《高中數(shù)學精講精練新人教A版第03章 三角函數(shù)B》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學精講精練新人教A版第03章 三角函數(shù)B（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2013高中數(shù)學精講精練 第三章 三角函數(shù)B 第5課 三角函數(shù)的圖像和性質（一） 【考點導讀】 1.能畫出正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖像，借助圖像理解正弦函數(shù)，余弦函數(shù)在，正切函數(shù)在上的性質； 2.了解函數(shù)的實際意義，能畫出的圖像； 3.了解函數(shù)的周期性，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型． 【基礎練習】 1. 已知簡諧運動的圖象經(jīng)過點(0，1)，則該簡諧運動的最小正周期_____6____；初相__________． 2. 三角方程2sin(－x)=1的解集為_______________________． 3. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則

2、函數(shù)表達式為 ______________________． 第3題 4. 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移__________個單位． 【范例解析】 例1.已知函數(shù)． （Ⅰ）用五點法畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，長度為一個周期； （Ⅱ）說明的圖像可由的圖像經(jīng)過怎樣變換而得到． 分析：化為形式． 解：（I）由 ． 列表，取點，描圖： 1 1 1 故函數(shù)在區(qū)間上的圖象是： （Ⅱ）解法一：把圖像上所有點向右平移個單位，得到的圖像，再把的圖像上所有

3、點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖像，然后把的圖像上所有點縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變），得到的圖像，再將的圖像上所有點向上平移1個單位，即得到的圖像． 解法二：把圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖像，再把圖像上所有點向右平移個單位，得到的圖像，然后把的圖像上所有點縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變），得到的圖像，再將的圖像上所有點向上平移1個單位，即得到的圖像． 例2.已知正弦函數(shù)的圖像如右圖所示． （1）求此函數(shù)的解析式； （2）求與圖像關于直線對稱的曲線的解析式； （3）作出函數(shù)的圖像的簡圖． －2 2 x=8 x y O

4、 分析：識別圖像，抓住關鍵點． 解：（1）由圖知，，，，即． 將，代入，得，解得，即． （2）設函數(shù)圖像上任一點為，與它關于直線對稱的對稱點為， 得解得代入中，得． 2 4 x y O －4 12 （3），簡圖如圖所示． 點評：由圖像求解析式，比較容易求解，困難的是待定系數(shù)求和，通常利用周期確定，代入最高點或最低點求． 【反饋演練】 1．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)，的圖像上所有的點 ①向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）； ②向右平移個單位長度，再

5、把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）； ③向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）； ④向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）． 其中，正確的序號有_____③______． 2．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移____個單位長度． 3．若函數(shù)，（其中，）的最小正周期是，且，則__2____；__________． 4．在內，使成立的取值范圍為____________________． 5．下列函數(shù)： 第5題 ①； ②； ③； ④． 其中

6、函數(shù)圖象的一部分如右圖所示的序號有_____④_____． 6．如圖，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù) （1）求這段時間的最大溫差； （2）寫出這段時間的函數(shù)解析式． 解：（1）由圖示，這段時間的最大溫差是℃ 第6題 （2）圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)的半個周期 ∴，解得 由圖示，　　 這時， 將代入上式，可取 綜上，所求的解析式為（） 7．如圖，函數(shù)的圖象與軸相交于點，且該函數(shù)的最小正周期為． （1）求和的值； A 第7題 （2）已知點，點是該函數(shù)圖象上一點，點是的中點， 當，時，求的值． 解：（1）將，代入函

7、數(shù)得， 因為，所以． 又因為該函數(shù)的最小正周期為，所以， 因此． （2）因為點，是的中點，， 所以點的坐標為． 又因為點在的圖象上，所以． 因為，所以， 從而得或． 即或． 第6課 三角函數(shù)的圖像和性質（二） 【考點導讀】 1.理解三角函數(shù)，，的性質，進一步學會研究形如函數(shù)的性質； 2.在解題中體現(xiàn)化歸的數(shù)學思想方法，利用三角恒等變形轉化為一個角的三角函數(shù)來研究． 【基礎練習】 1.寫出下列函數(shù)的定義域： （1）的定義域是___________________________

8、___； （2）的定義域是____________________． 2．函數(shù)f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________． （，0） 3．函數(shù) 的最小正周期是_______． 4. 函數(shù)y=sin(2x+)的圖象關于點_______________對稱． 5. 已知函數(shù) 在（－，）內是減函數(shù)，則的取值范圍是______________． 【范例解析】 例1.求下列函數(shù)的定義域： （1）；（2）． 解：（1）即， 故函數(shù)的定義域為且 （2）即 故函數(shù)的定義域為． 點評：由幾個函數(shù)的和構成的函數(shù)，其定義域是每一個

9、函數(shù)定義域的交集；第（2）問可用數(shù)軸取交集． 例2．求下列函數(shù)的單調減區(qū)間： （1）； （2）； 解：（1）因為，故原函數(shù)的單調減區(qū)間為． （2）由，得， 又， 所以該函數(shù)遞減區(qū)間為，即． 點評：利用復合函數(shù)求單調區(qū)間應注意定義域的限制． 例3．求下列函數(shù)的最小正周期： （1）；（2） ． 解：（1）由函數(shù)的最小正周期為，得的周期． （2） ． 點評：求三角函數(shù)的周期一般有兩種：（1）化為的形式特征，利用公式求解；（2）利用函數(shù)圖像特征求解． 【反饋演練】 1．函數(shù)的最小正周期為 __

10、___________． ， 2．設函數(shù)，則在上的單調遞減區(qū)間為___________________． 3．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是________________． 4．設函數(shù)，則的最小正周期為_______________． 5．函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間是_______________． 6．已知函數(shù)． （Ⅰ）求的定義域； （Ⅱ）若角在第一象限且，求． 解：（Ⅰ） 由得，即． 故的定義域為． （Ⅱ）由已知條件得． 從而 ． 7． 設函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函數(shù)的單調增區(qū)間； （Ⅲ）畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像 解：（Ⅰ

11、）的圖像的對稱軸， （Ⅱ）由（Ⅰ）知 由題意得 所以函數(shù) （Ⅲ）由 x 0 y －1 0 1 0 故函數(shù) 第7課 三角函數(shù)的值域與最值 【考點導讀】 1.掌握三角函數(shù)的值域與最值的求法，能運用三角函數(shù)最值解決實際問題； 2.求三角函數(shù)值域與最值的常用方法：（1）化為一個角的同名三角函數(shù)形式，利用函數(shù)的有界性或單調性求解；（2）化為一個角的同名三角函數(shù)形式的一元二次式，利用配方法或圖像法求解；（3）借助直線的斜率的關系用數(shù)形結合求解；（4）換元法． 【基礎練習】 1.函數(shù)在區(qū)間上的最小值

12、為 1 ． 2.函數(shù)的最大值等于 ． 3.函數(shù)且的值域是___________________． 4.當時，函數(shù)的最小值為 4 ． 【范例解析】 例1.（1）已知，求的最大值與最小值． （2）求函數(shù)的最大值． 分析：可化為二次函數(shù)求最值問題． 解：（1）由已知得：，，則． ，當時，有最小值；當時，有最小值． （2）設，則，則，當時，有最大值為． 點評：第（1）小題利用消元法，第（2）小題利用換元法最終都轉化為二次函數(shù)求最值問題；但要注意變量的取值范圍． 例2.求函數(shù)的最小值． 分析：利用函數(shù)的有界性求解． 解法一

13、：原式可化為，得，即， 故，解得或（舍），所以的最小值為． 解法二：表示的是點與連線的斜率，其中點B在左半圓上，由圖像知，當AB與半圓相切時，最小，此時，所以的最小值為． 點評：解法一利用三角函數(shù)的有界性求解；解法二從結構出發(fā)利用斜率公式，結合圖像求解． 例3.已知函數(shù)，． （I）求的最大值和最小值； （II）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 分析：觀察角，單角二次型，降次整理為形式． 解：（Ⅰ） ． 又，，即， ． （Ⅱ），， 且， ，即的取值范圍是． 點評：第（Ⅱ）問屬于恒成立問題，可以先去絕對值，利用參數(shù)分離轉化為求最值問題．本小題主要考查三角函

14、數(shù)和不等式的基本知識，以及運用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質解題的能力． 【反饋演練】 1．函數(shù)的最小值等于____－1_______． 2．當時，函數(shù)的最小值是______4 _______． 3．函數(shù)的最大值為_______，最小值為________. 4．函數(shù)的值域為 . 5．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值等于_________． 6．已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值． 解：（Ⅰ）． 因此，函數(shù)的最小正周期為． （Ⅱ）因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，，， 故

15、函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為． 第８課 解三角形 【考點導讀】 1.掌握正弦定理，余弦定理，并能運用正弦定理，余弦定理解斜三角形； 2.解三角形的基本途徑：根據(jù)所給條件靈活運用正弦定理或余弦定理，然后通過化邊為角或化角為邊，實施邊和角互化． 【基礎練習】 1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝　　　　. 2．在中，若，則的大小是______________. 3．在中，若，，，則 ． 【范例解析】 例1. 在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，已知，，． （

16、1）求的值；（2）求的值． 分析：利用轉化為邊的關系． 解：（1）由． （2）由得．由余弦定理 得： ，解得：或， 若，則，得，即矛盾，故． 點評：在解三角形時，應注意多解的情況，往往要分類討論． 例2.在三角形ABC中，已知，試判斷該三角形的形狀． 解法一：(邊化角)由已知得：， 化簡得， 由正弦定理得：，即， 又，，． 又，或，即該三角形為等腰三角形或直角三角形． 解法二：(角化邊)同解法一得：， 由正余弦定理得：， 整理得：，即或， 即該三角形為等腰三角形或直角三角形． 點評：判斷三角形形狀主要利用正弦或余弦定理進行邊角互化，從而利用角或邊判定三角形形狀

17、． B D C α β A 例4 例3.如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點，AB=AD，記∠CAD=，∠ABC=. （1）證明：； （2）若AC=DC，求． 分析：識別圖中角之間的關系，從而建立等量關系. （1）證明：，，， （2）解：AC=DC，. ，，. 點評：本題重點是從圖中尋找到角之間的等量關系，從而建立三角函數(shù)關系，進而求出的值. 【反饋演練】 1．在中，則BC =_____________． 2．的內角∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且，則_____． 3．在中，若，，則的形狀是____等邊

18、___三角形． 4．若的內角滿足，則= ． 5．在中，已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理， ．所以． （Ⅱ）因為，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是 ， ， ． ． 6．在中，已知內角，邊．設內角，周長為． （1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值． 解：（1）的內角和，由得． 應用正弦定理，知， ． 因為， 所以， （2）因為 ， 所以，當，即時，取得最大值． 7．在中，，． （Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤糇畲筮叺倪呴L為，求最小邊的邊長． 解：（Ⅰ），． 又，．

19、 （Ⅱ），邊最大，即． 又，角最小，邊為最小邊． 由且， 得．由得：． 所以，最小邊． 第9課 解三角形的應用 【考點導讀】 1.運用正余弦定理等知識與方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題． 2.綜合運用三角函數(shù)各種知識和方法解決有關問題，深化對三角公式和基礎知識的理解，進一步提高三角變換的能力． 【基礎練習】 1．在200高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為_________． 2或 2．某人朝正東方向走x km后，向右轉150°，然后

20、朝新方向走3km，結果他離出發(fā)點恰好km，那么x的值為_______________ km． 3．一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東，這時船與燈塔的距離為 km． A B C D 第4題 4．如圖，我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設于B，D，已知為邊長等于的正三角形，當目標出現(xiàn)于C時，測得，，求炮擊目標的距離 解：在中，由正弦定理得： ∴ 在中，由余弦定理得： ∴ 答：線段的長為． 【范例解析】 北 乙 甲 例1（1） 例 .如圖，甲船以每

21、小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當甲船航行分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？ 分析：讀懂題意，正確構造三角形，結合正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如圖(2)，連結，由已知， 北 甲 乙 例1（2） ，， 又，是等邊三角形， ， 由已知，，， 在中，由余弦定理， ． 北 乙 甲 例1（3） ．因此，乙船的速度的大小為（海里/小時）． 答：乙船每小時航行海

22、里． 解法二：如圖（3），連結， 由已知，，， ， ． 在中，由余弦定理， ． ． 由正弦定理， ，即，． 在中，由已知，由余弦定理， ． ，乙船的速度的大小為（海里/小時）． 答：乙船每小時航行海里． 點評：解法二也是構造三角形的一種方法，但計算量大，通過比較二種方法，學生要善于利用條件簡化解題過程． 【反饋演練】 1．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為和，而且兩條船與炮臺底部連線成角，則兩條船相距____________m． 2．有一長為1km的斜坡，它的傾斜角為，現(xiàn)要將傾斜角改為，則坡底要伸長____1___k

23、m． 3．某船上的人開始看見燈塔在南偏東方向，后來船沿南偏東方向航行45海里后，看見燈塔在正西方向，則此時船與燈塔的距離是__________海里． 4．把一根長為30cm的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形的兩邊和，且，則第三條邊的最小值是____________cm． 5．設是某港口水的深度y（米）關于時間t（時）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天 從0時至24時記錄的時間t與水深y的關系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.下面的函數(shù)中, 最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應關系的函數(shù)是 （ A ） A． B． C． D．