《2013年考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點 同濟大學(xué)第五版 免費》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013年考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點 同濟大學(xué)第五版 免費（23頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2013年線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點 同濟大學(xué)第五版 免費 概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計算必須準(zhǔn)確 ：全體維實向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間. √ 關(guān)于： ①稱為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量； ②線性無關(guān)； ③； ④； ⑤任意一個維向量都可以用線性表示. 行列式的定義 √ 行列式的計算： ①行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和. 推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. ②若都是方陣（不必同階）,則（拉普拉斯展開式） ③上三角、下

2、三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積. ④關(guān)于副對角線： （即：所有取自不同行不同列的個元素的乘積的代數(shù)和） ⑤范德蒙德行列式： 矩陣的定義 由個數(shù)排成的行列的表稱為矩陣.記作：或 伴隨矩陣 ，為中各個元素的代數(shù)余子式. √ 逆矩陣的求法: ① ： ② ③ √ 方陣的冪的性質(zhì)： √ 設(shè)的列向量為,的列向量為， 則 ，為的解可由線性表示.即：的列向量能由的列向量線性表示，為系數(shù)矩陣. 同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣. 即： √ 用對角矩陣乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元

3、素依次乘此矩陣的向量； 用對角矩陣乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量. √ 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘. √ 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣： 分塊矩陣的逆矩陣： 分塊對角陣相乘：, 分塊對角陣的伴隨矩陣： √ 矩陣方程的解法()：設(shè)法化成 ① 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交. ② 單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān). ③ 部分相關(guān),

4、整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān). （向量個數(shù)變動） ④ 原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān). （向量維數(shù)變動） ⑤ 兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān). ⑥ 向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合. ⑦ 向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示. 向量組線性無關(guān)向量組中每一個向量都不能由其余個向量線性表示. ⑧ 維列向量組線性相關(guān)； 維列向量組線性無關(guān). ⑨ 若線性無關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩. 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行

5、的個數(shù). 行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素非零.當(dāng)非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時，稱為行最簡形矩陣 ? 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系； 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系. 即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩. √ 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系： 對施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘； 對施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘. 矩陣的秩 如果矩陣存在不為零的階子式，且任意

6、階子式均為零，則稱矩陣的秩為.記作 向量組的秩 向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩.記作 矩陣等價 經(jīng)過有限次初等變換化為. 記作： 向量組等價 和可以相互線性表示. 記作： ? 矩陣與等價，可逆作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價. 矩陣與作為向量組等價 矩陣與等價. ? 向量組可由向量組線性表示有解≤. ? 向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān). 向量組線性無關(guān),且可由線性表示,則≤. ? 向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價； ? 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價.向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價. ? 向量組的極大無關(guān)

7、組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一確定. ? 若兩個線性無關(guān)的向量組等價,則它們包含的向量個數(shù)相等. ? 設(shè)是矩陣,若，的行向量線性無關(guān)； 若，的列向量線性無關(guān),即：線性無關(guān). √ 矩陣的秩的性質(zhì)： ①≥ ≤≤ ② ③ ④ ⑤≤ ⑥ 即：可逆矩陣不影響矩陣的秩. ⑦若； 若 ⑧等價標(biāo)準(zhǔn)型. ⑨≤ ≤≤ ⑩ ：

8、 線性方程組的矩陣式 向量式 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)： 矩陣可逆的性質(zhì)： 伴隨矩陣的性質(zhì)： （無條件恒成立） 線性方程組解的性質(zhì)： √ 設(shè)為矩陣,若一定有解， 當(dāng)時,一定不是唯一解,則該向量組線性相關(guān). 是

9、的上限. √ 判斷是的基礎(chǔ)解系的條件： ① 線性無關(guān)； ② 都是的解； ③ . √ 一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一. √ 若是的一個解，是的一個解線性無關(guān) √ 與同解（列向量個數(shù)相同）,則： ① 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等； ② 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； ③ 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. √ 兩個齊次線性線性方程組與同解. √ 兩個非齊次線性方程組與都有解，并且同解. √ 矩陣與的行向量組等價齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）； 矩陣與的列向量組等價（右乘可逆矩陣）.

10、 √ 關(guān)于公共解的三中處理辦法： ① 把(I)與(II)聯(lián)立起來求解； ② 通過(I)與(II)各自的通解，找出公共解； 當(dāng)(I)與(II)都是齊次線性方程組時，設(shè)是(I)的基礎(chǔ)解系, 是(II)的基礎(chǔ)解系，則 (I)與(II)有公共解基礎(chǔ)解系個數(shù)少的通解可由另一個方程組的基礎(chǔ)解系線性表示. 即： 當(dāng)(I)與(II)都是非齊次線性方程組時，設(shè)是(I)的通解，是(II)的通解，兩方程組有公共解可由線性表示. 即： ③ 設(shè)(I)的通解已知，把該通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿足(II)的關(guān)系式而求出公共解。 標(biāo)準(zhǔn)正交基 個維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個向量

11、長度為1. 向量與的內(nèi)積 . 記為： 向量的長度 是單位向量 . 即長度為的向量. √ 內(nèi)積的性質(zhì)： ① 正定性： ② 對稱性： ③ 雙線性： 的特征矩陣 . 的特征多項式 . √ 是矩陣的特征多項式 的特征方程 . √ ，稱為矩陣的跡. √ 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素. √ 若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無關(guān)的特征向量. √ 一定可分解為=、,從而的特征值

12、為：, . 為各行的公比，為各列的公比. √ 若的全部特征值，是多項式,則: ① 若滿足的任何一個特征值必滿足 ②的全部特征值為；. √ 初等矩陣的性質(zhì)： √ 設(shè)，對階矩陣規(guī)定：為的一個多項式. √ √ √ 的特征向量不一定是的特征向量. √ 與有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 與相似 （為可逆矩陣） 記為： 與正交相似 （為正交矩陣） 可以相似對角化 與對角陣相似. 記為： （稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)形） √ 可相似對角化 為的重數(shù)恰有個線性無關(guān)的

13、特征向量. 這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值.設(shè)為對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有： . ：當(dāng)為的重的特征值時，可相似對角化的重數(shù) 基礎(chǔ)解系的個數(shù). √ 若階矩陣有個互異的特征值可相似對角化. √ 若可相似對角化,則其非零特征值的個數(shù)（重根重復(fù)計算）. √ 若=， √ 相似矩陣的性質(zhì)： ①,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量. ② ③ 從而同時可逆或不可逆 ④ ⑤； （若均可逆）； ⑥ （為整數(shù)）；， ⑦ 前四個都是必要條件.

14、 √ 數(shù)量矩陣只與自己相似. √ 實對稱矩陣的性質(zhì)： ① 特征值全是實數(shù),特征向量是實向量； ② 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交； ：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； ③一定有個線性無關(guān)的特征向量. 若有重的特征值,該特征值的重數(shù)=； ④必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； ⑤與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； ⑥兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值. 正交矩陣 √ 為正交矩陣的個行（列）向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. √ 正交矩陣的性質(zhì)：① ； ② ； ③ 正交陣的行列式等于1或-1；

15、 ④ 是正交陣,則，也是正交陣； ⑤ 兩個正交陣之積仍是正交陣； ⑥ 的行（列）向量都是單位正交向量組. 二次型 ，即為對稱矩陣， 與合同 . 記作： （） 正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項項數(shù) 負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項項數(shù) 符號差 (為二次型的秩) √ 兩個矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. √ 兩個矩陣合同的充分條件是： √ 兩個矩陣合同的必要條件是： √ 經(jīng)過化為標(biāo)準(zhǔn)形. √ 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的,與所作的正交變換有關(guān),但非零系數(shù)的個數(shù)是由 唯一確定的. √ 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)為-1或0或1時,

16、稱為二次型的規(guī)范形 . √ 實對稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個數(shù). √ 慣性定理：任一實對稱矩陣與唯一對角陣合同. √ 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形: ① 求出的特征值、特征向量； ② 對個特征向量正交規(guī)范化； ③ 構(gòu)造（正交矩陣）,作變換,則新的二次型為,的主對角上的元素即為的特征值. 施密特正交規(guī)范化 線性無關(guān), 單位化： 技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量

17、代入方程，確定其自由變量. 例如：取，. 正定二次型 不全為零，. 正定矩陣 正定二次型對應(yīng)的矩陣. √ 為正定二次型（之一成立）： ① ，； ② 的特征值全大于； ③ 的正慣性指數(shù)為； ④ 的所有順序主子式全大于； ⑤ 與合同，即存在可逆矩陣使得； ⑥ 存在可逆矩陣，使得； ⑦ 存在正交矩陣，使得 （大于）. √ 合同變換不改變二次型的正定性. √ 為正定矩陣 ； . √ 為正定矩陣也是正定矩陣. √ 與合同，若為正定矩陣為正定矩陣 √ 為正定矩陣為正定矩陣，但不一定為正定矩陣. 行列式中出現(xiàn)的公式和要熟記的結(jié)論 1、行列

18、式 1. 行列式共有個元素，展開后有項，可分解為行列式； 2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)： ①、和的大小無關(guān)； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0； ③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為； 3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系： 4. 設(shè)行列式： 將上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為，則； 將順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，所得行列式為，則； 將主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為，則； 將主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為，則； 5. 行列式的重要公式： ①、主對角行列式：主對角元素的乘積； ②、副對角行列式：副對角元素的乘積； ③、上、下三角行列式（）：

19、主對角元素的乘積； ④、和：副對角元素的乘積； ⑤、拉普拉斯展開式：、 ⑥、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積； ⑦、特征值； 6. 對于階行列式，恒有：，其中為階主子式； 7. 證明的方法： ①、； ②、反證法； ③、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解； ④、利用秩，證明； ⑤、證明0是其特征值； 2、矩陣 1. 是階可逆矩陣： （是非奇異矩陣）； （是滿秩矩陣） 的行（列）向量組線性無關(guān)； 齊次方程組有非零解； ，總有唯一解； 與等價； 可表示成若干個初等矩陣的乘積； 的特征值全不為0； 是正定矩陣； 的行（列）向量組是的一組基； 是中某兩組基

20、的過渡矩陣； 2. 對于階矩陣： 無條件恒成立； 3. 4. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和； 5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆： 若，則： Ⅰ、； Ⅱ、； ②、；（主對角分塊） ③、；（副對角分塊） ④、；（拉普拉斯） ⑤、；（拉普拉斯） 3、矩陣的初等變換與線性方程組 1. 一個矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：； 等價類：所有與等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣； 對于同型矩陣、，若； 2. 行最簡形矩陣： ①、只能通過初等行變換獲得； ②、每行首個非0

21、元素必須為1； ③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0； 3. 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換） 若，則可逆，且； ②、對矩陣做初等行變化，當(dāng)變?yōu)闀r，就變成，即：； ③、求解線形方程組：對于個未知數(shù)個方程，如果，則可逆，且； 4. 初等矩陣和對角矩陣的概念： ①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣； ②、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； ③、對調(diào)兩行或兩列，符號，且，例如：； ④、倍乘某行或某列，符號，且，例如：； ⑤、倍加某行或某列，符號,且，如：； 5. 矩陣秩的基本性質(zhì)：

22、 ①、； ②、； ③、若，則； ④、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩） ⑤、；（※） ⑥、；（※） ⑦、；（※） ⑧、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（※） Ⅰ、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）； Ⅱ、 ⑨、若、均為階方陣，則； 6. 三種特殊矩陣的方冪： ①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律； ②、型如的矩陣：利用二項展開式； 二項展開式：； 注：Ⅰ、展開后有項； Ⅱ、 Ⅲ、組合的性質(zhì)：； ③、利用特征值和相似對角化： 7. 伴隨矩陣： ①、伴隨矩陣的秩：； ②、伴隨矩陣的特征值：；

23、 ③、、 8. 關(guān)于矩陣秩的描述： ①、，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話） ②、，中有階子式全部為0； ③、，中有階子式不為0； 9. 線性方程組：，其中為矩陣，則： ①、與方程的個數(shù)相同，即方程組有個方程； ②、與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組為元方程； 10. 線性方程組的求解： ①、對增廣矩陣進行初等行變換（只能使用初等行變換）； ②、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解； ③、特解：自由變量賦初值后求得； 11. 由個未知數(shù)個方程的方程組構(gòu)成元線性方程： ①、； ②、（向量方程，為矩陣，個方程，個未知數(shù)） ③、（全部按列分塊，其中）； ④、（線性表出

24、） ⑤、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)） 4、向量組的線性相關(guān)性 1. 個維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣； 個維行向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣； 含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)； 2. ①、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) 有、無非零解；（齊次線性方程組） ②、向量的線性表出 是否有解；（線性方程組） ③、向量組的相互線性表示 是否有解；（矩陣方程） 3. 矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14) 4. ；(例15) 5. 維向量線性相關(guān)的幾何意義： ①、線性相關(guān) ； ②、線性相關(guān) 坐標(biāo)成比例或共線（平行）； ③、線性相關(guān) 共

25、面； 6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理： 若線性相關(guān)，則必線性相關(guān)； 若線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶） 若維向量組的每個向量上添上個分量，構(gòu)成維向量組： 若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減） 簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定； 7. 向量組（個數(shù)為）能由向量組（個數(shù)為）線性表示，且線性無關(guān)，則(二版定理7)； 向量組能由向量組線性表示，則；（定理3） 向量組能由向量組線性表示 有解； （定理2） 向量組能由向量組等價（定理2推論） 8. 方陣可逆存在有限個初等矩陣，使； ①、矩陣行等

26、價：（左乘，可逆）與同解 ②、矩陣列等價：（右乘，可逆）； ③、矩陣等價：（、可逆）； 9. 對于矩陣與： ①、若與行等價，則與的行秩相等； ②、若與行等價，則與同解，且與的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性； ③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； ④、矩陣的行秩等于列秩； 10. 若，則： ①、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣； ②、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置） 11. 齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明； ①、 只有零解只有零解； ②、 有非零解一定存在非零解； 12. 設(shè)向量組可由向量組線性

27、表示為：（題19結(jié)論） （） 其中為，且線性無關(guān)，則組線性無關(guān)；（與的列向量組具有相同線性相關(guān)性） （必要性：；充分性：反證法） 注：當(dāng)時，為方陣，可當(dāng)作定理使用； 13. ①、對矩陣，存在， 、的列向量線性無關(guān)；（） ②、對矩陣，存在， 、的行向量線性無關(guān)； 14. 線性相關(guān) 存在一組不全為0的數(shù)，使得成立；（定義） 有非零解，即有非零解； ，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)； 15. 設(shè)的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：； 16. 若為的一個解，為的一個基礎(chǔ)解系，則線性無關(guān)；（題33結(jié)論） 5、相似矩陣和二次型 1. 正交矩陣或（定義），性質(zhì)： ①

28、、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即； ②、若為正交矩陣，則也為正交陣，且； ③、若、正交陣，則也是正交陣； 注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化； 2. 施密特正交化： ； ; 3. 對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 對于實對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交； 4. ①、與等價 經(jīng)過初等變換得到； ，、可逆； ，、同型； ②、與合同 ，其中可逆； 與有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)； ③、與相似 ； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若為正交矩陣，則，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴(yán)格）； 6. 為對稱陣，則為二次型矩陣； 7. 元二次型為正定： 的正慣性指數(shù)為； 與合同，即存在可逆矩陣，使； 的所有特征值均為正數(shù)； 的各階順序主子式均大于0； ；(必要條件) 29