xù)的函數(shù) , 如前面已提到的狄利克雷函數(shù) . 例 3 證明 : 黎曼函數(shù) R ( x) =  1 , 當(dāng) x = p q q p、q 為正整數(shù) , p6q/ 為既約真分數(shù) , 0 , 當(dāng) x = 0 , 1 及 (0 , 1 ) 內(nèi)無理數(shù) 在 (0 , 1 ) 內(nèi)任何無理點處都連續(xù) , 任何有理點處都不連續(xù) . 證 設(shè) ξ∈ ( 0 , 1) 為無 理數(shù) .任給 ε> 0 不妨設(shè) ε< 1 2  , 滿足 1 ≥ε的正 整 q 數(shù) q 顯然只有有限個 ( 但至少有一個 , 如 q = 2) , 從而使 R( x ) ≥ε的 有理數(shù) x ∈ (0 , 1 ) 只有有限個 至少有一個 , 如 1 2 , 設(shè)為 x1 , , xn .取 δ = min | x1 - ξ| , , | xn - ξ| ,ξ, 1 - ξ , 1 連續(xù)性概念 73 則對任何 x∈ U(ξ;δ) ( ( 0 , 1) ) , 當(dāng) x 為有理數(shù)時有 R( x ) < ε, 當(dāng) x 為無理數(shù) 時 R ( x ) = 0 .于是 , 對任何 x∈ U(ξ;δ) , 總有 R ( x) - R(ξ) = R ( x ) < ε . 這就證明了 R ( x ) 在無理點 ξ處連續(xù) . 現(xiàn)設(shè) p 為 (0 , 1 ) 內(nèi)任一有理 數(shù) .取 ε0 = 1 , 對任 何正 數(shù) δ( 無 論 多么 小 ) , 在 q 2 q U p q ;δ 內(nèi)總可取到無理數(shù) x ( ∈ ( 0 , 1) ) , 使得 R( x ) - R p q = 1 q > ε0 . 所以 R ( x ) 在任何有理點處都不連續(xù) . □ 習(xí) 題 1. 按定義證明下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù) : ( 1) f ( x ) = 1 ; ( 2) f ( x ) = | x | . x 2. 指出下列函數(shù)的間斷點并說明其類型 : ( 1) f ( x ) = x + 1 ; ( 2) f ( x) = sin x ; x | x | ( 3) f ( x ) = [ | cos x | ] ; (4) f ( x) = sgn | x | ; ( 5) f ( x ) = sgn ( cos x ) ; x , x 為有理數(shù) , ( 6) f ( x ) = ( 7) f ( x ) = - x , x 為無理數(shù) ; 1 x + 7 , - ∞ < x < - 7 , x , - 7≤ x ≤1 ( x - 1 )sin 1 , 1 < x < + ∞ . x - 1 3. 延拓下列函數(shù) , 使其在 R 上連續(xù) : 3 ( 1) f ( x ) = x - 8 ; ( 2) f ( x) = 1 - cos x ; x - 2 x2 ( 3) f ( x ) = xcos 1 . x 2 2 4. 證明: 若 f 在點 x0 連續(xù) , 則 | f | 與 f 也在 點 x0 連 續(xù) .又問 : 若 | f | 或 f 那么 f 在 I 上是否必連續(xù) ? 在 I 上連續(xù) , 5. 設(shè)當(dāng) x ≠0 時 f ( x) ≡ g( x ) , 而 f ( 0) ≠ g (0 ) .證明 : f 與 g 兩者中 至多有 一個在 x = 0 連續(xù) . 6. 設(shè) f 為區(qū)間 I 上的單調(diào)函數(shù) .證明: 若 x0 ∈ I 為 f 的間斷點 , 則 x0 必是 f 的第一類間 斷點 . 74 第四章 函數(shù)的連續(xù)性 7. 設(shè)函數(shù) f 只有可去間斷點 , 定義 g( x ) = lim y→ x  f ( y) . 證明 g 為連續(xù)函數(shù) . 8. 設(shè) f 為 R 上的單調(diào)函數(shù) , 定義 g( x) = f ( x + 0 ) . 證明 g 在 R 上每一點都右連續(xù) . 9. 舉出定義在 [0 , 1 ]上分別符合下述要求的函數(shù) : ( 1) 只在 1 , 1 和 1 三點不連續(xù)的函數(shù) ; 2 3 4 ( 2) 只在 1 , 1 和 1 三點連續(xù)的函數(shù) ; 2 3 4 ( 3) 只在 1 ( n = 1 , 2 , 3 , )上間斷的函數(shù) ; n ( 4) 只在 x = 0 右連續(xù) , 而在其他點都不連續(xù)的函數(shù) . 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 若函數(shù) f 在點 x0 連續(xù) , 則 f 在點 x0 有極 限 , 且極 限值 等于函 數(shù)值 f ( x0 ) . 從而 , 根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)能推斷出函數(shù) f 在 U ( x0 ) 的性態(tài) . 定理 4.2 ( 局部有界性 ) 若函數(shù) f 在點 x0 連續(xù) , 則 f 在某 U( x0 ) 內(nèi)有界 . 定理 4 .3 ( 局部保號性 ) 若函數(shù) f 在點 x0 連 續(xù) , 且 f ( x0 ) > 0 ( 或 < 0 ) , 則 對任何正數(shù) r < f ( x0 ) ( 或 r < - f ( x0 ) ) , 存 在 某 U ( x0 ) , 使 得 對 一 切 x ∈ U( x0 ) 有 f ( x) > r ( 或 f ( x ) < - r) . 注 在具體應(yīng)用局 部保 號性 時 , 常 取 r = 1 2 f ( x0 ) , 則 ( 當(dāng) f ( x0 ) > 0 時 ) 存 在某 U( x0 ) , 使在其內(nèi)有 f ( x) > 1 2 f ( x0 ) . 定理 4 .4 ( 四則運算 ) 若函數(shù) f 和 g 在點 x0 連續(xù) , 則 f g , fg, 6f g( x0 ) ≠ 0) 也都在點 x0 連續(xù) . 以上三個定理的證明 , 都可從函數(shù)極限的有關(guān)定理直接推得 . g/( 這里 對常量函數(shù) y = c 和函數(shù) y = x 反復(fù)應(yīng)用定理 4.4 , 能推出多項式函數(shù) n n - 1 P( x) = a0 x + a1 x + + an - 1 x + an 和有理函數(shù) R ( x ) = P( x) Q( x) ( P , Q 為多項式 ) 在其定義域的每 一點都是 連續(xù)的 . 同樣 , 由 sin x 和 cos x 在 R 上的連續(xù)性 , 可推出 tan x 與 cot x 在其定義域的每 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 75 一點都連續(xù) . 關(guān)于復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 , 有如下定理 : 定理 4.5 若函數(shù) f 在點 x0 連續(xù) , g 在點 u0 連續(xù) , u0 = f ( x0 ) , 則復(fù)合函 數(shù) g f 在點 x0 連續(xù) . 證 由于 g 在 u0 連續(xù) , 對任給的 ε> 0, 存在 δ1 > 0 , 使得當(dāng)| u - u0 | < δ1 時有 | g( u) - g( u0 ) | < ε . ( 1) 又由 u0 = f ( x0 ) 及 u = f ( x ) 在點 x0 連續(xù) , 故 對上述 δ1 > 0 , 存在 δ> 0 , 使得 當(dāng) | x - x0 | < δ時有 | u - u0 | = | f ( x ) - f ( x0 ) | < δ1 .聯(lián)系 ( 1 ) 得 : 對 任給的 ε> 0 , 存在 δ> 0 , 當(dāng) | x - x0 | < δ時有 | g ( f ( x ) ) - g( f ( x0 ) ) | < ε . 這就證明了 g f 在點 x0 連續(xù) . □ 注 根據(jù)連續(xù)性的定義 , 上述定理的結(jié)論可表為 lim x → x 0 g( f ( x) ) = g lim x → x 0 f ( x ) = g( f ( x0 ) ) . ( 2) 例 1 求lim sin (1 - x2 ) . x → 1 解 sin( 1 - x2 ) 可看作函數(shù) g( u) = sin u 與 f ( x ) = 1 - x2 的復(fù)合 .由 ( 2) 式 得 lim sin( 1 - x2 ) = sin lim  (1 - x2 ) = sin 0 = 0 . □ x → 1 x → 1 注 若復(fù)合函數(shù) g f 的內(nèi)函 數(shù) f 當(dāng) x→ x0 時 極限 為 a , 而 a≠ f ( x0 ) 或 f 在 x0 無定義 ( 即 x0 為 f 的可去間斷點 ) , 又外函數(shù) g 在 u = a 連續(xù) , 則我們?nèi)钥?用上述定理來求復(fù)合函數(shù)的極限 , 即有 lim x → x 0 g( f ( x ) ) = g lim x → x 0 f ( x) . ( 3) 讀者還可證明 : ( 3 ) 式 不 僅 對 于 x → x0 這 種 類 型 的 極 限 成 立 , 而 且 對 于 x → 0 + ∞ , x→ - ∞或 x → x 等類型的極限也是成立的 . 例 2 求極限 : (1 ) lim 2 - sin x ; (2 ) lim 2 - sin x . x → 0 解 (1 ) lim x → 0 x 2 - sin x x x→ ∞ = 2 - lim x → 0 x sin x = 2 - 1 = 1; x (2 ) lim 2 - sin x = 2 - lim sin x = 2 - 0 = 2 . □ x → ∞ x x→ ∞ x 二 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 設(shè) f 為閉區(qū)間 [ a , b] 上 的連續(xù) 函數(shù) , 本 段中我 們討 論 f 在 [ a , b] 上 的整 體 性質(zhì) . 76 第四章 函數(shù)的連續(xù)性 定義 1 設(shè) f 為定義在數(shù)集 D 上的函數(shù) .若存在 x0 ∈ D, 使得對一切 x ∈ D 有 f ( x0 ) ≥ f ( x ) ( f ( x0 ) ≤ f ( x) ) , 則稱 f 在 D 上有最大 ( 最小 ) 值 , 并稱 f ( x0 ) 為 f 在 D 上的最大 ( 最小 ) 值 . 例如 , sin x 在 [ 0 ,π] 上有最大 值 1 , 最小 值 0 .但 一般 而言 , 函 數(shù) f 在 其定 義 域 D 上不一定有最大值或最小值 ( 即使 f 在 D 上有界 ) .如 f ( x) = x 在 ( 0 , 1) 上 既無最大值也無最小值 .又如 g( x ) =  1 x , x ∈ (0 , 1 ) , 2 , x = 0 與 1 ,  ( 4) 它在閉區(qū)間 [0 , 1 ] 上也無最大、最小值 .下述定理給出了函數(shù)能取得最大、最小值 的充分條件 . 定理 4 .6 ( 最大、最 小 值 定理 ) 若函 數(shù) f 在閉 區(qū) 間 [ a , b] 上 連 續(xù) , 則 f 在 [ a , b] 上有最大值與最小值 . 此定理和隨后的定理 4.7 以及本節(jié)最后的定理 4.9 , 其證明 將在第 七章2 給出 .在這里讀者先對這些定理有所了解 , 并能初步運用它們 . 推論 ( 有界性定理 ) 若 函 數(shù) f 在 閉 區(qū) 間 [ a, b] 上 連 續(xù) , 則 f 在 [ a , b] 上 有界 . 易見由 (4 ) 式給出的函數(shù) g 在閉區(qū)間 [0 , 1 ] 上無界 , 請讀 者考慮為 什么對 函 數(shù) g 上述推論的結(jié)論不成立 . 定理 4 .7 ( 介 值 性 定 理 ) 設(shè) 函 數(shù) f 在 閉 區(qū) 間 [ a , b] 上 連 續(xù) , 且 f ( a ) ≠ f ( b) .若 μ為介于 f ( a) 與 f ( b) 之間的任何實數(shù) ( f ( a) < μ< f ( b) 或 f ( a) > μ > f ( b) ) , 則至少存在一點 x0 ∈ ( a , b) , 使得 f ( x0 ) = μ . 這個定理表明 , 若 f 在 [ a , b] 上連續(xù) , 又不妨設(shè) f ( a) < f ( b) , 則 f 在 [ a, b] 上必能取得區(qū)間 [ f ( a) , f ( b) ] 中的一切值 , 即有 [ f ( a) , f ( b) ] f ( [ a, b] ) , 其幾何意義如圖 4 - 2 所示 . 推論 ( 根的存在定理 ) 若函數(shù) f 在閉 區(qū)間 [ a, b] 上 連續(xù) , 且 f ( a ) 與 f ( b) 異號 ( 即 f ( a) f ( b) < 0) , 則至少存在一點 x0 ∈ ( a , b) , 使得 f ( x0 ) = 0 , 即方程 f ( x) = 0 在 ( a , b) 內(nèi)至少有一個根 . 這個推論的幾何解釋如圖 4 - 3 所示 : 若點 A ( a , f ( a) ) 與 B( b , f ( b) ) 分 別 在 x 軸的兩側(cè) , 則連接 A、B 的連續(xù)曲線 y = f ( x ) 與 x 軸至少有一個交點 . 應(yīng)用介值性定理 , 我們還容易推得連續(xù)函數(shù)的下述性質(zhì) : 若 f 在區(qū)間 I 上連 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 77 圖 4 - 2 圖 4 - 3 續(xù)且不是常量函數(shù) , 則值域 f ( I ) 也 是一 個 區(qū) 間 ; 特 別 , 若 I 為閉 區(qū) 間 [ a , b] , f 在 [ a , b] 上的最大值為 M , 最小值為 m , 則 f ( [ a , b] ) = [ m , M ] ; 又若 f 為 [ a , b] 上的增 ( 減 ) 連續(xù)函數(shù)且不為常數(shù) , 則 f ( [ a , b] ) = [ f ( a) , f ( b) ] ( [ f ( b) , f ( a) ] ) . 下面舉例說明介值性定理的應(yīng)用 . 0 0 0 例 3 證明 : 若 r > 0 , n 為正整數(shù) , 則存在唯一正數(shù) x , 使得 xn = r( x 稱為 n r 的 n 次正根 ( 即算術(shù)根 ) , 記作 x0 = r ) . 證 先證存在性 .由于當(dāng) x→ + ∞時有 xn → + ∞ , 故必存在正數(shù) a , 使得 an 0 0 0 > r .因 f ( x ) = xn 在 [0 , a] 上連續(xù) , 并 有 f ( 0) < r < f ( a) , 故 由介 值性定 理 , 至 少存在一點 x ∈ ( 0 , a) , 使得 f ( x ) = xn = r . 1 1 再證唯一性 .設(shè)正數(shù) x 使得 x n = r , 則有 x n n n - 1 n - 2 n - 1 0 - x1 = ( x0 - x1 ) x0 + x0 x1 + + x1 = 0 , 由于第二個括號內(nèi)的數(shù)為正 , 所以只能 x0 - x1 = 0 , 即 x1 = x0 . □ 例 4 設(shè) f 在 [ a , b] 上連續(xù) , 滿足 f ( [ a , b] ) [ a , b] . ( 5) 證明 : 存在 x0 ∈ [ a , b] , 使得 f ( x0 ) = x0 . ( 6) 證 條件 (5 ) 意味著 : 對任何 x∈ [ a , b] 有 a≤ f ( x ) ≤ b, 特別有 a ≤ f ( a) 以及 f ( b) ≤ b . 若 a = f ( a) 或 f ( b) = b, 則 取 x0 = a 或 b, 從 而 ( 6 ) 式 成 立 .現(xiàn) 設(shè) a < f ( a ) 與 f ( b) < b .令 F( x) = f ( x ) - x , 則 F( a) = f ( a) - a > 0 , F( b) = f ( b) - b < 0 .故由根 的存在性 定理 , 存在 x0 ∈ ( a , b) , 使得 F( x0 ) = 0 , 即 f ( x0 ) = x0 . □ 從本例的證明過程可見 , 在應(yīng)用 介值性 定理 或根 的存在 性定 理證明 某些 問 78 第四章 函數(shù)的連續(xù)性 題時 , 選取合適的輔助函數(shù) ( 如在本例中令 F( x ) = f ( x ) - x ) , 可收 到事半功 倍 的效果 . 三 反函數(shù)的連續(xù)性 定理 4.8 若函數(shù) f 在 [ a , b] 上嚴格單調(diào)并連續(xù) , 則反函數(shù) f - 1 在其定義域 [ f ( a) , f ( b) ] 或 [ f ( b) , f ( a) ] 上連續(xù) . 0 0 證 不妨設(shè) f 在 [ a , b] 上 嚴格增 .此 時 f 的值 域 即 反 函 數(shù) f - 1 的 定 義 域 為 [ f ( a ) , f ( b) ] .任 取 y0 ∈ ( f ( a ) , f ( b ) ) , 設(shè) x0 = f - 1 ( y ) , 則 x ∈ ( a , b ) .于 是 對 任 給 的 ε> 0 , 可在 ( a , b) 內(nèi) x0 的兩 側(cè)各 取異 于 x0 的 點 x1 , x2 ( x1 < x0 < x2 ) , 使 它們 與 x0 的 距 離 小于 ε( 圖 4 - 4) . 設(shè)與 x1 , x2 對應(yīng)的函數(shù)值分別為 y1 , y2 , 由 f 的嚴格增性知 y1 < y0 < y2 .令 δ = min( y2 - y0 , y0 - y1 ) , 圖 4 - 4 - 1 則當(dāng) y∈ U ( y0 ;δ) 時 , 對應(yīng)的 x = f ( y) 的值都落在 x1 與 x2 之間 , 故有 0 0 | f - 1 ( y) - f - 1 ( y ) | = | x - x | < ε, 這就證明了 f - 1 在點 y0 連續(xù) , 從而 f - 1 在 ( f ( a) , f ( b) ) 內(nèi)連續(xù) . 類似地可證 f - 1 在其定義 區(qū) 間的 端 點 f ( a) 與 f ( b) 分 別 為右 連 續(xù)與 左 連 續(xù) .所以 f - 1 在 [ f ( a) , f ( b) ] 上連續(xù) . □ 例 5 由于 y = sin x 在區(qū)間 - π , π 上嚴格單調(diào)且連續(xù) , 故其反函數(shù) y = 2 2 arcsin x 在區(qū)間 [ - 1 , 1 ] 上連續(xù) . 同理可得其它反三角 函 數(shù)也 在相 應(yīng)的 定義 區(qū) 間 上連 續(xù) .如 y = arccos x 在 [ - 1 , 1 ] 上連續(xù) , y = arctan x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上連續(xù)等 . □ 1 例 6 由于 y = xn ( n 為 正整數(shù) ) 在 [ 0 , + ∞ ) 上嚴格 單調(diào)且連 續(xù) , 故 y = x n 1 1 在 [0 , + ∞ ) 上連續(xù) .又若 把 y = x - n ( n 為 正整 數(shù) ) 看 作由 y = u n 與 u = 1 復(fù) 合 x 而成的函數(shù) , 則由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 , y = x - 1  1 n 在 (0 , + ∞ ) 上連續(xù) . 綜上可知 , 若 q 為非零整數(shù) , 則 y = x q 是其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) . □ 例 7 證明 : 有理冪函數(shù) y = xα 在其定義區(qū)間上連續(xù) . 1 證 設(shè)有理數(shù) α= p , 這里 p , q ( ≠ 0) 為整數(shù) .因為 y = u q 與 q 定義區(qū)間上連續(xù) , 所以復(fù)合函數(shù) u = xp 均在其 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 79 y = ( xp ) 1 q = xα 也是其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) . □ 四 一致連續(xù)性 函數(shù) f 在區(qū)間上連續(xù) , 是 指 f 在該 區(qū)間 上每 一 點都 連續(xù) .本 段 中討 論的 一 致連續(xù)性概念反映了函數(shù)在區(qū)間上更強的連續(xù)性 . 定義 2 設(shè) f 為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù) .若對任給的 ε> 0 , 存在 δ= δ(ε) > 0 , 使得對任何 x′, x″∈ I , 只要 | x′- x″| < δ, 就有 | f ( x′) - f ( x″) | < ε, 則稱函數(shù) f 在區(qū)間 I 上一致連續(xù) . 直觀地說 , f 在 I 上一致 連 續(xù)意 味著 : 不 論 兩點 x′與 x″在 I 中 處 于什 么 位 置 , 只要它們的距離小于 δ, 就可使 | f ( x′) - f ( x″) | < ε . 例 8 證明 f ( x) = ax + b ( a≠0) 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上一致連續(xù) . 證 任給 ε> 0 , 由于 | f ( x′) - f ( x″) | = | a | | x′- x″| , 故可選取 δ= ε | a | , 則對任何 x′, x″∈ ( - ∞ , + ∞ ) , 只要 | x′- x″| < δ, 就有 | f ( x′) - f ( x″) | < ε . 這就證得 f ( x) = ax + b 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上一致連續(xù) . □ 例 9 證明函數(shù) y = 1 在 (0 , 1 ) 內(nèi) 不一 致連 續(xù) ( 盡 管 它在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)每 一點 都 x 連續(xù) ) . 證 按一致連續(xù)性的 定 義 , 為 證函 數(shù) f 在 某 區(qū) 間 I 上不 一 致連 續(xù) , 只 須 證 明 : 存在某 ε0 > 0 , 對任 何正數(shù) δ( 不 論 δ多么小 ) , 總 存在 兩點 x′, x″∈ I , 盡 管 | x′- x″| < δ, 但有 | f ( x′) - f ( x″) | ≥ε0 . 對于本例中函數(shù) y = 1 , 可取 ε0 = 1 , 對無論多么小的正數(shù) δ < 1 , 只要取 x 2 x′= δ與 x″= δ( 圖 4 - 5) , 則雖有 2 | x′- x″| = δ 2 但 < δ, 1 - 1 1 x′ x″ = δ > 1 , 所以 y = 1 在 ( 0 , 1) 內(nèi)不一致連續(xù) . □ x 函數(shù)在區(qū)間上 連續(xù) 與一 致連 續(xù) 這兩 個概  圖 4 - 5 80 第四章 函數(shù)的連續(xù)性 念有著重要的差別 . f 在區(qū)間 I 上連續(xù) , 是指任給 ε> 0 , 對每 一點 x ∈ I , 都存 在 相應(yīng)的正數(shù) δ= δ(ε, x) , 只要 x′∈ I 且 | x - x′| < δ, 就有 | f ( x ) - f ( x′) | < ε . 一般來說 , 對于 I 上不同的點 , 相應(yīng)的正數(shù) δ是不同的 .換句話說 , δ的取值除依 賴于 ε之外 , 還與點 x 有關(guān) , 由此我們寫 δ= δ(ε, x) 以表 示 δ與ε和 x 的依 賴 關(guān)系 .如果能做到 δ只與ε有關(guān) , 而與 x 無關(guān) , 或 者說 存在適 合于 I 上 所有點 x 的公共的δ, 即 δ= δ(ε) , 那么函數(shù)就不僅在 I 上連續(xù) , 而且是一致連續(xù)了 . 所以 , f 在區(qū)間 I 上一致連續(xù)是 f 的又一個整 體性質(zhì) , 由它 可推出 f 在 I 上 每一點都連續(xù)的這一局部性質(zhì) ( 只要在定義 2 中把 x′看作定點 , 把 x″看作動點 , 即得 f 在點 x′連續(xù) ) .而從例 9 可見 , 由 f 在區(qū)間 I 上每一點都連續(xù) , 并不能推出 f 在 I 上一致連續(xù) .然而 , 對于 定義 在閉 區(qū)間 上的 函 數(shù)來 說 , 由它 在 每一 點都 連 續(xù)卻可推出在區(qū)間上的一致連續(xù)性 , 即有如下重要定理 : 定理 4.9 ( 一致連續(xù)性定理 ) 若函數(shù) f 在閉區(qū)間 [ a , b] 上連續(xù) , 則 f 在 [ a , b] 上一致連續(xù) . 例 10 設(shè)區(qū)間 I1 的右端點為 c∈ I1 , 區(qū)間 I2 的左端點也為 c∈ I2 ( I1 , I2 可 分別為有限或無限區(qū)間 ) .試按 一致 連續(xù) 性的定 義 證明 : 若 f 分 別在 I1 和 I2 上 一致連續(xù) , 則 f 在 I = I1 ∪ I2 上也一致連續(xù) . 證 任給 ε> 0 , 由 f 在 I1 和 I2 上 的 一致 連續(xù) 性 , 分別 存在 正 數(shù) δ1 和 δ2 , 使得對任何 x′, x″∈ I , 只要 | x′- x″| < δ1 , 就有 | f ( x′) - f ( x″) | < ε; ( 7) 又對任何 x′, x″∈ I2 , 只要 | x′- x″| < δ2 , 也有 ( 7) 式成立 . 點 x = c 作 為 I1 的右 端點 , f 在 點 c 為左 連續(xù) , 作 為 I2 的 左端 點 , f 在 點 c 為右連續(xù) , 所以 f 在點 c 連續(xù) .故對上述 ε> 0 , 存在 δ3 > 0 , 當(dāng) | x - c | < δ3 時有 | f ( x ) - f ( c) | < ε . ( 8) 2 令 δ= min(δ1 , δ2 , δ3 ) , 對任何 x′, x″∈ I , | x′- x″| < δ, 分別討論以下兩種 情形 : ( i) x′, x″同時屬于 I1 或同時屬于 I2 , 則 ( 7) 式成立 ; ( ii) x′, x″分屬 I1 與 I2 , 設(shè) x′∈ I1 , x″∈ I2 , 則 | x′- c | = c - x′< x″- x′< δ≤ δ3 , 故由 (8 ) 式得 | f ( x′) - f ( c) | < ε 2 .同理得 | f ( x″) - f ( c) | < ε .從而 也有 (7 ) 式 2 成立 .這就證明了 f 在 I 上一致連續(xù) . □ 習(xí) 題 1. 討論復(fù)合函數(shù) f g 與 g f 的連續(xù)性 , 設(shè) 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 81 ( 1) f ( x ) = sgn x , g( x) = 1 + x2 ; ( 2) f ( x ) = sgn x , g( x) = (1 - x2 ) x . 2. 設(shè) f , g 在點 x0 連續(xù) , 證明 : ( 1) 若 f ( x0 ) > g( x0 ) , 則存在 U( x0 ;δ) , 使在其內(nèi)有 f ( x ) > g( x) ; ( 2) 若在某 U( x0 ) 內(nèi)有 f ( x ) > g( x) , 則 f ( x0 )≥ g( x0 ) . 3. 設(shè) f , g 在區(qū)間 I 上連續(xù) .記 F( x) = max{ f ( x) , g( x) } , G( x ) = min{ f ( x) , g( x) } . 證明 F 和 G 也都在 I 上連續(xù) . 提示 : 利用第一章總練習(xí)題 1 . 4. 設(shè) f 為 R 上連續(xù)函數(shù) , 常數(shù) c > 0 .記 - c , 若 f ( x) < - c, 證明 F 在 R 上連續(xù) . F( x) = f ( x) , 若 | f ( x) | ≤ c, c, 若 f ( x) > c . 提示 : F( x) = max{ - c, min{ c , f ( x) } } . x - π, x≤0 , 5. 設(shè) f ( x) = sin x , g( x) = x + π, x > 0 . 證明 :復(fù)合函數(shù) f g 在 x = 0 連續(xù) , 但 g 在 x = 0 不連續(xù) . 6. 設(shè) f 在[ a , + ∞) 上連續(xù) , 且 lim x→ + ∞ [ a , + ∞) 上必有最大值或最小值嗎 ? f ( x ) 存 在 .證明 : f 在 [ a , + ∞ ) 上 有界 .又 問 f 在 7. 若對任何充分小的 ε> 0 , f 在 [ a + ε, b - ε] 上連續(xù) , 能否由此推出 f 在 ( a , b) 內(nèi)連續(xù) . 8. 求極限 : 2 ( 1) lim (π- x ) tan x ; (2 ) lim x 1 + 2 x - x - 1 . x → π 4 x→ 1 + x + 1 9. 證明: 若 f 在 [ a , b]上連續(xù) , 且對 任何 x ∈ [ a , b] , f ( x ) ≠0 , 則 f 在 [ a , b] 上 恒正 或 恒負 . 10. 證明 :任一實系數(shù)奇次方程至少有一個實根 . 11. 試用一致連續(xù)的定義證明 : 若 f , g 都在 區(qū)間 I 上一 致連 續(xù) , 則 f + g 也 在 I 上一 致 連續(xù) . 12. 證明 f ( x) = x 在 [0 , + ∞ )上一致連續(xù) . 提示 : [0 , + ∞ ) = [0 , 1] ∪ [1 , + ∞ ) , 利用定理 4.9 和例 10 的結(jié)論 . 13. 證明 : f ( x) = x2 在 [ a , b] 上一致連續(xù) , 但在 ( - ∞ , + ∞ ) 上不一致連續(xù) . 14. 設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間 I 上滿足利普希 茨 ( Lipschitz) 條件 , 即存 在常數(shù) L > 0 , 使得 對 I 上 任意兩點 x′, x″都有 | f ( x′) - f ( x″) | ≤ L | x′- x″| . 證明 f 在 I 上一致連續(xù) . 15. 證明 sin x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上一致連續(xù) . 提示 : 利用不等式 | sin x′- sin x″| ≤ | x′- x″| ( 見第三章1 例 4) . 82 第四章 函數(shù)的連續(xù)性 16. 設(shè)函數(shù) f 滿足第 6 題的條件 .證明 f 在[ a , + ∞ ) 上一致連續(xù) . 17. 設(shè)函數(shù) f 在 [0 , 2 a]上連續(xù) , 且 f (0 ) = f (2 a) .證 明 :存在 點 x0 ∈ [0 , a] , 使 得 f ( x0 ) = f ( x0 + a) . 18. 設(shè) f 為 [ a , b]上的增函數(shù) , 其值域為 [ f ( a) , f ( b) ] .證明 f 在[ a , b] 上連續(xù) . 19. 設(shè) f 在 [ a , b]上連續(xù) , x1 , x2 , , xn ∈ [ a , b] .證明 :存在 ξ∈ [ a , b] , 使得 f (ξ) = 1 [ f ( x ) + f ( x ) + + f ( x  ) ] . n 1 2 n 20. 證明 f ( x) = cos x 在 [0 , + ∞ )上一致連續(xù) . 提示 : [0 , + ∞ ) = [0 , 1] ∪ [1 , + ∞ ) .在[ 1 , + ∞) 上成立不等式 cos x′- cos x″ ≤ x′- x″ ≤ x′- x″ . 3 初等函數(shù)的連續(xù)性 從前面兩節(jié)知道 , 在基本初等函 數(shù)中 , 三 角函 數(shù)、反三角 函數(shù) 以及有 理指 數(shù) 冪函數(shù)都是其定義域上的連續(xù)函數(shù) .本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與實指數(shù)冪 函數(shù)的連續(xù)性 , 以及初等函數(shù)的連續(xù)性 . 一 指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性 在第一章中 , 我們已定義了實指數(shù)的乘冪 , 并證明了指數(shù)函數(shù) y = ax ( 0 < a ≠1) 在R 上是 嚴格單 調(diào)的 .下面先 把關(guān)于有 理指數(shù) 冪的一個 重要性質(zhì) 推廣到 實 指數(shù)冪 , 然后證明指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性 . 定理 4.10 設(shè) a > 0 , α, β為任意實數(shù) , 則有 α β α+ β α β αβ a a = a , ( a ) = a . 證 不妨設(shè) a > 1 , 則 ax 由第一章3 (6 ) 式所定義 , 即 ax = sup r < x ar r 為有理數(shù) . α β 任給 ε> 0 , 設(shè) r , s 為兩個有理數(shù) , 且 r < α, s < β, 使得 由 ax 的嚴格增性得 a - ε < ar , a - ε < as . 又有 aras = ar + s , 故得 ar + s < aα+ β . α β α+ β 由 ε的任意性推出 ( a - ε) ( a - ε) < a . α β α+ β a a ≤ a . 為證相反的不等式 , 設(shè) p 為有理數(shù) , 且 p < α+ β, 使得 aα+ β - ε < ap . 再取有理數(shù) r , s 使 r < α, s < β以及 p < r + s , 則有 3 初等函數(shù)的連續(xù)性 83 故得到 ap < ar + s = ar as < aα aβ, aα+ β - ε < aα aβ . 由 ε的任意性推出 aα + β≤ aαaβ .所以有 aαaβ = aα + β . 后一等式的證明留給讀者 . □ 定理 4.11 指數(shù)函數(shù) ax ( a > 0 ) 在 R 上是連續(xù)的 . 證 先設(shè) a > 1 .由第三章 2 例 4 知 lim ax = 1 = a0 , x → 0 0 這表明 ax 在 x = 0 連續(xù) .現(xiàn)任取 x ∈R .由定理 4.10 得 ax = ax0 + ( x - x0 ) = ax 0 ax - x0 . 令 t = x - x0 , 則當(dāng) x→ x0 時有 t→0 , 從而有 lim x → x 0 ax = lim x → x 0 ax0 ax - x 0 = ax0 lim t→ 0 at = ax 0 . 0 這就證明了 ax 在任一點 x 連續(xù) . 當(dāng) 0 < a < 1 時 , 令 b