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專題七四邊形 在近幾年中考中 涌現(xiàn)了大量四邊形為素材或背景或有關四邊形的性質(zhì)及判定 或借助一定的圖形變換 折疊 平移 旋轉 剪拼等 與動態(tài)操作 醞釀與構建相關圖形的某種狀態(tài)與結論 進行相關計算 作圖 證明或探究 這對于培養(yǎng)與訓練學生的空間觀念 動手操作 合情推理和探究能力等具有重要的作用 解決這類問題的關鍵應把握三角形 四邊形的性質(zhì)與特征 加強相關圖形之間的聯(lián)系 利用所給圖形及圖形之間形狀 大小 位置關系 進行觀察 實驗 比較 聯(lián)想 類比 分析 綜合 從動態(tài) 變換操作的角度 運用分類討論思想分析與解決有關兩個三角形 全等或相似 特殊三角形 特殊四邊形的問題 進一步體會三角形與四邊形之間相互轉化 相互依存的內(nèi)在關系 從而提高學數(shù)學 用數(shù)學的能力與素養(yǎng) 在解決此類問題時要注意 平移 對稱 旋轉等只是改變了圖形的位置 而沒改變圖形的形狀與大小 平四邊形的判定與性質(zhì)例1 2015年江蘇揚州 如圖Z7 1 將ABCD沿過點A的直線l折疊 使點D落到AB邊上的點D 處 折痕l交CD邊于點E 連接BE 1 求證 四邊形BCED 是平行四邊形 2 若BE平分 ABC 求證 AB2 AE2 BE2 圖Z7 1 思路分析 1 利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出 DAE EAD DEA D EA 進而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形DAD E是平行四邊形 進而求出四邊形BCED 是平行四邊形 2 利用平行線的性質(zhì)結合勾股定理得出答案 證明 1 將ABCD沿過點A的直線l折疊 使點D落 到AB邊上的點D 處 DAE D AE DEA D EA D AD E DE AD DEA EAD DAE EAD DEA D EA DAD DED 四邊形DAD E是平行四邊形 DE AD 四邊形ABCD是平行四邊形 AB DC AB DC CE D B CE D B 四邊形BCED 是平行四邊形 2 BE平分 ABC CBE EBA AD BC DAB CBA 180 DAE BAE EAB EBA 90 AEB 90 AB2 AE2 BE2 解題技巧 本題主要考查平行四邊形的判定 性質(zhì)和翻折的性質(zhì) 若將某個圖形折疊 則重合的圖形關于折痕對稱 因此對應邊和對應角相等 此性質(zhì)是解決本題的關鍵 特殊四邊形的判定與性質(zhì)例2 2015年甘肅酒泉 如圖Z7 2 平行四邊形ABCD中 AB 3cm BC 5cm B 60 G是CD的中點 E是邊AD上的動點 EG的延長線與BC的延長線交于點F 連接CE DF 1 求證 四邊形CEDF是平行四邊形 圖Z7 2 2 當AE cm時 四邊形CEDF是矩形 當AE cm時 四邊形CEDF是菱形 直接寫出答案 不需要說明理由 思路分析 1 證 CFG EDG 推出FG EG 根據(jù)平 行四邊形的判定推出即可 2 求出 MBA EDC 推出 CED AMB 90 根據(jù)矩形的判定推出即可 求出 CDE是等邊三角形 推出CE DE 根據(jù)菱形的 判定推出即可 證明 1 四邊形ABCD是平行四邊形 CF ED FCG EDG G是CD的中點 CG DG 在 FCG和 EDG中 FCG EDG ASA FG EG CG DG 四邊形CEDF是平行四邊形 2 解 當AE 3 5時 平行四邊形CEDF是矩形 理由是 過A作AM BC于M 如圖Z7 3 圖Z7 3 B 60 AB 3 BM 1 5 四邊形ABCD是平行四邊形 CDA B 60 DC AB 3 BC AD 5 AE 3 5 DE 1 5 BM 在 MBA和 EDC中 MBA EDC SAS CED AMB 90 四邊形CEDF是平行四邊形 四邊形CEDF是矩形 故答案為3 5 當AE 2時 四邊形CEDF是菱形 理由是 AD 5 AE 2 DE 3 CD 3 CDE 60 CDE是等邊三角形 CE DE 四邊形CEDF是平行四邊形 四邊形CEDF是菱形 故答案為2 名師點評 本題考查了特殊平行四邊形的判定 注意平行四邊形與特殊平行四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系 分別要從四邊形的角 邊和對角線來理解它們的判定與性質(zhì) 四邊形綜合題 例3 2015年四川甘孜 已知E F分別為正方形ABCD的邊BC CD上的點 AF DE相交于點G 當E F分別為邊BC CD的中點時 有 AF DE AF DE成立 試探究下列問題 1 如圖Z7 4 若點E不是邊BC的中點 F不是邊CD的中點 且CE DF 上述結論 是否仍然成立 請直接回答 成立 或 不成立 不需要證明 2 如圖Z7 5 若點E F分別在CB的延長線和DC的延長線上 且CE DF 此時 上述結論 是否仍然成立 若成立 請寫出證明過程 若不成立 請說明理由 3 如圖Z7 6 在 2 的基礎上 連接AE和EF 若點M N P Q分別為AE EF FD AD的中點 請判斷四邊形MNPQ是 矩形 菱形 正方形 中的哪一種 并證明你的結論 圖Z7 4 圖Z7 5 圖Z7 6 思路分析 1 由四邊形ABCD為正方形 CE DF 易證得 ADF DCE SAS 即可證得AF DE DAF CDE 又由 ADG EDC 90 即可證得AF DE 2 由四邊形ABCD為正方形 CE DF 易證得 ADF DCE SAS 即可證得AF DE E F 又由 ADG EDC 90 即可證得AF DE 3 首先設MQ DE分別交AF于點G O PQ交DE于點H 由點M N P Q分別為AE EF FD AD的中點 即 然后由AF DE 可證得四邊形MNPQ是菱形 又由AF DE即可證得四邊形MNPQ是正方形 解 1 上述結論 仍然成立 理由為 四邊形ABCD為正方形 AD DC BCD ADC 90 在 ADF和 DCE中 ADF DCE SAS AF DE DAF CDE ADG EDC 90 ADG DAF 90 AGD 90 即AF DE 2 上述結論 仍然成立 證明 四邊形ABCD為正方形 AD DC BCD ADC 90 在 ADF和 DCE中 ADF DCE SAS AF DE E F ADG EDC 90 ADG DAF 90 AGD 90 即AF DE 3 四邊形MNPQ是正方形 證明 如圖Z7 7 設MQ DE分別 交AF于點G O PQ交DE于點H 圖Z7 7 點M N P Q分別為AE EF FD AD的中點 四邊形OHQG是平行四邊形 AF DE MQ PQ PN MN 四邊形MNPQ是菱形 AF DE AOD 90 HQG AOD 90 四邊形MNPQ是正方形 思想方法 由特殊到一般的思想方法是探究和擴展問題的重要方法 中考命題也常常采用此辦法 從特殊到一般的過程中 往往許多方法和過程不變 只是圖形發(fā)生變化