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專題八圓 圓是平面幾何的重要圖形 也是中考的熱點與必考內容 它綜合直線 多邊形于一體 知識點多 覆蓋面廣 具有極強的綜合性 對學生思維能力要求較高 這類試題通常借助圓的對稱性和旋轉不變性 考查與圓有關的概念 性質 位置關系 尤其是切線的性質與判定 進行相關問題 正多邊形 弧 扇形 圓錐等 的計算 作圖 證明與探究 解決問題的關鍵是在具體情境中 綜合運用所學知識 三角形 四邊形 圓等 借助圓的性質 與圓有關的位置關系等 添加適當?shù)妮o助線構建相等的角 相等的邊 或轉化為直角三角形 或將立體圖形 圓錐 轉化為平面圖形 扇形 進行分析與解決 與圓有關的計算題 例1 2015年江蘇無錫 已知 如圖Z8 1 AB為 O的直徑 點C D在 O上 且BC 6cm AC 8cm ABD 45 1 求BD的長 2 求圖中陰影部分的面積 圖Z8 1 思路分析 1 由AB為 O的直徑 得到 ACB 90 由勾股定理求得OB 5cm 連接OD 得到等腰直角三角形 根據(jù)勾股定理即可得到結論 2 根據(jù)S陰影 S扇形 S OBD即可得到結論 解 1 AB為 O的直徑 ACB 90 BC 6cm AC 8cm AB 10cm OB 5cm 連接OD OD OB ODB ABD 45 BOD 90 解題技巧 計算不規(guī)則圖形面積時 注意運用已知規(guī)則圖形進行拼湊計算 圓的性質與證明題例2 2015年湖北黃岡 已知 如圖Z8 2 在 ABC中 AB AC 以AC為直徑的 O交AB于點M 交BC于點N 連接AN 過點C的切線交AB的延長線于點P 1 求證 BCP BAN 圖Z8 2 思路分析 1 由AC為 O直徑 得到 NAC ACN 90 由AB AC 得到 BAN CAN 根據(jù)PC是 O的切線 得到 ACN PCB 90 于是得到結論 2 由等腰三角形的性質得到 ABC ACB 根據(jù)圓內接四邊形的性質得到 PBC AMN 證出 BPC MNA 即可得到結論 1 證明 AC為 O直徑 ANC 90 NAC ACN 90 AB AC BAN CAN PC是 O的切線 ACP 90 ACN PCB 90 BCP CAN BCP BAN 2 AB AC ABC ACB PBC ABC AMN ACN 180 PBC AMN 由 1 知 BCP BAN BPC MNA 名師點評 本題考查了切線的性質 等腰三角形的性質 圓周角定理 相似三角形的判定和性質 圓內接四邊形的性質 綜合的知識點較多 解此題的關鍵是熟練掌握定理 圓的綜合題 例3 2015年廣西桂林 四邊形ABCD是 O的內接正方形 AB 4 PC PD是 O的兩條切線 C D為切點 1 如圖Z8 3 求 O的半徑 2 如圖Z8 3 若點E是BC的中點 連接PE 求PE的長 度 圖Z8 3 3 如圖Z8 4 若點M是BC邊上任意一點 不含B C 以點M為直角頂點 在BC的上方作 AMN 90 交直線CP于點N 求證 AM MN 圖Z8 4 思路分析 1 利用切線的性質以及正方形的判定與性質得 出 O的半徑即可 2 利用垂徑定理得出OE BC OCE 45 進而利用勾 股定理得出即可 3 在AB上截取BF BM 利用 1 中所求 得出 ECP 135 再利用全等三角形的判定與性質得出即可 解 1 如圖Z8 5 連接OD OC PC PD是 O的兩條切線 C D為切點 ODP OCP 90 四邊形ABCD是 O的內接正方形 DOC 90 OD OC 四邊形DOCP是正方形 AB 4 ODC OCD 45 2 如圖Z8 5 連接EO OP 點E是BC的中點 OE BC OCE 45 則 EOP 90 圖Z8 5 3 證明 如圖Z8 6 在AB上截取BF BM 圖Z8 6 AB BC BF BM AF MC BFM BMF 45 AMN 90 AMF NMC 45 FAM AMF 45 FAM NMC 由 1 得PD PC DPC 90 DCP 45 MCN 135 AFM 180 BFM 135 AFM MCN 在 AFM和 MCN中 AFM CMN ASA AM MN 名師點評 本題主要考查了圓的綜合知識 全等三角形的判定與性質以及正方形的判定與性質等知識 正確作出輔助線得出 MCN 135 是解題關鍵