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專題六三角形 三角形是中考必考的內容 關于三角形的邊 角和 三線 是中考命題的熱點 既可以出現在小題中 也可以融入大題中 是研究幾何綜合題的基礎 所以三角形的基本性質必須熟練掌握 全等三角形判定與性質 相似三角形的判定與性質 等腰 邊 三角形的判定與性質是中考命題的熱點 既可以出現在簡單的解答題中 也可以與特殊四邊形 圓和函數形成綜合題 以三角形為背景的應用題也是中考必考內容 一般考查解直角三角形和勾股定理的應用居多 與三角形有關的邊角計算例1 2015年遼寧丹東 如圖Z6 1 在 ABC中 AB AC A 30 E為BC延長線上一點 ABC與 ACE的平分線 相交于點D 則 D的度數為 圖Z6 1 A 15 B 17 5 C 20 D 22 5 解析 ABC的平分線與 ACE的平分線交于點D 1 2 3 4 ACE A ABC 即 1 2 3 4 A 2 1 2 3 A 答案 A 解題技巧 利用三角形的內角和外角性質求角的度數時 注意找準所需要的每一個角 可以用數字標明所需要的角 全等 相似和等腰三角形的證明與性質例2 2015年廣東珠海已知 ABC AB AC 將 ABC沿BC方向平移得到 DEF 1 如圖Z6 2 連接BD AF 則BD AF 填 或 2 如圖Z6 3 M為AB邊上一點 過M作BC的平行線MN分別交邊AC DE DF于點G H N 連接BH GF 求證 BH GF 圖Z6 2 圖Z6 3 思路分析 1 根據等腰三角形的性質 可得 ABC與 ACB的關系 根據平移的性質 可得AC與DF的關系 根據全等三角形的判定與性質 可得答案 2 根據相似三角形的判定與性質 可得GM與HN的關系 BM與FN的關系 根據全等三角形的判定與性質 可得答案 1 解 由AB AC 得 ABC ACB 由 ABC沿BC方向平移得到 DEF 得DF AC DFE ACB 在 ABF和 DFB中 ABF DFB SAS 即BD AF 故答案為BD AF 解題技巧 判定兩個三角形全等或相似時 注意找準對應 邊和對應角 根據已知條件選擇合適的判定方法 與三角形有關的綜合題例3 2015年山東淄博 如圖Z6 4 ABC是等腰直角三角形 C 90 點D是AB的中點 點P是AB上的一個動點 點P與點A B不重合 矩形PECF的頂點E F分別在BC AC上 1 探究DE與DF的關系 并給出證明 2 當點P滿足什么條件時 線段EF的 長最短 直接給出結論 不必說明理由 圖Z6 4 思路分析 1 連接CD 首先根據 ABC是等腰直角三角形 C 90 點D是AB的中點得到CD AD CD AD 然后根據四邊形PECF是矩形得到 APE是等腰直角三角形 從而得到 DCE DAF 證得DE DF DE DF 而得到當DE和DF同時最短時 EF最短得到此時點P與點D重合線段EF最短 解 1 DE DF DE DF 證明如下 連接CD ABC是等腰直角三角形 C 90 點D是AB的 中點 CD AD CD AD 四邊形PECF是矩形 CE FP FP CB APF是等腰直角三角形 AF PF EC DCE A 45 DCE DAF DE DF ADF CDE CDA 90 EDF 90 DE DF DE DF 2 DE DF DE DF 當DE和DF同時最短時 EF最短 當DF AC DE AB時 二者最短 此時點P與點D重合 點P與點D重合時 線段EF最短 名師點評 與三角形相關的綜合題一般與四邊形 圓或函數緊密相連 運用旋轉 對稱等圖形變化方式加以對問題的進一步探究是常見的命題方式 解決此類題型一般離不開三角形的基本性質 解直角三角形與勾股定理的應用 例4 2015年廣東深圳 如圖Z6 5 小麗為了測旗桿AB的高度 小麗眼睛距地面1 5米 小麗站在C點 測出旗桿A的仰角為30 小麗向前走了10米到達點E 此時的仰角為60 求旗桿的高度 圖Z6 5 思路分析 根據三角形外角的性質求得 DAF 30 得出AF DF 10 在Rt FGA中 根據正弦函數求出AG的長 加上BG的長即為旗桿高度 解 ADG 30 AFG 60 DAF 30 AF DF 10 在Rt FGA中 名師點評 解直角三角形是中考必考內容 以生活實例為背景 利用三角函數求高度 寬度或長度是最常見的題型 根據已知條件選擇合適的三角函數求邊長是解題的關鍵 稍復雜的應用題常常運用方程的思想解決實際問題