《（課標通用）2018年高考數(shù)學一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 11.5 古典概型學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標通用）2018年高考數(shù)學一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 11.5 古典概型學案 理（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §11.5　古典概型 考綱展示?　 1.理解古典概型及其概率計算公式． 2．會計算一些隨機事件所含的基本事件及事件發(fā)生的概率． 考點1　古典概型的簡單問題 1.基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是________的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和． 答案：(1)互斥　(2)基本事件 2．古典概型 具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． (1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件________． (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性________． 答案：(1)只有有限個　(2)相等 3．如果一次試驗中可能出

2、現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是________；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)＝________. 答案：　 4．古典概型的概率計算公式 P(A)＝________________. 答案： (1)[教材習題改編]從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同字母的試驗中，基本事件共有________個． 答案：6 解析：基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，共6個． (2)[教材習題改編]拋擲質(zhì)地均勻的一枚骰子一次，出現(xiàn)正面朝上的點數(shù)大于2且小于5的概率為_____

3、_____． 答案： 解析：拋擲質(zhì)地均勻的一枚骰子一次，出現(xiàn)點數(shù)1,2,3,4,5,6，共6個基本事件，其中正面朝上的點數(shù)大于2且小于5的有3,4，共2個基本事件，所以P＝＝. 古典概型：關(guān)鍵在于基本事件的計數(shù)． 從1,3,5,7中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值大于3的概率是__________． 答案： 解析：由題意知，“從1,3,5,7中任取2個不同的數(shù)”所包含的基本事件為(1,3)，(1,5)，(1,7)，(3,5)，(3,7)，(5,7)，共6個，滿足條件的事件包含的基本事件為(1,5)，(1,7)，(3,7)，共3個，所以所求的概率P＝＝. [典題

4、1]　(1)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球、5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球、1個紅球的概率為(　　) A. B. C. D．1 [答案]　B [解析]　從15個球中任取2個球共有C種取法，其中有1個紅球、1個白球的情況有CC＝50(種)，所以P＝＝. (2)某中學調(diào)查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人) 參加書法社團 未參加書法社團 參加演講社團 8 5 未參加演講社團 2 30 ①從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率； ②在既參加書法社團又參加演講

5、社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率． [解]?、儆烧{(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人， 故至少參加上述一個社團的共有45－30＝15(人)， 所以從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個社團的概率為P＝＝. ②從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{

6、A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15個． 根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個． 因此A1被選中且B1未被選中的概率為P＝. [點石成金]　古典概型中基本事件的兩種探求方法 (1)列舉法 適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的情況． (2)樹狀圖法 適合較為復雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同；有時也可以看成是無序的，如(1,2)和(2,1)相同．

7、 考點2　較復雜古典概型的概率 古典概型：基本事件的個數(shù)；古典概型概率公式． (1)[2015·云南昆明模擬]拋擲兩顆相同的正方體骰子(骰子質(zhì)地均勻，且各個面上依次標有點數(shù)1,2,3,4,5,6)一次，則兩顆骰子向上點數(shù)之積等于12的概率為__________． 答案： 解析：拋擲兩顆相同的正方體骰子，共有36種等可能的結(jié)果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．點數(shù)之積等于12的結(jié)果有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4種，故所求事件的概率為＝. (2)小明的自行車用的是密碼鎖，密碼鎖的四位數(shù)碼由4個數(shù)字2,4,6,8按一定順序構(gòu)

8、成，小明不小心忘記了密碼中4個數(shù)字的順序，隨機地輸入由2,4,6,8組成的一個四位數(shù)，不能打開鎖的概率是__________． 答案： 解析：由2,4,6,8可以組成24個四位數(shù)(每個數(shù)位上的數(shù)都不相同)，其中只有一個能打開鎖，能打開鎖的概率為，所以不能打開鎖的概率為1－＝. [典題2]　某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓．由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊． (1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率； (2)某場比賽前，從代表隊

9、的6名隊員中隨機抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率． [解]　(1)由題意，參加集訓的男生、女生各有6名． 參賽學生全從B中學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為＝， 因此，A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為1－＝. (2)設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事件A，記“參賽女生有2人”為事件B，“參賽女生有3人”為事件C. 則P(B)＝＝，P(C)＝＝. 由互斥事件的概率加法，得 P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝， 故所求事件的概率為. [點石成金]　1.求較復雜事件的概率問題，解題關(guān)鍵是理解題目的實際含義，把實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型，必要時將所求事件

10、轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的和，或者先求其對立事件的概率，進而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼猓? 2．注意區(qū)別排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用. 為振興旅游業(yè)，四川省面向國內(nèi)發(fā)行總量為2 000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱銀卡)．某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團到四川名勝景區(qū)旅游，其中 是省外游客，其余是省內(nèi)游客．在省外游客中有 持金卡，在省內(nèi)游客中有 持銀卡． (1)在該團中隨機采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率； (2)在該團中隨機采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率． 解：

11、(1)由題意，得省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡． 設(shè)事件A為“采訪該團2人，恰有1人持銀卡”， 則P(A)＝＝， 所以采訪該團2人，恰有1人持銀卡的概率是. (2)設(shè)事件B為“采訪該團2人，持金卡與持銀卡人數(shù)相等”，可以分為事件B1為“采訪該團2人，持金卡0人，持銀卡0人”，或事件B2為“采訪該團2人，持金卡1人，持銀卡1人”兩種情況． 則P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝， 所以采訪該團2人，持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率是. 考點3　古典概型的交匯命題 [考情聚焦]　古典概型在高考中常與平面向量、集合、函數(shù)、解析幾何、統(tǒng)計等知識交匯命

12、題，命題的角度新穎，考查知識全面，能力要求較高． 主要有以下幾個命題角度： 角度一 古典概型與平面向量相結(jié)合 [典題3]　已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x隨機選自集合{－1,1,3}，y隨機選自集合{1,3,9}． (1)求a∥b的概率； (2)求a⊥b的概率． [解]　由題意，得(x，y)所有的基本事件為(－1,1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)， (1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9個． (1)設(shè)“a∥b”為事件A，則xy＝－3. 事件A包含的基本事件有(－1,3)，共1個． 故a∥b的概率為P(A)＝. (2)

13、設(shè)“a⊥b”為事件B，則y＝3x. 事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2個． 故a⊥b的概率為P(B)＝. 角度二 古典概型與直線、圓相結(jié)合 [典題4]　[2017·河南洛陽統(tǒng)考]將一顆骰子先后拋擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________． [答案]　 [解析]　依題意，將一顆骰子先后拋擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種， 其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿足≤ ，即a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1,1)，

14、(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(種)， 因此所求的概率為＝. 角度三 古典概型與函數(shù)相結(jié)合 [典題5]　已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率； (2)設(shè)點(a，b)是區(qū)域內(nèi)的隨機點，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率． [解]　(1)∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為x＝， 要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋

15、∞)上為增函數(shù)， 當且僅當a>0且≤1，即2b≤a. 若a＝1，則b＝－1； 若a＝2，則b＝－1,1； 若a＝3，則b＝－1,1. ∴事件包含基本事件的個數(shù)是1＋2＋2＝5， ∴所求事件的概率為＝. (2)由(1)知，當且僅當2b≤a且a>0時， 函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)， 依條件可知，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為. 由得交點坐標為， ∴所求事件的概率為P＝＝. 角度四 古典概型與統(tǒng)計相結(jié)合 [典題6]　某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制成頻率分布直方圖(如圖所

16、示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]． (1)求頻率分布直方圖中a的值； (2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率； (3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40,50)的概率． [解]　(1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006. (2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4， 所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4. (3)受訪職工

17、中評分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3； 受訪職工中評分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2. 從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}． 又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為. [點石成金]　解決與古典概型交匯命題的關(guān)注點 解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列

18、舉基本事件，求出基本事件和隨機事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算. [方法技巧]　1.確定基本事件的方法 (1)當基本事件總數(shù)較少時，可用列舉法計算； (2)當基本事件總數(shù)較多時，可用列表法、樹狀圖法． 2．較復雜事件的概率可靈活運用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式簡化運算． 3．概率的一般加法公

19、式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，當A∩B＝?時，A，B互斥，此時P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要計算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)該公式可以看作一個方程，知三可求一． [易錯防范]　古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個數(shù)時，它們是不是等可能的． 真題演練集訓 1．[2016·江蘇卷]將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲

20、2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________． 答案： 解析：解法一：將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，向上的點數(shù)有36種結(jié)果，其中點數(shù)之和小于10的有30種，故所求概率為＝. 解法二：將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，向上的點數(shù)有36種結(jié)果，其中點數(shù)之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6種，故所求概率為1－＝. 2．[2015·新課標全國卷Ⅱ]某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布

21、表． A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 ① B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表 滿意度評 分分組 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90， 100] 頻數(shù) 2 8 14 10 6 (1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)． B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 ② (2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級： 滿意度評分 低于70分 70分到89分 不低于90分 滿意度等級 不滿意 滿意

22、 非常滿意 估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由． 解：(1)如圖所示． 通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散． (2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大． 記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”．由直方圖，得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25. 所以A地區(qū)用戶的滿意

23、度等級為不滿意的概率大． 3．[2016·天津卷]某小組共10人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會． (1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望． 解：(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以，隨機變量X的分布列為 X 0 1 2

24、 P 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 課外拓展閱讀 古典概型與平面向量、幾何、統(tǒng)計等知識的綜合 　　　　　　 　　　　　 　　　　　

25、

26、 古典概型的考查可以和平面向量、幾何、統(tǒng)計等知識相互交匯，在解題中要重視古典概型的計算，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機事件的個數(shù)，然后正確使用古典概型的概率計算公式進行計算． [典

27、例1]　甲、乙分別從底為等腰直角三角形的直三棱柱的9條棱中任選一條，則這2條棱互相垂直的概率為(　　) A. B. C. D. [思路分析]　 [解析]　由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是甲從這9條棱中任選一條，乙從這9條棱中任選一條，共有9×9＝ 81(種)結(jié)果，滿足條件的事件是這兩條棱互相垂直，所有可能情況是： 當甲選底面上的一條直角邊時，乙有5種選法，共有4條直角邊，則共有20種結(jié)果； 當甲選底面上的一條斜邊時，乙有3種選法，共有2條底面的斜邊，則共有6種結(jié)果； 當甲選一條側(cè)棱時，乙有6種選法，共有3條側(cè)棱，則共有18種結(jié)果， 綜上所述，共有20＋6

28、＋18＝44(種)結(jié)果， 故2條棱互相垂直的概率是. [答案]　C 溫馨提示 以棱柱、棱錐及異面直線、距離等立體幾何知識為載體的古典概型求解是高考中的重要題型，題目綜合性較強，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是要考慮所有的位置關(guān)系． [典例2]　設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1,3)． (1)求使得事件“a∥b”發(fā)生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率． [解]　(1)由題意知， m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}． 故(m，n)所有可能的取法共36種． 由a∥b，得n＝3m， 則(m，n)

29、的取法共有2種，即(1,3)，(2,6)． 所以事件“a∥b”發(fā)生的概率為＝. (2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10， 則(m，n)的取法共有6種， 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)． 所以事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率為＝. [典例3]　城市公交車的數(shù)量太多容易造成資源的浪費，太少又難以滿足乘客需求，為此，某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機抽取15人，將他們的候車時間(單位：分鐘)作為樣本分成5組，如下表所示： 組別 候車時間 人數(shù) 一 [0,5) 2 二 [5,10)

30、 6 三 [10,15) 4 四 [15,20) 2 五 [20,25] 1 (1)求這15名乘客的平均候車時間； (2)估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)； (3)若從上表第三、四組的6人中選2人作進一步的問卷調(diào)查，求抽到的2人恰好來自不同組的概率． [思路分析]　 [解]　(1)×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝×157.5＝10.5， 故這15名乘客的平均候車時間為10.5分鐘． (2)由幾何概型的概率計算公式可得，候車時間少于10分鐘的概率為＝， 所以候車時間少于10分鐘的人數(shù)為60×＝32. (3)將第三組乘客編號為a1，a2，a3，a4，第四組乘客編號為b1，b2. 從6人中任選2人的所有可能情況為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15種， 其中2人恰好來自不同組包含8種可能情況， 故所求概率為. - 13 -