《（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)與解三角形 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)與解三角形 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §4.1　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 考綱展示?　 1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2．能進(jìn)行弧度與角度的互化． 3．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義． 考點(diǎn)1　角的集合表示及象限角的判定 角的概念 (1)角的形成 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置________到另一個位置所成的________． (3)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 答案：(1)旋轉(zhuǎn)　圖形 (2)逆時針　順時針 (1)[教材習(xí)題改編]終邊在

2、直線y＝x上的角的集合是________． 答案： 解析：在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝x上的正角有兩個，即為45°，225°，寫出與其終邊相同的角的集合，整合即得． (2)[教材習(xí)題改編]①－160°＝________rad; ② rad＝________度． 答案：①－　②54　 解析：①－160°＝－×π rad＝－ rad. ② rad＝×180°＝54°. 混淆幾種角的概念：任意角；終邊相同的角；象限角． 下列命題敘述正確的有________個． ①小于90°的角是銳角； ②終邊相同的角相等； ③第二象限角大于第一象限角． 答案：0 解析：①

3、角是任意的，有正角、零角、負(fù)角，小于90°的角也可以是零角或負(fù)角；②比如30°和390°，它們的終邊相同，但它們不相等. 終邊相同的角，它們相差360°的整數(shù)倍，相等的角終邊一定相同；③由于終邊相同的角的無限性，故第二象限角不一定大于第一象限角． [典題1]　(1)①若角θ的終邊與的終邊相同，則在[0,2π)內(nèi)終邊與的終邊相同的角為________． [答案]?、?，， ②終邊在直線y＝x上的角的集合為________． [答案]　 ③已知角α的終邊落在陰影所表示的范圍內(nèi)(包括邊界)，則角α的集合為________． [答案]　{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·1

4、80°，n∈Z}　 (2)如果α是第三象限的角，則角－α的終邊所在位置是______，角2α的終邊所在位置是______，角終邊所在的位置是______． [答案]　第二象限　第一、二象限及y軸的非負(fù)半軸　第一、三、四象限 [解析]　由α是第三象限的角，得π＋2kπ<α<＋2kπ?－－2kπ<－α<－π－2kπ， 即＋2kπ<－α<π＋2kπ(k∈Z)， ∴角－α的終邊在第二象限． 由π＋2kπ<α<＋2kπ，得 2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ(k∈Z)， ∴角2α的終邊在第一、二象限及y軸的非負(fù)半軸． 因為π＋2kπ<α<＋2kπ(k∈Z)， 所以＋<<＋(k∈Z)

5、． 當(dāng)k＝3n(n∈Z)時，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)； 當(dāng)k＝3n＋1(n∈Z)時，π＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)； 當(dāng)k＝3n＋2(n∈Z)時，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)． 所以的終邊在第一、三、四象限． [點(diǎn)石成金]　1.終邊在某直線上角的求法四步驟 (1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線； (2)按逆時針方向?qū)懗鯷0,2π)內(nèi)的角； (3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合； (4)求并集化簡集合． 2．確定kα，(k∈N*)的終邊位置三步驟 (1)用終邊相同角的形式表示出角α的范圍； (2)再寫出kα或的范圍； (3)然后根據(jù)k的可

6、能取值討論確定kα或的終邊所在位置． 考點(diǎn)2　扇形的弧長及面積公式 　　　　　　　　　　　　　　　　 弧度制 (1)1弧度的角 長度等于________的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度數(shù) 如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝. (3)角度與弧度的換算 ①180°＝________ rad；②1°＝ rad；③1 rad＝°. (4)弧長、扇形面積的公式 設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，則l＝________，扇形的面積為S＝lr＝|α|·r2. 答案：(1)半徑長　(3

7、)π　(4)|α|r (1)[教材習(xí)題改編]單位圓中，200°的圓心角所對的弧長為(　　) A．10π B．9π C. D. 答案：D (2)[教材習(xí)題改編]半徑為120 mm的圓上長為144 mm的弧所對圓心角的弧度數(shù)是________． 答案：1.2 解析：根據(jù)圓心角弧度數(shù)的計算公式，得 α＝＝1.2. 周長為定值的扇形中，當(dāng)圓心角________時面積最大；面積為定值的扇形中，當(dāng)圓心角________時周長最?。? 答案：θ＝2　θ＝2 [典題2]　若扇形的周長為10，面積為4，則該扇形的圓心角為________． [答案]　 [解析]　設(shè)

8、圓心角是θ，半徑是r， 則解得或(舍去)． 故扇形圓心角為. [題點(diǎn)發(fā)散1]　若去掉本例條件“面積為4”，則當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大？ 解：設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝10. S＝θ·r2＝r(10－2r)＝r(5－r) ＝－2＋≤， 當(dāng)且僅當(dāng)r＝時，Smax＝，θ＝2. 所以當(dāng)r＝，θ＝2時，扇形面積最大． [題點(diǎn)發(fā)散2]　若本例中條件變?yōu)椋簣A弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是多少？ 解：設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r，∴正方形邊長為r， ∴圓心角的弧度數(shù)是＝. [點(diǎn)石成金]　涉及弧長和扇形面積的計算時，可

9、用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡單，易記好用，在使用前，應(yīng)將圓心角用弧度表示. 已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10. (1)求弦AB所對的圓心角α的大??； (2)求α所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S. 解：(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10， ∴△AOB為等邊三角形． 因此弦AB所對的圓心角α＝. (2)由扇形的弧長與扇形面積公式，得 l＝α·R＝×10＝， S扇形＝R·l＝α·R2＝. 又S△AOB＝OA·OB·sin ＝25. ∴弓形的面積S＝S扇形－S△AOB＝50. 考點(diǎn)3　三角函數(shù)的定義 　　　　　　　　　　

10、　　　　　　 任意角的三角函數(shù) (1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin α＝________，cos α＝________，tan α＝(x≠0)． (2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的________，________和________． (3)三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 答案：(1)y　x (2)正弦線　余弦線　正切線 (1)[教材習(xí)題改編

11、]若角θ滿足tan θ>0，sin θ<0，則角θ所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C (2)[教材習(xí)題改編]若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－3，－4)，則sin α＋cos α＝________. 答案：－ 解析：sin α＝－，cos α＝－，所以sin α＋cos α＝－. 三角函數(shù)概念理解誤區(qū)：點(diǎn)P的位置；函數(shù)值的符號． (1)角α的三角函數(shù)值與終邊上的點(diǎn)P的位置________關(guān)．(填“有”或“無”) 答案：無 解析：角α的三角函數(shù)值只與角α的大小有關(guān)，不受終邊上的點(diǎn)P的位置的影響． (2)已知角θ的頂點(diǎn)為坐

12、標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sin θ＝－，則y＝________. 答案：－8 解析：由已知，得r＝|OP|＝. 由三角函數(shù)的定義，得sin θ＝＝ . 因為sin θ＝－，所以＝－， 解得y＝－8或y＝8(舍去)． [考情聚焦]　三角函數(shù)的定義是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題、填空題的形式考查，難度較小，屬中低檔題． 主要有以下幾個命題角度： 角度一 根據(jù)三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值 [典題3]　(1)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，－3)，則sin α＝________. [答案]?。? [解析]　sin α＝＝－. (2)[2017

13、·云南玉溪模擬]設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cos α＝x，則tan α＝________. [答案]　－ [解析]　因為α是二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝x＝，解得x＝－3，所以tan α＝＝－. [點(diǎn)石成金]　1.已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解． 2．已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求解． 角度二 根據(jù)三角函數(shù)的定義求點(diǎn)的坐標(biāo) [典題4]　(1)點(diǎn)P從(－1,0)出發(fā)，沿單位圓順時針方向運(yùn)動 弧長到達(dá)點(diǎn)Q

14、，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為________． [答案]　 [解析]　設(shè)點(diǎn)A(－1,0)，點(diǎn)P從(－1,0)出發(fā)，沿單位圓順時針方向運(yùn)動 弧長到達(dá)點(diǎn)Q，則∠AOQ＝－2π＝(O為坐標(biāo)原點(diǎn))， 所以∠xOQ＝，cos ＝，sin ＝， 所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. (2)已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，求cos α，tan α的值． [解]　由題設(shè)知x＝－，y＝m， ∴r2＝|OP|2＝2＋m2(O為原點(diǎn))，r＝. ∴sin α＝＝＝， ∴r＝＝2， 即3＋m2＝8， 解得m＝±. 當(dāng)m＝時，r＝2，x＝－，y＝， ∴cos α＝＝－，tan α＝－； 當(dāng)m＝

15、－時，r＝2，x＝－，y＝－， ∴cos α＝＝－，tan α＝. [點(diǎn)石成金]　1.已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值． 2．已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo). [方法技巧]　三角函數(shù)的定義及單位圓的應(yīng)用技巧 (1)在利用三角函數(shù)的定義時，點(diǎn)P可取終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)． (2)在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧． [易錯防范]　1.第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第

16、二類、第三類是區(qū)間角． 2．角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． 3．要熟記0°～360°間特殊角的弧度表示． 4．要注意三角函數(shù)線是有向線段． 課外拓展閱讀 錯用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值 [典例1]　[2016·天津模擬]已知角θ的終邊上一點(diǎn)P(3a,4a)(a≠0)，則sin θ＝________. [易錯分析]　 (1)角的終邊是一條射線，而不是直線，該題中，我們只能確定角的終邊所在直線． (2)由終邊上一點(diǎn)求三角函數(shù)時，由于沒有考慮參數(shù)的取值情況，從而求出r＝＝＝5a，結(jié)果得到下列錯誤的結(jié)論：s

17、in θ＝＝. [解析]　∵x＝3a，y＝4a， ∴r＝＝5|a|. (1)當(dāng)a>0時，r＝5a， ∴sin θ＝＝. (2)當(dāng)a<0時，r＝－5a， ∴sin θ＝＝－. 綜上，sin θ＝±. [答案]　± 溫馨提示 (1)區(qū)分兩種三角函數(shù)的定義 如果是在單位圓中定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝，但如果不是在單位圓中，設(shè)角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，y)，|OP|＝r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝. (2)明確三角函數(shù)的定義與角的終邊所在的象限位置的關(guān)系． - 11 -