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1、附錄1：教學(xué)大綱的格式 為便于各院系編輯印制課程教學(xué)大綱，建議理論課程、實(shí)驗(yàn)課程、專業(yè)實(shí)習(xí)課程分別采用以下格式： 1、理論課程教學(xué)大綱建議格式：（小括號內(nèi)為說明文字）： 初等數(shù)論 Elementary Number Theory 【課程編號】（必備項(xiàng) 必備項(xiàng)：即該項(xiàng)內(nèi)容必須填寫。 ） 【課程類別】專業(yè)主干課 【學(xué)分?jǐn)?shù)】2 【適用專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 【學(xué)時(shí)數(shù)】36 【編寫日期】2006.9 一、教學(xué)目標(biāo)讓學(xué)生了解經(jīng)常出現(xiàn)在生活中的自然數(shù)和整數(shù)的一些性質(zhì)，了解初等數(shù)論與算數(shù)的關(guān)系，同時(shí)，讓學(xué)生知道，數(shù)論在我國的古代就已有極其光輝的成就，如勾股數(shù)、孫子定理等，通過較為系

2、統(tǒng)的學(xué)習(xí)，對這門學(xué)科的基本數(shù)學(xué)思想和方法有一個(gè)初步的了解，認(rèn)識(shí)到研究整數(shù)的性質(zhì)和方程的整數(shù)解是很有意義的事情。 二、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配 第一章 整數(shù)的可除性 （6學(xué)時(shí)） 1. 整除的概念 帶余數(shù)除法 2. 最大公因數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法 3. 整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍數(shù) 4. 質(zhì)數(shù) 算數(shù)基本定理 5. 函數(shù)[x],{x}及其在數(shù)論中的一個(gè)應(yīng)用 第二章 不定方程 （4學(xué)時(shí)） 1. 二元一次不定方程 2. 多元一次不定方程 3. 勾股數(shù) 4. 費(fèi)馬問題的介紹 第三章 同余 （6學(xué)時(shí)） 1. 同余的概念及其基本性質(zhì) 2. 剩余類及完全剩余系 3. 簡化剩余系與歐拉函數(shù) 4

3、. 歐拉定理 費(fèi)馬定理及其對循環(huán)小數(shù)的應(yīng)用 5. 公開密鑰—RSA體制 6. 三角和的概念 第四章 同余式 （6學(xué)時(shí)） 1. 基本概念及一次同余式 2. 孫子定理 3. 高次同余式的解數(shù)及解法 4. 質(zhì)數(shù)模的同余式 第五章 二次同余式與平方剩余 （8學(xué)時(shí)） 1. 一般二次同余式 2. 單質(zhì)數(shù)的平方剩余與平方非剩余 3. 勒讓德符號 4. 前節(jié)定理的證明 5. 雅可比符號 6. 和數(shù)模的情形 7. 把單質(zhì)數(shù)表成二數(shù)平方和 8. 把正整數(shù)表成平方和 第六章 原根與指標(biāo) （6學(xué)時(shí)） 1. 指數(shù)及其基本性質(zhì) 2. 原根存在的條件 3. 指標(biāo)及n次剩余 4. 模

4、2a及合數(shù)模的指標(biāo)組 5. 特征函數(shù) （一）總論讓學(xué)生了解經(jīng)常出現(xiàn)在生活中的自然數(shù)和整數(shù)的一些性質(zhì)，了解初等數(shù)論與算數(shù)的關(guān)系，同時(shí)，讓學(xué)生知道，數(shù)論在我國的古代就已有極其光輝的成就，如勾股數(shù)、孫子定理等，通過較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，對這門學(xué)科的基本數(shù)學(xué)思想和方法有一個(gè)初步的了解，認(rèn)識(shí)到研究整數(shù)的性質(zhì)和方程的整數(shù)解是很有意義的事情。 學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)+課程實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)）36 主要內(nèi)容：整數(shù)的可除性、不定方程 、同余、同余式、二次同余式與平方剩余、原根與指標(biāo) 教學(xué)要求：有關(guān)定義、定理、性質(zhì)等概念的內(nèi)容按“知道、了解和理解”三個(gè)層次要求；有關(guān)計(jì)算、解法、公式和法則等方法的內(nèi)容按“會(huì)、掌握、

5、熟練掌握”三個(gè)層次要求。 重點(diǎn)、難點(diǎn)（可選項(xiàng) 可選項(xiàng)：即該項(xiàng)內(nèi)容可根據(jù)具體情況確定是否填寫。 ） 其它教學(xué)環(huán)節(jié)（如實(shí)驗(yàn)、習(xí)題課、討論課、其它實(shí)踐活動(dòng)）： （二）第一章整數(shù)的可除性 學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)+課程實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)）6 主要內(nèi)容： 1.整除的概念 帶余數(shù)除法 2.最大公因數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法 3.整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍數(shù) 4.質(zhì)數(shù) 算數(shù)基本定理 5.函數(shù)[x],{x}及其在數(shù)論中的一個(gè)應(yīng)用 教學(xué)要求：1、理解整數(shù)整除、公因子、公倍數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)，理解剩余定理，熟練掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍數(shù)的方法。 　　2、理解素?cái)?shù)與合數(shù)的概念、素?cái)?shù)的性質(zhì)，理解整數(shù)

6、的素?cái)?shù)分解定理，會(huì)用篩法求素?cái)?shù)。 　　3、了解函數(shù)[x]與{x}的概念、性質(zhì)，n!的素?cái)?shù)分解、組合數(shù)為整數(shù)的性質(zhì)。 　　4、了解抽屜原理的簡單與一般形式、會(huì)用抽屜原理構(gòu)造一些具有特殊性質(zhì)整數(shù)。 重點(diǎn)、難點(diǎn)：（可選項(xiàng)）整除的概念 帶余數(shù)除法、最大公因數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法、整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍數(shù)、質(zhì)數(shù) 算數(shù)基本定理 、函數(shù)[x],{x}及其在數(shù)論中的一個(gè)應(yīng)用 其它教學(xué)環(huán)節(jié)：（如實(shí)驗(yàn)、習(xí)題課、討論課、其它實(shí)踐活動(dòng)）：1學(xué)時(shí)習(xí)題課 （三）第二章 不定方程 學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)+課程實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)）4 主要內(nèi)容： 1.二元一次不定方程 2.多元一次不定方程 3.勾股數(shù) 4.費(fèi)馬問題的

7、介紹 教學(xué)要求：1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整數(shù)解的條件，熟練掌握利用剩余定理（輾轉(zhuǎn)相除法）求二元一次不定方程的方法。 2、知道多元一次不定方程有解的條件，會(huì)求解簡單的多元一次不定方程。 重點(diǎn)難點(diǎn)：二元一次不定方程、多元一次不定方程、勾股數(shù)、費(fèi)馬問題的介紹 其他教學(xué)環(huán)節(jié)：0.5學(xué)時(shí)習(xí)題課 （四）第三章 同余 學(xué)時(shí) 6 主要內(nèi)容： 1.同余的概念及其基本性質(zhì) 2.剩余類及完全剩余系 3.簡化剩余系與歐拉函數(shù) 4.歐拉定理 費(fèi)馬定理及其對循環(huán)小數(shù)的應(yīng)用 5.公開密鑰—RSA體制 6.三角和的概念 教學(xué)要求：　1、理解整數(shù)同余的概念及同余的

8、基本性質(zhì)，熟練掌握整數(shù)具有素因子的條件，會(huì)利用同余簡單驗(yàn)證整數(shù)乘積運(yùn)算的結(jié)果。 　　2、理解剩余系、完全剩余系的概念，熟練掌握判斷剩余系的方法，理解歐拉函數(shù)的定義及性質(zhì)。 　　3、了解歐拉定理、Fermat小定理，掌握循環(huán)小數(shù)的判定方法。 重點(diǎn)難點(diǎn)：同余的概念及其基本性質(zhì)、剩余類及完全剩余系、簡化剩余系與歐拉函數(shù)、歐拉定理 費(fèi)馬定理及其對循環(huán)小數(shù)的應(yīng)用、三角和的概念 其他教學(xué)環(huán)節(jié)：0.5學(xué)時(shí)習(xí)題課 （五）第四章 同余式 學(xué)時(shí)：6 主要內(nèi)容： 1.基本概念及一次同余式 2.孫子定理 3.高次同余式的解數(shù)及解法 4.質(zhì)數(shù)模的同余式 教學(xué)要求：1、理解同余式的定義，掌握一次同余

9、式有解的條件，熟練掌握求解一次同余式。 　　2、理解中國剩余定理，掌握中國剩余定理的簡單應(yīng)用，掌握求解簡單同余式方程組的方法。 　　3、了解高次同余式解的個(gè)數(shù)的判斷方法，知道解高次同余式的方法，了解模整數(shù)同余式與模素?cái)?shù)同余式的關(guān)系，掌握求簡單的（3、4次）同余式解的方法。 　　4、了解素?cái)?shù)模同余式的次數(shù)化簡、Wilson定理，了解同余式的次數(shù)與解的個(gè)數(shù)的關(guān)系，知道n次同余式有n個(gè)解的條件。 重點(diǎn)難點(diǎn)：一次同余式、孫子定理、高次同余式、質(zhì)數(shù)模的同余式 其他教學(xué)環(huán)節(jié)：0.5學(xué)時(shí)習(xí)題課 （六）第五章 二次同余式與平方剩余 學(xué)時(shí) 8 主要內(nèi)容： 1.一般二次同余式 2.單質(zhì)數(shù)的平方剩

10、余與平方非剩余 3.勒讓德符號 4.前節(jié)定理的證明 5.雅可比符號 6.和數(shù)模的情形 7.把單質(zhì)數(shù)表成二數(shù)平方和 8.把正整數(shù)表成平方和 教學(xué)要求：　1、理解二次同余式的一般形式、模整數(shù)同余與模素?cái)?shù)冪同余的關(guān)系、平方剩余與平方非剩余的概念。 　　2、理解單素?cái)?shù)的平方剩余與平方非剩余的歐拉判定法，了解單素?cái)?shù)的平方剩余與平方非剩余的個(gè)數(shù)。 　　3、了解Legendre符號的定義、性質(zhì)及Jacobi符號的定義、性質(zhì)，熟練掌握利用Legendre和Jacobi符號判斷同余式的解的存在性。 　　4、掌握非素?cái)?shù)模的二次同余式有解的條件及解的個(gè)數(shù)的有關(guān)結(jié)論。 重點(diǎn)難點(diǎn)：二次同余式、單質(zhì)

11、數(shù)的平方剩余與平方非剩余、勒讓德符號、雅可比符號、和數(shù)模的情形、把單質(zhì)數(shù)表成二數(shù)平方和、把正整數(shù)表成平方和 其他教學(xué)環(huán)節(jié)：1學(xué)時(shí)習(xí)題課 （七）第六章 原根與指標(biāo) 學(xué)時(shí) 6 主要內(nèi)容： 1.指數(shù)及其基本性質(zhì) 2.原根存在的條件 3.指標(biāo)及n次剩余 4.模 及合數(shù)模的指標(biāo)組 5.特征函數(shù) 教學(xué)要求：1、 了解原根的定義、階數(shù)的定義及其基本性質(zhì)。 　　2、 會(huì)討論原根存在的條件，掌握求原根的簡單方法。 　　3、會(huì)利用原根得到整數(shù)簡化剩余系的方法。 　　4、了解指標(biāo)的定義、性質(zhì)，掌握指標(biāo)的應(yīng)用（討論同余式有解的條件及解的個(gè)數(shù)）。 重點(diǎn)難點(diǎn)：指數(shù)及其基本性質(zhì)、原根存在的條件、指標(biāo)及n次剩余、模 及合數(shù)模的指標(biāo)組、特征函數(shù) 其他教學(xué)環(huán)節(jié)：0.5學(xué)時(shí)習(xí)題課 三、教材與學(xué)習(xí)資源（必備項(xiàng)） 1.閔嗣鶴，嚴(yán)氏健.初等數(shù)論（第三版）.北京：高等教育出版社，2003 2.陳景潤.初等數(shù)論。北京：科學(xué)出版社，1991 3.潘承洞，潘承彪.簡明數(shù)論.北京：高等教育出版社 四、先修課要求（必備項(xiàng)）及教學(xué)策略與方法建議（可選項(xiàng)） 本課程要求的背景知識(shí)為：數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù) 五、考核方式（必備項(xiàng)） 閉卷考試成績?yōu)橹?，學(xué)生習(xí)題討論、文獻(xiàn)報(bào)告為輔。