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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.2數(shù)列的函數(shù)特性 教案 北師大必修5 教學(xué)目的： 1．了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同； 2．會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項； 3．理解數(shù)列的前n項和與 的關(guān)系； 4．會由數(shù)列的前n項和公式求出其通項公式. 教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項 教學(xué)難點(diǎn)：理解遞推公式與通項公式的關(guān)系 內(nèi)容分析：由于并非每一函數(shù)均有解析表達(dá)式一樣，也并非每一數(shù)列均有通項公式(有通項公式的數(shù)列只是少數(shù))，因而研究遞推公式給出數(shù)列的方法可使我們研究數(shù)列的范圍大大擴(kuò)展 遞推是數(shù)學(xué)里的一個非常重要的概念和方法 在數(shù)列的研究中，不僅很多重要的數(shù)列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個數(shù)列的通項公式的途徑：先得出較為容易寫出的數(shù)列的遞推公式，然后再根據(jù)它推得通項公式 但是，這項內(nèi)容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數(shù)列的性質(zhì)，從數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項公式等，這樣就會加重學(xué)生負(fù)擔(dān) 考慮到學(xué)生是在高一學(xué)習(xí)，我們必須牢牢把握教學(xué)要求，只要能初步體會一下用遞推方法給出數(shù)列的思想，能根據(jù)遞推公式寫出一個數(shù)列的前幾項就行了 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：上節(jié)學(xué)習(xí)知識點(diǎn)如下 ⒈ 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列； ⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). ⒉ 數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，…，第n 項，…. ⒊數(shù)列的一般形式： ，或簡記為 ，其中an是數(shù)列的第n項 ⒋ 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列 的第n項 與n之間的關(guān)系可以用一個公式來 表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 5．?dāng)?shù)列的圖像都是一群孤立的點(diǎn). 6．?dāng)?shù)列有三種表示形式：列舉法，通項公式法和圖象法. 7． 有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如，數(shù)列①是有窮數(shù)列. 8． 無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列. 二、講解新課：知識都來源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活 用其來解決一些實(shí)際問題． 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型． 模型一：自上而下：第1層鋼管數(shù)為4；即：1 4＝1+3 第2層鋼管數(shù)為5；即：2 5＝2+3 第3層鋼管數(shù)為6；即：3 6＝3+3 第4層鋼管數(shù)為7；即：4 7＝4+3 第5層鋼管數(shù)為8；即：5 8＝5+3 第6層鋼管數(shù)為9；即：6 9＝6+3 第7層鋼管數(shù)為10；即：7 10＝7+3 若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且 1≤n≤7） 運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù) 這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便 讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律） 模型二：上下層之間的關(guān)系:自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1 即依此類推： （2≤n≤7）對于上述所求關(guān)系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關(guān)系也較為重要 定義： 1．遞推公式：如果已知數(shù)列 的第1項（或前幾項），且任一項 與它的前一項 （或前n項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公 式就叫做這個數(shù)列的遞推公式 說明：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法 如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89 遞推公式為： 2．?dāng)?shù)列的前n項和：數(shù)列中， 稱為數(shù)列 的前n項和，記為 . 表示前1項之和： = 表示前2項之和： = …… 表示前n-1項之和： = 表示前n項之和： = . ∴當(dāng)n≥1時 才有意義；當(dāng)n-1≥1即n≥2時 才有意義. 3． 與 之間的關(guān)系： 由 的定義可知，當(dāng)n=1時， ； 當(dāng)n≥2時， ， 即 說明：數(shù)列的前n項和公式也是給出數(shù)列的一種方法. 三、例題講解 例1已知數(shù)列 的第1項是1，以后的各項由公式 給出，寫出這個數(shù)列的前5項 分析：題中已給出 的第1項即 ，遞推公式： 解：據(jù)題意可知： 例2已知數(shù)列中， ≥3），試寫出數(shù)列的前4項 解：由已知得 例3已知 ， 寫出前5項，并猜想 ． 法一： 法二： 例4 已知數(shù)列 的前n項和，求數(shù)列的通項公式： ⑴ an =n2 +2n； ⑵ an =n -2n-1. 解：⑴①當(dāng)n≥2時， an= - =(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1； ②當(dāng)n=1時， an =1 +21=3； ③經(jīng)檢驗，當(dāng)n=1時，2n+1=21+1=3， ∴ an =2n+1為所求. ⑵①當(dāng)n≥2時， an = (n -2n-1)-[(n-1) +2(n-1)-1]=2n-3； ②當(dāng)n=1時，an =1 -21-1=-2； ③經(jīng)檢驗，當(dāng)n=1時，2n-3=21-3=-1≠-2， ∴ an = 為所求. 四、練習(xí)： 1．根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式 (1) ＝0, ＝ ＋(2n－1) (n∈N)； (2) ＝1, ＝ (n∈N)； (3) ＝3, ＝3 －2 (n∈N). 解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1) ; (2) ＝1, ＝ , ＝ , ＝ , ＝ , ∴ ＝ ; (3) ＝3＝1+2 , ＝7＝1+2 , ＝19＝1+2 , ＝55＝1+2 , ＝163＝1+2 , ∴ ＝1＋23 ; 2． ．已知下列各數(shù)列 的前n項和 的公式，求 的通項公式 (1) ＝2n －3n; (2) ＝ －2. 解：(1) ＝－1, = - ＝2n －3n－[2(n－1) －3(n－1)]＝4n－5, 又 符合 ＝41－5, ∴ ＝4n－5; (2) ＝1, = - ＝ －2－( －2)＝2 , ∴ ＝ 五、小結(jié):1．遞推公式及其用法； 2．通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系， 而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關(guān)系. 3． an的定義及與n 之間的關(guān)系 作業(yè)：P9 第4題