【三維設(shè)計(jì)】屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率隨機(jī)變量及其分布 理 新人教版
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1、第九章計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 1.分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法. 2.分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法. [小題體驗(yàn)] 1.(教材習(xí)題改編)某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的6個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開(kāi)演前又增加了3個(gè)新節(jié)目,如果將這3個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中,那么不同的插法種數(shù)為( ) A.504 B.210 C.
2、336 D.120 解析:選A 分三步,先插一個(gè)新節(jié)目,有7種方法,再插第二個(gè)新節(jié)目,有8種方法,最后插第三個(gè)節(jié)目,有9種方法.故共有7×8×9=504種不同的插法. 2.(教材習(xí)題改編)若給程序模塊命名,需要用3個(gè)字符,其中首字符要求用字母A~G,或U~Z,后兩個(gè)要求用數(shù)字1~9.則最多可以給________個(gè)程序模塊命名. 答案:1 053 3.(教材習(xí)題改編)一件工作可以用2種方法完成,有5人只會(huì)用第1種方法完成,另有4人只會(huì)用第2種方法完成,從中選出1人來(lái)完成這件工作,不同選法的種數(shù)是________. 答案:9 1.分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中每一種方法都
3、能完成這件事情,類與類之間是獨(dú)立的. 2.分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分,而未完成這件事,步步之間是相關(guān)聯(lián)的. [小題糾偏] 1.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有( ) A.30 B.20 C.10 D.6 解析:選D 從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中,任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類,①取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種方法;②取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種方法,故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有N=3+3=6種. 2.用0,1,…,9十個(gè)數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(
4、 ) A.243 B.252 C.261 D.279 解析:選B 0,1,2,…,9共能組成9×10×10=900(個(gè))三位數(shù),其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8=648(個(gè)),∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900-648=252(個(gè)). [題組練透] 1.(易錯(cuò)題)(2016·銅梁第一中學(xué)月考)如果把個(gè)位數(shù)是1,且恰好有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”,那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,“好數(shù)”共有( ) A.9個(gè) B.3個(gè) C.12個(gè) D.6個(gè) 解析:選C 當(dāng)重復(fù)數(shù)字是1時(shí),有C·C;當(dāng)重復(fù)數(shù)字不是1時(shí),有C種.由分類加法
5、計(jì)數(shù)原理,得滿足條件的“好數(shù)”有C·C+C=12個(gè). 2.五名籃球運(yùn)動(dòng)員比賽前將外衣放在休息室,比賽后都回到休息室取衣服.由于燈光暗淡,看不清自己的外衣,則至少有兩人拿對(duì)自己的外衣的情況有( ) A.30種 B.31種 C.35種 D.40種 解析:選B 分類:第一類,兩人拿對(duì):2×C=20種;第二類,三人拿對(duì):C=10種;第三類,四人拿對(duì)與五人拿對(duì)一樣,所以有1種.故共有20+10+1=31種. 3.如圖,從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過(guò)一點(diǎn)). 解析:分3類:第一類,直接由A到O,有1種走法;第二類,中間過(guò)一個(gè)點(diǎn),有A→B→O和A→C→O 2種不同的走
6、法;第三類,中間過(guò)兩個(gè)點(diǎn),有A→B→C→O和A→C→B→O 2種不同的走法,由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有1+2+2=5種不同的走法. 答案:5 [謹(jǐn)記通法] 利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)2個(gè)注意點(diǎn) (1)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn),分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一,不能遺漏; (2)分類時(shí),注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類,不能重復(fù). [典例引領(lǐng)] 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的點(diǎn),則: (1)P可表示平面上________個(gè)不同的點(diǎn). (2)P可表示平面上________個(gè)第二象限的點(diǎn). 解析:(1)確定平面上的點(diǎn)
7、P(a,b)可分兩步完成: 第1步,確定a的值,共有6種方法; 第2步,確定b的值,也有6種方法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6=36. (2)確定第二象限的點(diǎn),可分兩步完成: 第1步,確定a,由于a<0,所以有3種方法; 第2步,確定b,由于b>0,所以有2種方法. 由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2=6. 答案:(1)36 (2)6 [由題悟法] 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)3個(gè)注意點(diǎn) (1)要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步,即分步是有先后順序的. (2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步驟都完成才算完成這件事. (3)對(duì)完成每
8、一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定. [即時(shí)應(yīng)用] 1.將3張不同的奧運(yùn)會(huì)門(mén)票分給10名同學(xué)中的3人,每人1張,則不同分法的種數(shù)是( ) A.2 160 B.720 C.240 D.120 解析:選B 分步來(lái)完成此事.第1張有10種分法;第2張有9種分法;第3張有8種分法,共有10×9×8=720種分法. 2.從-1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的系數(shù),則可組成________個(gè)不同的二次函數(shù),其中偶函數(shù)有________個(gè)(用數(shù)字作答). 解析:一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a,b,c(a≠0)的一組取值,a的取法有3種,b的取
9、法有3種,c的取法有2種,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3×3×2=18個(gè)二次函數(shù).若二次函數(shù)為偶函數(shù),則b=0,同上可知共有3×2=6個(gè)偶函數(shù). 答案:18 6 [命題分析] 兩個(gè)原理的常見(jiàn)命題角度有: (1)涂色問(wèn)題; (2)幾何問(wèn)題; (3)集合問(wèn)題. [題點(diǎn)全練] 角度一:涂色問(wèn)題 涂色問(wèn)題大致有兩種解答方案: (1)選擇正確的涂色順序,按步驟逐一涂色,這時(shí)用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù); (2)根據(jù)涂色時(shí)所用顏色數(shù)的多少,進(jìn)行分類處理,這時(shí)用分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù). 1.(1)如圖,用6種不同的顏色把圖中A,B,C,D 4塊區(qū)域分開(kāi),若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則
10、涂色方法共有________種(用數(shù)字作答). (2)如圖,矩形的對(duì)角線把矩形分成A,B,C,D四部分,現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色,每部分涂1種顏色,要求共邊的兩部分顏色互異,則共有________種不同的涂色方法. 解析:(1)從A開(kāi)始涂色,A有6種涂色方法,B有5種涂色方法,C有4種涂色方法,D有4種涂色方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有6×5×4×4=480種涂色方法. (2)區(qū)域A有5種涂色方法;區(qū)域B有4種涂色方法;區(qū)域C的涂色方法可分2類:若C與A涂同色,區(qū)域D有4種涂色方法;若C與A涂不同色,此時(shí)區(qū)域C有3種涂色方法,區(qū)域D也有3種涂色方法.所以共有5×4×4+5×4×3
11、×3=260種涂色方法. 答案:(1)480 (2)260 角度二:幾何問(wèn)題 主要與立體幾何、解析幾何相結(jié)合考查. 2.已知兩條異面直線a,b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn),則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為( ) A.40 B.16 C.13 D.10 解析:選C 分兩類情況討論:第一類,直線a分別與直線b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面;第二類,直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,共可以確定8+5=13個(gè)不同的平面. 角度三:集合問(wèn)題 解決集合問(wèn)題時(shí),常以有特殊要求的集合為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,常用的結(jié)論有的子集有2n個(gè),真子集有2n-
12、1個(gè).
3.(2015·保定調(diào)研)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B為集合M的非空子集,若對(duì)?x∈A,y∈B,x 13、,即分類的方法可能要運(yùn)用分步完成,分步的方法可能會(huì)采取分類的思想求.
一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快
1.a(chǎn),b,c,d,e共5個(gè)人,從中選1名組長(zhǎng)1名副組長(zhǎng),但a不能當(dāng)副組長(zhǎng),不同選法的種數(shù)是( )
A.20 B.16
C.10 D.6
解析:選B 當(dāng)a當(dāng)組長(zhǎng)時(shí),則共有1×4=4種選法;當(dāng)a不當(dāng)組長(zhǎng)時(shí),又因?yàn)閍也不能當(dāng)副組長(zhǎng),則共有4×3=12種選法.因此共有4+12=16種選法.
2.某 局的 號(hào)碼為139××××××××,若前六位固定,最后五位數(shù)字是由6或8組成的,則這樣的 號(hào)碼的個(gè)數(shù)為( )
A.20 B.25
C.32 D 14、.60
解析:選C 依據(jù)題意知,后五位數(shù)字由6或8組成,可分5步完成,每一步有2種方法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,符合題意的 號(hào)碼的個(gè)數(shù)為25=32.
3.某班班干部有5名男生、4名女生,從9人中選1人參加某項(xiàng)活動(dòng),則不同選法的種數(shù)為( )
A.9 B.5
C.4 D.72
解析:選A 分兩類:一類從男生中選1人,有5種方法;另一類是從女生中選1人,有4種方法.因此,共有5+4=9種不同的選法.
4.從0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)組成三位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是________.
解析:從1,3中取一個(gè)排個(gè)位,故排個(gè)位有2種方法;排百位不能是0,可以從另外3個(gè)數(shù)中 15、取一個(gè),有3種方法;排十位有3種方法.故所求奇數(shù)的個(gè)數(shù)為3×3×2=18.
答案:18
5.如圖所示,在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè).
解析:把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類:第一類,有一條公共邊的三角形共有8×4=32(個(gè)).第二類,有兩條公共邊的三角形共有8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有32+8=40(個(gè)).
答案:40
二保高考,全練題型做到高考達(dá)標(biāo)
1.某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編,但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B,C,D中選擇,其他四個(gè)號(hào)碼可以從0~9這十個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù)),有車主第一個(gè)號(hào)碼(從左 16、到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇,其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇,則他的車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有( )
A.180種 B.360種
C.720種 D.960種
解析:選D 按照車主的要求,從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法,第二個(gè)號(hào)碼有3種選法,其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法.因此車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4=960(種).
2.在某校舉行的羽毛球兩人決賽中,采用5局3勝制的比賽規(guī)則,先贏3局者獲勝,直到?jīng)Q出勝負(fù)為止.若甲、乙兩名同學(xué)參加比賽,則所有可能出現(xiàn)的情形(個(gè)人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( )
A.6種 B.12種
C. 17、18種 D.20種
解析:選D 分三種情況:恰好打3局(一人贏3局),有2種情形;恰好打4局(一人前3局中贏2局,輸1局,第4局贏),共有2C=6(種)情形;恰好打5局(一人前4局中贏2局,輸2局,第5局贏),共有2C=12(種)情形.所有可能出現(xiàn)的情形共有2+6+12=20(種).
3.我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2 013是“六合數(shù)”),則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有( )
A.18個(gè) B.15個(gè)
C.12個(gè) D.9個(gè)
解析:選B 依題意知,這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4,0,0組成3個(gè)數(shù),分別為400,040,004; 18、由3,1,0組成6個(gè)數(shù),分別為310,301,130,103,013,031;由2,2,0組成3個(gè)數(shù),分別為220,202,022;由2,1,1組成3個(gè)數(shù),分別為211,121,112,共計(jì)3+6+3+3=15(個(gè)).
4.從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù),則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為( )
A.56 B.54
C.53 D.52
解析:選D 在8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共有8×7=56個(gè)對(duì)數(shù)值;但在這56個(gè)對(duì)數(shù)值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,即滿足條件的 19、對(duì)數(shù)值共有56-4=52(個(gè)).
5.從集合{1,2,3,4,…,10}中,選出5個(gè)數(shù)組成的子集,使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11,則這樣的子集有( )
A.32個(gè) B.34個(gè)
C.36個(gè) D.38個(gè)
解析:選A 先把數(shù)字分成5組:{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},由于選出的5個(gè)數(shù)中,任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11,所以從每組中任選一個(gè)數(shù)字即可.故共可組成2×2×2×2×2=32(個(gè)).
6.如圖所示,用五種不同的顏色分別給A,B,C,D四個(gè)區(qū)域涂色,相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,若允許同一種顏色多次使用,則不同的涂色方法共有________種.
20、
解析:按區(qū)域分四步:第一步,A區(qū)域有5種顏色可選;第二步,B區(qū)域有4種顏色可選;第三步,C區(qū)域有3種顏色可選;第四步,D區(qū)域也有3種顏色可選.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有5×4×3×3=180(種)不同的涂色方法.
答案:180
7.在2014年南京青奧會(huì)百米決賽上,8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上,則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有________種.
解析:分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員.
第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四條跑道可安排.∴安排方式有4×3×2=24種.
第二步:安排另外5人,可在2,4, 21、6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道安排,所以安排方式有5×4×3×2×1=120種.
∴安排這8人的方式有24×120=2 880種.
答案:2 880
8.8名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成兩組,每組各4人,分別進(jìn)行單循環(huán)賽,每組決出前兩名,再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽,獲勝者角逐冠、亞軍,敗者角逐第3,4名,大師賽共有________場(chǎng)比賽.
解析:小組賽共有2C場(chǎng)比賽;半決賽和決賽共有2+2=4場(chǎng)比賽;根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理共有2C+4=16場(chǎng)比賽.
答案:16
9.集合N={a,b,c}?{-5,-4,-2,1,4},若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0恒有實(shí)數(shù)解 22、,則滿足條件的集合N的個(gè)數(shù)是________.
解析:依題意知,集合N最多有C=10(個(gè)),其中對(duì)于不等式ax2+bx+c<0沒(méi)有實(shí)數(shù)解的情況可轉(zhuǎn)化為需要滿足
a>0,且Δ=b2-4ac≤0,因此只有當(dāng)a,c同號(hào)時(shí)才有可能,共有2種情況,因此滿足條件的集合N的個(gè)數(shù)是10-2=8.
答案:8
10.電視臺(tái)在“歡樂(lè)在今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱,其中放著競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來(lái)信,甲箱中有30封,乙箱中有20封,現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾,若先從中確定一名幸運(yùn)之星,再?gòu)膬上渲懈鞔_定一名幸運(yùn)觀眾,有多少種不同結(jié)果?
解:幸運(yùn)之星在甲箱中抽取,選定幸運(yùn)之星,再在兩箱內(nèi)各抽一名幸運(yùn)觀眾有30×29× 23、20=17 400種;
幸運(yùn)之星在乙箱中抽取,有20×19×30=11 400種.
共有不同結(jié)果17 400+11 400=28 800種.
三上臺(tái)階,自主選做志在沖刺名校
1.安排6名歌手演出順序時(shí),要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面,則不同排法的種數(shù)共有( )
A.180種 B.240種
C.360種 D.480種
解析:選D 依題意,歌手乙、丙都排在歌手甲的前面的排法共有A×4×5×6=240種,因此滿足題意的不同排法共有240×2=480種.
2.如圖所示,在A,B間有四個(gè)焊接點(diǎn),若焊接點(diǎn)脫落,則可能導(dǎo)致電路不通,今發(fā)現(xiàn)A,B之間線路不通,則焊接點(diǎn)脫落 24、的不同情況有________種.
解析:四個(gè)焊點(diǎn)共有24種情況,其中使線路通的情況有:1,4都通,2和3至少有一個(gè)通時(shí)線路才通,共有3種可能.故不通的情況有24-3=13(種)可能.
答案:13
3.為參加2014年云南昭通地震救災(zāi),某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì),每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛.現(xiàn)從這個(gè)公司中抽調(diào)10輛車,并且每個(gè)車隊(duì)至少抽調(diào)1輛,那么共有多少種不同的抽調(diào)方法?
解:在每個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛車的基礎(chǔ)上,還需抽調(diào)3輛車.可分成三類:一類是從某1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)3輛,有C種抽調(diào)方法;一類是從2個(gè)車隊(duì)中抽調(diào),其中1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛,另1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)2輛,有A種抽調(diào)方法;一類是從3個(gè)車隊(duì)中各抽調(diào)1輛,有C種 25、抽調(diào)方法.故共有C+A+C=84種抽調(diào)方法.
第二節(jié)排列與組合
1.排列與排列數(shù)
(1)排列:
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.
(2)排列數(shù):
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記作A.
2.組合與組合數(shù)
(1)組合:
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.
(2)組合數(shù):
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),記 26、作C.
3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
公式
排列數(shù)公式
A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
=
組合數(shù)公式
C===
性質(zhì)
(1)A=n!;(2)0!=1
(1)C=1;
(2)C=C_;
(3)C+C=C
備注
n,m∈N*且m≤n
[小題體驗(yàn)]
1. (教材習(xí)題改編)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必須站在A的右邊(A,B可以不相鄰),那么不同的排法共有( )
A.24種 B.60種
C.90種 D.120種
解析:選B 可先排C,D,E三人,共A種排法,剩余A,B兩人只有一種排法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理滿足條件的 27、排法共A=60(種).
2.(教材習(xí)題改編)甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén),則甲、乙兩人所選的課程中恰有1門(mén)相同的選法有( )
A.12種 B.16種
C.24種 D.48種
解析:選C 依題意得知,滿足題意的選法共有C·C·C=24種.
3.(教材習(xí)題改編)已知-=,則C=________.
解析:由已知得m的取值范圍為,-=,整理可得m2-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2.故C=C=28.
答案:28
1.易混淆排列與組合問(wèn)題,區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān),排列問(wèn)題與順序有關(guān),組合問(wèn)題與順序無(wú)關(guān).
2.計(jì)算A時(shí)易錯(cuò)算為n(n-1)(n- 28、2)…(n-m).
3.易混淆排列與排列數(shù),排列是一個(gè)具體的排法,不是數(shù)是一件事,而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù),是一個(gè)正整數(shù).
[小題糾偏]
1.方程3A=2A+6A的解為_(kāi)_______.
解析:由排列數(shù)公式可知
3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),
∵x≥3且x∈N*,
∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),
即3x2-17x+10=0,解得x=5或x=(舍去),∴x=5.
答案:5
2.某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加社區(qū)服務(wù),如果要求至少有1名女生,那么不同的選派方案種數(shù)為_(kāi)_______.(用數(shù)字作答)
解析:法一:依 29、題意可得C×C+C×C=8+6=14,故滿足要求的方案有14種.
法二:6人中選4人的方案有C=15種,沒(méi)有女生的方案只有1種,所以滿足要求的方案有14種.
答案:14
[題組練透]
1.(2015·山西模擬)A,B,C,D,E,F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開(kāi)會(huì),A是會(huì)議的中心發(fā)言人,必須坐在最北面的椅子上,B,C二人必須坐相鄰的兩把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,則不同的座次有( )
A.60種 B.48種
C.30種 D.24種
解析:選B 由題知,不同的座次有AA=48種.
2.用0到9這10個(gè)數(shù)字,可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
30、A.324 B.648
C.328 D.360
解析:選C 首先應(yīng)考慮“0”,當(dāng)0排在個(gè)位時(shí),有A=9×8=72(個(gè)),當(dāng)0排在十位時(shí),有AA=4×8=32(個(gè)).當(dāng)不含0時(shí),有A·A=4×8×7=224(個(gè)),由分類加法計(jì)數(shù)原理,得符合題意的偶數(shù)共有72+32+224=328(個(gè)).
3.用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
解析:(捆綁法)首先排兩個(gè)奇數(shù)1,3有A種排法,再在2,4中取一個(gè)數(shù)放在1,3排列之間,有C種方法,然后把這3個(gè)數(shù)作為一個(gè)整體與剩下的另一個(gè)偶數(shù)全排列,有A種排法,即滿足條件 31、的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為ACA=8.
答案:8
[謹(jǐn)記通法]
1.解決排列問(wèn)題的4種方法
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算
捆綁法
相鄰問(wèn)題捆綁處理,即可以把相鄰元素看成一個(gè)整體參與其他元素排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法
不相鄰問(wèn)題插空處理,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中
除法法
定序問(wèn)題除法處理的方法,可先不考慮順序限制,排列后再除以定序元素的全排列
2.解決排列類應(yīng)用題的3種策略
(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法,即先排特殊元素或特殊位置.
(2)分排問(wèn)題直排法處理.
(3)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題采用先集中后局部 32、的處理方法.
[典例引領(lǐng)]
1.(2016·山師大附中摸底)某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言,要求甲、乙兩人至少有一人參加,當(dāng)甲、乙同時(shí)參加時(shí),他們兩人的發(fā)言不能相鄰,那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為( )
A.360 B.520
C.600 D.720
解析:選C 根據(jù)題意,分2種情況討論:若只有甲、乙其中一人參加,有C·C·A=480種情況;若甲、乙兩人都參加,有C·C·A=240種情況,其中甲、乙相鄰的有C·C·A·A=120種情況.則不同的發(fā)言順序的種數(shù)為480+240-120=600.
2.現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠 33、色卡片各4張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為_(kāi)_______.
解析:第一類,含有1張紅色卡片,不同的取法CC=264種.第二類,不含有紅色卡片,不同的取法C-3C=220-12=208種.由分類加法計(jì)數(shù)原理知,不同的取法共有264+208=472種.
答案:472
[由題悟法]
1.解決組合應(yīng)用題的2個(gè)步驟
第一步,整體分類
要注意分類時(shí),不重復(fù)不遺漏,用到分類加法計(jì)數(shù)原理;
第二步,局部分步
用到分步乘法計(jì)數(shù)原理.
2.含有附加條件的組合問(wèn)題的2種方法
通常用直接法或間接法,應(yīng)注意“至少”“最多”“恰好”等詞的含義的理 34、解,對(duì)于涉及“至少”“至多”等詞的組合問(wèn)題,既可考慮反面情形即間接求解,也可以分類研究進(jìn)行直接求解.
[即時(shí)應(yīng)用]
1.(2016·大連模擬)某校開(kāi)設(shè)A類選修課2門(mén),B類選修課3門(mén),一位同學(xué)從中選3門(mén).若要求兩類課程中各至少選一門(mén),則不同的選法共有( )
A.3種 B.6種
C.9種 D.18種
解析:選C 由題知有2門(mén)A類選修課,3門(mén)B類選修課,從中選出3門(mén)的選法有C=10種.兩類課程都有的對(duì)立事件是選了3門(mén)B類選修課,這種情況只有1種.滿足題意的選法有10-1=9種.
2.四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A,從其他頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn),使它們和點(diǎn)A在同一平面上,不 35、同的取法有( )
A.30種 B.33種
C.36種 D.39種
解析:選B 分兩種情況:頂點(diǎn)A與各棱的中點(diǎn)共面的有3個(gè)側(cè)面,每個(gè)側(cè)面中有5個(gè)點(diǎn),有C種,3個(gè)側(cè)面有3×C種;3個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)表面的有3個(gè),共有3×C+3=33種取法.
[命題分析]
分組分配問(wèn)題是排列、組合問(wèn)題的綜合運(yùn)用,解決這類問(wèn)題的一個(gè)基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配.關(guān)于分組問(wèn)題,有整體均分、部分均分和不等分三種,無(wú)論分成幾組,應(yīng)注意只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等,就存在均分現(xiàn)象.
常見(jiàn)的命題角度有:
(1)整體均分問(wèn)題;
(2)部分均分問(wèn)題;
(3)不等分問(wèn)題.
[題點(diǎn)全練]
角度一:整體均 36、分問(wèn)題
1.國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育,在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生,畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教,有________種不同的分派方法.
解析:先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組,有種方法,再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校,有A=6種方法,故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校,共有·A=90種分派方法.
答案:90
角度二:部分均分問(wèn)題
2.(2016·內(nèi)江模擬)某科室派出4名調(diào)研員到3個(gè)學(xué)校,調(diào)研該校高三復(fù)習(xí)備考近況,要求每個(gè)學(xué)校至少一名,則不同的分配方案種數(shù)為( )
A.144 B.72
C.36 37、D.48
解析:選C 分兩步完成:第一步將4名調(diào)研員按2,1,1分成三組,其分法有;第二步將分好的三組分配到3個(gè)學(xué)校,其分法有A種,所以滿足條件的分配方案有·A=36種.
角度三:不等分問(wèn)題
3.若將6名教師分到3所中學(xué)任教,一所1名,一所2名,一所3名,則有________種不同的分法.
解析:將6名教師分組,分三步完成:
第1步,在6名教師中任取1名作為一組,有C種取法;
第2步,在余下的5名教師中任取2名作為一組,有C種取法;
第3步,余下的3名教師作為一組,有C種取法.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有CCC=60種取法.
再將這3組教師分配到3所中學(xué),有A=6種分法,
38、故共有60×6=360種不同的分法.
答案:360
[方法歸納]
解決分組分配問(wèn)題的3種策略
(1)整體均分
解題時(shí)要注意分組后,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù)),避免重復(fù)計(jì)數(shù).
(2)部分均分
解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個(gè)數(shù)相等,則分組時(shí)應(yīng)除以m!,一個(gè)分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù).
(3)不等分組
只需先分組,后排列,注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等,所以不需要除以全排列數(shù).
一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快
1.將2名教師、4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地 39、參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有( )
A.10種 B.9種
C.12種 D.8種
解析:選C 依題意,滿足題意的不同安排方案共有C·C=12種.
2.世界華商大會(huì)的某分會(huì)場(chǎng)有A,B,C三個(gè)展臺(tái),將甲、乙、丙、丁共4名“雙語(yǔ)”志愿者分配到這三個(gè)展臺(tái),每個(gè)展臺(tái)至少1人,其中甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)的不同分法的種數(shù)有( )
A.12種 B.10種
C.8種 D.6種
解析:選D ∵甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái),∴可以把甲與乙捆在一起,看成一個(gè)人,然后將3個(gè)人分到3個(gè)展臺(tái)上進(jìn)行全排列,即有A種,∴甲、乙兩人被分配到同一 40、展臺(tái)的不同分法的種數(shù)有A=6種.
3.將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍,每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生,那么互不相同的安排方法的種數(shù)為( )
A.10 B.20
C.30 D.40
解析:選B 將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍,每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生,那么必然是一個(gè)宿舍2名,而另一個(gè)宿舍3名,共有CC×2=20種.
4.從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中,選出一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù),組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),這樣的三位數(shù)共有( )
A.9個(gè) B.24個(gè)
C.36個(gè) D.54個(gè)
解析:選D 選出符合題意的三個(gè)數(shù)共有CC種方法,這三個(gè)數(shù)可組成CCA=54個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的 41、三位數(shù).
5.在1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有( )
A.36個(gè) B.24個(gè)
C.18個(gè) D.6個(gè)
解析:選B 各位數(shù)字之和是奇數(shù),則這三個(gè)數(shù)字中三個(gè)都是奇數(shù)或兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù),所有可能情況有A+CA=6+18=24(個(gè)).
二保高考,全練題型做到高考達(dá)標(biāo)
1.(2016·山西四校聯(lián)考)有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的3個(gè)班去做學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流,則每個(gè)班至少去一名的不同分派方法種數(shù)為( )
A.150 B.180
C.200 D.280
解析:選A 分兩類:一類,3個(gè)班分派的畢業(yè)生人數(shù)分別為2,2,1,則有·A=9 42、0種分派方法;另一類,3個(gè)班分派的畢業(yè)生人數(shù)分別為1,1,3,則有C·A=60種分派方法.所以不同分派方法種數(shù)為90+60=150種.
2.(2016·貴陽(yáng)摸底)現(xiàn)有2門(mén)不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行,每天最多進(jìn)行一門(mén)考試,且不能連續(xù)兩天有考試,那么不同的考試安排方案種數(shù)是( )
A.12 B.6
C.8 D.16
解析:選A 若第一門(mén)安排在開(kāi)頭或結(jié)尾,則第二門(mén)有3種安排方法,這時(shí),共有C×3=6種方法;若第一門(mén)安排在中間的3天中,則第二門(mén)有2種安排方法,這時(shí),共有3×2=6種方法.綜上可得,不同的考試安排方案共有6+6=12種.
3.(2016·太原模擬)有5本不同的教科 43、書(shū),其中語(yǔ)文書(shū)2本,數(shù)學(xué)書(shū)2本,物理書(shū)1本.若將其并排擺放在書(shū)架的同一層上,則同一科目書(shū)都不相鄰的放法種數(shù)是( )
A.24 B.48
C.72 D.96
解析:選B 據(jù)題意可先擺放2本語(yǔ)文書(shū),當(dāng)1本物理書(shū)在2本語(yǔ)文書(shū)之間時(shí),只需將2本數(shù)學(xué)書(shū)插在前3本書(shū)形成的4個(gè)空中即可,此時(shí)共有AA種擺放方法;當(dāng)1本物理書(shū)放在2本語(yǔ)文書(shū)一側(cè)時(shí),共有AACC種不同的擺放方法,由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有AA+AACC=48種擺放方法.
4.用1,2,3,4,5,6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù),滿足1不在左、右兩端,2,4,6三個(gè)偶數(shù)中有且只有兩個(gè)偶數(shù)相鄰,則這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A.423 44、 B.288
C.216 D.144
解析:選B 若2,4相鄰,把2,4捆綁在一起,與另外四個(gè)數(shù)排列(相當(dāng)于5個(gè)元素排列),1不在左、右兩側(cè),則六位數(shù)的個(gè)數(shù)為2×C×A=144,同理2,4與6相鄰的有A×2×2×A=48個(gè),所以只有2,4相鄰的有144-48=96個(gè),全部符合條件的六位數(shù)有96×3=288個(gè).
5.(2016·福建三明調(diào)研)將A,B,C,D,E排成一列,要求A,B,C在排列中順序?yàn)椤癆,B,C”或“C,B,A”(可以不相鄰),這樣的排列數(shù)有( )
A.12種 B.20種
C.40種 D.60種
解析:選C (排序一定用除法)五個(gè)元素沒(méi)有限制全排列數(shù) 45、為A,由于要求A,B,C的次序一定(按A,B,C或C,B,A),故除以這三個(gè)元素的全排列A,可得這樣的排列數(shù)有×2=40種.
6.4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽,競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定:選甲題答對(duì)得100分,答錯(cuò)得-100分,選乙題答對(duì)得90分,答錯(cuò)得-90分,若4位同學(xué)的總分為0分,則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是________.
解析:由于4位同學(xué)的總分為0分,故4位同學(xué)選甲、乙題的人數(shù)有且只有三種情況:①甲:4人,乙:0人;②甲:2人,乙:2人;③甲:0人,乙:4人.對(duì)于①,須2人答對(duì),2人答錯(cuò),共有C=6種情況;對(duì)于②,選甲題的須1人答對(duì),1人答錯(cuò),選乙題的也如此,有CCC=24種情況;對(duì)于③ 46、,與①相同,有6種情況,故共有6+24+6=36種不同的情況.
答案:36
7.(2016·廣州質(zhì)檢)若把英語(yǔ)單詞“error”的字母順序?qū)戝e(cuò)了,則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有________種.
解析:A-1=19.
答案:19
8.(2015·浙江重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體摸底)把座位編號(hào)為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人,每人至少一張,至多兩張,且分得的兩張票必須是連號(hào),那么不同的分法種數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答).
解析:先將票分為符合條件的4份,由題意,4人分5張票,且每人至少一張,至多兩張,則三人每人一張,一人2張,且分得的票必須是連號(hào),相當(dāng)于將1,2,3,4 47、,5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開(kāi),分為四部分且不存在三連號(hào).在4個(gè)空位插3個(gè)板子,共有C=4種情況,再對(duì)應(yīng)到4個(gè)人,有A=24種情況,則共有4×24=96種情況.
答案:96
9.(2016·山西考前質(zhì)檢)5名工人分別要在某3天中選擇1天休息,且每天至少有一人休息,則不同的安排方式有________種(用數(shù)字填寫(xiě)).
解析:由題意可知5名工人分別要在某3天中任選1天休息,且每天至少有一人休息,則不同的安排方式共分兩類:第一類,有兩天中只有一人休息,另外一天有三人休息,共有CA=60種方法;第二類,有兩天中分別有兩人休息,另外一天只有一人休息,共有·A=90種方法.綜上所述,共有60+90=15 48、0種方法.
答案:150
10.將7個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中.
(1)不出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種?
(2)可出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種?
解:(1)將7個(gè)相同的小球排成一排,在中間形成的6個(gè)空當(dāng)中插入無(wú)區(qū)別的3個(gè)“隔板”將球分成4份,每一種插入隔板的方式對(duì)應(yīng)一種球的放入方式,則共有C=20種不同的放入方式.
(2)每種放入方式對(duì)應(yīng)于將7個(gè)相同的小球與3個(gè)相同的“隔板”進(jìn)行一次排列,即從10個(gè)位置中選3個(gè)位置安排隔板,故共有C=120種放入方式.
三上臺(tái)階,自主選做志在沖刺名校
1.(2015·上饒模擬)有紅、藍(lán)、黃、綠四種顏色的球各6個(gè),每種顏色的6個(gè)球分別 49、標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中任取3個(gè)標(biāo)號(hào)不同的球,這3個(gè)顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法種數(shù)為( )
A.80 B.84
C.96 D.104
解析:選C 所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的方法有135,136,146,246,共4種方法.3個(gè)顏色互不相同有A=4×3×2=24種,∴這3個(gè)顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法有24×4=96種.
2.(2016·湖南師大附中月考)已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33},其中ai∈{0,1,2}(i=0,1,2,3)且a3≠0,則A中所有元素之和等于( )
A.3 240 B.3 120
C.2 9 50、97 D.2 889
解析:選D 由題意可知,a0,a1,a2各有3種取法(均可取0,1,2),a3有2種取法(可取1,2),由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有3×3×3×2種取法.∴當(dāng)a0取0,1,2時(shí),a1,a2各有3種取法,a3有2種取法,共有3×3×2=18種取法,即集合A中含有a0項(xiàng)的所有數(shù)的和為(0+1+2)×18;同理可得集合A中含有a1項(xiàng)的所有數(shù)的和為(3×0+3×1+3×2)×18;集合A中含有a2項(xiàng)的所有數(shù)的和為(32×0+32×1+32×2)×18;集合A中含有a3項(xiàng)的所有數(shù)的和為(33×1+33×2)×27;由分類加法計(jì)數(shù)原理得集合A中所有元素之和S=(0+1+2)×18 51、+(3×0+3×1+3×2)×18+(32×0+32×1+32×2)×18+(33×1+33×2)×27=18×(3+9+27)+81×27=702+2 187=2 889.
3.用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)滿足下列條件的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?
(1)比21 034大的偶數(shù);
(2)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù).
解:(1)法一:可分五類,當(dāng)末位數(shù)字是0,而首位數(shù)字是2時(shí),有6個(gè)五位數(shù);
當(dāng)末位數(shù)字是0,而首位數(shù)字是3或4時(shí),有AA=12個(gè)五位數(shù);
當(dāng)末位數(shù)字是2,而首位數(shù)字是3或4時(shí),有AA=12個(gè)五位數(shù);
當(dāng)末位數(shù)字是4,而首位數(shù)字是2時(shí),有3個(gè)五位數(shù);
當(dāng) 52、末位數(shù)字是4,而首位數(shù)字是3時(shí),有A=6個(gè)五位數(shù);
故共有6+12+12+3+6=39個(gè)滿足條件的五位數(shù).
法二:不大于21 034的偶數(shù)可分為三類:萬(wàn)位數(shù)字是1的偶數(shù),有A·A=18個(gè)五位數(shù);萬(wàn)位數(shù)字是2,而千位數(shù)字是0的偶數(shù),有A個(gè)五位數(shù);還有一個(gè)為21 034本身.
而由0,1,2,3,4組成的五位偶數(shù)個(gè)數(shù)有A+A·A·A=60個(gè),故滿足條件的五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為60-18-2-1=39.
(2)法一:可分為兩類:
末位數(shù)是0,個(gè)數(shù)有A·A=4;
末位數(shù)是2或4,個(gè)數(shù)有A·A=4;
故共有A·A+A·A=8個(gè)滿足條件的五位數(shù).
法二:第二、四位從奇數(shù)1,3中取,有A個(gè);首位從 53、2,4中取,有A個(gè);余下的排在剩下的兩位,有A個(gè),故共有AAA=8個(gè)滿足條件的五位數(shù).
第三節(jié)二項(xiàng)式定理
1.二項(xiàng)式定理
(1)定理
公式(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*)叫做二項(xiàng)式定理.
(2)通項(xiàng)
Tk+1=Can-kbk為展開(kāi)式的第k+1項(xiàng).
2.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)
(1)二項(xiàng)式系數(shù)
二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)C(k∈{0,1,…,n})叫做二項(xiàng)式系數(shù).
(2)項(xiàng)的系數(shù)
項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分,包括符號(hào)等,與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念.
3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)
內(nèi)容
對(duì)稱性
與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式 54、系數(shù)相等,即C=C
增減性
當(dāng)k<時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大;
當(dāng)k>時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小
最大值
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,最大值為C;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,且同時(shí)取得最大值,最大值為C或C
4.各二項(xiàng)式系數(shù)的和
(a+b)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即C+C+C+…+C+…+C=2n.
二項(xiàng)展開(kāi)式中,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和,即C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.
[小題體驗(yàn)]
1.(教材習(xí)題改編)(x+2)8的展開(kāi)式中x6的系數(shù)是( )
A.28 B.56
C.112 D 55、.224
解析:選C 通項(xiàng)為T(mén)r+1=Cx8-r2r=2rCx8-r,令8-r=6,得r=2,即T3=22Cx6=112x6,所以x6的系數(shù)是112.
2.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,則a7+a6+…+a1的值為( )
A.1 B.129
C.128 D.127
解析:選B 令x=1得a0+a1+…+a7=27=128;令x=0得a0=(-1)7=-1,∴a1+a2+a3+…+a7=129.
3.(教材習(xí)題改編)8的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有________項(xiàng).
解析:∵Tr+1=C()8-rr=rCx,
∴r為4的倍數(shù),故r=0,4,8共3項(xiàng). 56、
答案:3
1.二項(xiàng)式的通項(xiàng)易誤認(rèn)為是第k項(xiàng),實(shí)質(zhì)上是第k+1項(xiàng).
2.(a+b)n與(b+a)n雖然相同,但具體到它們展開(kāi)式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的,所以公式中的第一個(gè)量a與第二個(gè)量b的位置不能顛倒.
3.易混淆二項(xiàng)式中的“項(xiàng)”,“項(xiàng)的系數(shù)”、“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”等概念,注意項(xiàng)的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分,包含符號(hào),二項(xiàng)式系數(shù)僅指C(k=0,1,…,n).
[小題糾偏]
1.(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開(kāi)式中x5與x6的系數(shù)相等,則n=( )
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:選B (1+3x)n的展開(kāi)式中含x5的項(xiàng)為C(3x)5=C35x5,展開(kāi)式中含 57、x6的項(xiàng)為C36x6.由兩項(xiàng)的系數(shù)相等得C·35=C·36,解得n=7.
2.若二項(xiàng)式n展開(kāi)式中的第5項(xiàng)是常數(shù),則自然數(shù)n的值為( )
A.6 B.10
C.12 D.15
解析:選C 由二項(xiàng)式n展開(kāi)式的第5項(xiàng)C()n-44=16Cx是常數(shù)項(xiàng),可得-6=0,解得n=12.
[題組練透]
1.二項(xiàng)式10的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是( )
A.180 B.90
C.45 D.360
解析:選A 10的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C·()10-kk=2kCx,令5-k=0,得k=2,故常數(shù)項(xiàng)為22C=180.
2.(易錯(cuò)題)若n展開(kāi)式中含有x2項(xiàng),則n的最 58、小值是( )
A.15 B.8
C.7 D.3
解析:選D 注意到二項(xiàng)式n的展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr+1=C·n-r·(-x)r=C·(-1)r·x.令r-n=2,即r=有正整數(shù)解;又2與5互質(zhì),
因此n+2必是5的倍數(shù),即n+2=5k,n=5k-2,n的最小值是3.
3.(2015·北京高考)在(2+x)5的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)為_(kāi)_______.(用數(shù)字作答)
解析:設(shè)通項(xiàng)為T(mén)r+1=C25-rxr,令r=3,則x3的系數(shù)為C×22=10×4=40.
答案:40
[謹(jǐn)記通法]
求二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)的3種方法
求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題,實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)Tk+1=Can-k 59、bk的特點(diǎn),一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項(xiàng)求解,注意k的取值范圍(k=0,1,2,…,n).
(1)第m項(xiàng):此時(shí)k+1=m,直接代入通項(xiàng),如“題組練透”第2題;
(2)常數(shù)項(xiàng):即這項(xiàng)中不含“變?cè)保钔?xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程;
(3)有理項(xiàng):令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程.
特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.
[典例引領(lǐng)]
1.(2015·湖北高考)已知(1+x)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為( )
A.29B.210
C.211 D.212
解析:選A 由C=C,得n=10, 60、故奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為29.
2.(2016·成都一中模擬)設(shè)(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,則a0+a1+a2+…+a11的值為( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:選A 令等式中x=-1可得a0+a1+a2+…+a11=(1+1)(-1)9=-2,故選A.
[由題悟法]
1.賦值法研究二項(xiàng)式的系數(shù)和問(wèn)題
“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法,對(duì)形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(duì)形如(ax+by)n( 61、a,b∈R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y(tǒng)=1即可.
2.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法
(1)如果n是偶數(shù),則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;
(2)如果n是奇數(shù),則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大.
[即時(shí)應(yīng)用]
1.在(1+x)n(x∈N*)的二項(xiàng)展開(kāi)式中,若只有x5的系數(shù)最大,則n=( )
A.8 B.9
C.10 D.11
解析:選C 二項(xiàng)式中僅x5項(xiàng)系數(shù)最大,其最大值必為C,即得=5,解得n=10.
2.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.1或3 B.-3
C.1 62、D.1或-3
解析:選D 令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.又a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴m=1或m=-3.
考點(diǎn)三 多項(xiàng)式展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題
[命題分析]
在高考中,常常涉及一些多項(xiàng)式問(wèn)題,主要考查學(xué)生的化歸能力.
常見(jiàn)的命題角度有:
(1)幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題;
(2)幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題;
(3)三項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題.
[題點(diǎn)全練]
角度一:幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題
1.(2016·榮成模擬)在 63、1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展開(kāi)式中,含x2項(xiàng)的系數(shù)是( )
A.10 B.15
C.20 D.25
解析:選C 含x2項(xiàng)的系數(shù)為C+C+C+C=20.
角度二:幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題
2.(2015·全國(guó)卷Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=________.
解析:設(shè)(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.
令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.①
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a 64、5.②
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,∴a=3.
答案:3
角度三:三項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題
3.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展開(kāi)式中,x5y2的系數(shù)為( )
A.10 B.20
C.30 D.60
解析:選C 法一:(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
含y2的項(xiàng)為T(mén)3=C(x2+x)3·y2.
其中(x2+x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4·x=Cx5.
所以x5y2的系數(shù)為CC=30,故選C.
法二:(x2+x+y)5為5個(gè)x2+x+y之積,其中有兩個(gè)取y,兩個(gè)取x2,一個(gè)取x即可,所以x5y2的系數(shù)為CC 65、C=30,故選C.
[方法歸納]
1.對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題,只需依據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),從每一項(xiàng)中分別得到特定的項(xiàng),再求和即可.
2.對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題,一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律,結(jié)合組合思想求解,但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法,以免重復(fù)或遺漏.
3.對(duì)于三項(xiàng)式問(wèn)題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決.
一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快
1.5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是( )
A.-5 B.5
C.-10 D.10
解析:選C 5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C5-r·(-2x2)r=(-1)rC·2r·x,當(dāng)r=1時(shí),Tr+1為 66、常數(shù)項(xiàng),即T2=-C·2=-10.
2.2n(n∈N*)的展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大,則其常數(shù)項(xiàng)為( )
A.120 B.210
C.252 D.45
解析:選B 由已知得,二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)相等.由展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)C最大,可得展開(kāi)式有11項(xiàng),即2n=10,n=5.10展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=Cxx=Cx,令5-r=0可得r=6,此時(shí)T7=C=210.
3.(2016·保定期末)在(1+x3)(1+x)5的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)是( )
A.10 B.11
C.12 D.15
解析:選B x3的系數(shù)是1×C+1×C=11.
4.若(1-2x)2 017=a0+a1x+a2x2+…+a2 017x2 017(x∈R),則++…+的值為_(kāi)_______.
解析:令x=0,得a0=(1-0)2 017=1.令x=,則a0+++…+=0,∴++…+=-1.
答案:-1
5.設(shè)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M,二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,若M-N=240,則展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為_(kāi)_______.
解析:由已知條件4n-2n=240,解得n=
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