《（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.3 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.3 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 理（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §8.3　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 考綱展示?　1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義． 2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理． 3．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題． 考點(diǎn)1　平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 平面的基本性質(zhì) (1)公理1：如果一條直線上的________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)． (2)公理2：過(guò)________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． (3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有________公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線． (4)公理2的三個(gè)推論 推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只

2、有一個(gè)平面； 推論2：經(jīng)過(guò)兩條________直線有且只有一個(gè)平面； 推論3：經(jīng)過(guò)兩條________直線有且只有一個(gè)平面． 答案：(1)兩點(diǎn)　(2)不在一條直線上　(3)一個(gè) (4)相交　平行 (1)[教材習(xí)題改編]直線a，b，c兩兩平行，但不共面，經(jīng)過(guò)其中兩條直線的平面的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．3 C．6 D．0 答案：B (2)[教材習(xí)題改編]兩兩相交的三條直線最多可確定________個(gè)平面． 答案：3 判斷點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題：直接法(直接運(yùn)用公理或定理)． (1)如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90

3、°，BC＝AD，BE＝FA，G，H 分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)． ①四邊形BCHG的形狀是________； ②點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，G中，能共面的四點(diǎn)是________． 答案：①平行四邊形?、贑，D，E，F(xiàn) 解析：①∵G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)， ∴GH綊AD.又BC綊AD，所以GH綊BC， 所以四邊形BCHG為平行四邊形． ②由BE＝FA，G為FA的中點(diǎn)知，BE＝FG， 所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF與CH共面． 又D∈FH，所以C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面． (2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，對(duì)角

4、線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC與BD交于點(diǎn)M，則點(diǎn)O與直線C1M的關(guān)系是________． 答案：點(diǎn)O在直線C1M上 解析：如圖所示，因?yàn)锳1C?平面A1ACC1，O∈A1C，所以O(shè)∈平面A1ACC1，而O是平面BDC1與直線A1C的交點(diǎn)，所以O(shè)∈平面BDC1，所以點(diǎn)O在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上．因?yàn)锳C∩BD＝M，所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1，所以平面BDC1∩平面A1ACC1＝C1M，所以O(shè)∈C1M. [典題1]　(1)以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) ①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線； ②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，

5、C，E共面，則A，B，C，D，E共面； ③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　B [解析]　 ①顯然是正確的，可用反證法證明；②中若A，B，C三點(diǎn)共線，則A，B，C，D，E五點(diǎn)不一定共面；③構(gòu)造長(zhǎng)方體如圖，顯然b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面．故只有①正確． (2)已知空間四邊形ABCD(如圖所示)， E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且CG＝BC，CH＝DC. 求證：①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； ②三直線FH，EG，AC

6、共點(diǎn)． [證明]　①連接EF，GH， ∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)， ∴EF∥BD. 又∵CG＝BC，CH＝DC， ∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． ②易知FH與直線AC不平行，但共面， ∴設(shè)FH∩AC＝M， ∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC. 又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG， ∴FH，EG，AC共點(diǎn)． [點(diǎn)石成金]　共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明 (1)證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合

7、． (2)證明點(diǎn)共線問(wèn)題的兩種方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上． (3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)． 考點(diǎn)2　空間兩直線的位置關(guān)系 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (1)[教材習(xí)題改編]已知直線a與b平行，直線c與b相交，則直線a與c的位置關(guān)系是________． 答案：相交或異面 解析：當(dāng)直線c在直線a與b確定的平面內(nèi)時(shí)，a與c相交；當(dāng)直線c與直線a，b確定的平面相交時(shí)，a與c異面． (2)[教材習(xí)題改編]如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，PQ是異面

8、直線A1D與AQ的公垂線，則直線PQ與BD1的位置關(guān)系為_(kāi)_______．(填序號(hào)) ①平行；②異面；③相交但不垂直；④垂直． 答案：① 解析：∵A1D∥B1C，PQ⊥A1D，∴PQ⊥B1C. 又∵PQ⊥AC，∴PQ⊥平面AB1C. ∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥BD1， 同理B1C⊥BD1，∴BD1⊥平面AB1C， ∴PQ∥BD1. 兩條直線關(guān)系判斷誤區(qū)：異面直線概念、理解不透． 下列關(guān)于異面直線的說(shuō)法正確的是________． ①若a?α，b?β，則a與b是異面直線； ②若a與b異面，b與c異面，則a與c異面； ③若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面；

9、 ④若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面． 答案：④ 解析：①②③中的兩直線可能平行、相交或異面，由異面直線的定義可知④正確． [考情聚焦]　空間兩條直線位置關(guān)系的判斷是每年高考?？純?nèi)容，并且常作為某一選項(xiàng)來(lái)考查，其中異面直線及平行關(guān)系是考查的重點(diǎn)． 主要有以下幾個(gè)命題角度： 角度一 兩直線位置關(guān)系的判定 [典題2]　(1)已知a，b，c為三條不重合的直線，已知下列結(jié)論： ①若a⊥b，a⊥c，則b∥c； ②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c； ③若a∥b，b⊥c，則a⊥c. 其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　B [

10、解析]　解法一：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯(cuò)誤，③顯然成立． 解法二：構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體模型可快速判斷，①②錯(cuò)誤，③正確． (2) [2017·浙江余姚模擬]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A．MN與CC1垂直 B．MN與AC垂直 C．MN與BD平行 D．MN與A1B1平行 [答案]　D [解析]　如圖，連接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正確； ∵CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴CC1⊥BD， ∴MN與CC1垂直，故

11、A正確； ∵AC⊥BD，MN∥BD， ∴MN與AC垂直，故B正確； ∵A1B1與BD異面，MN∥BD， ∴MN與A1B1不可能平行，故D錯(cuò)誤．故選D. [點(diǎn)石成金]　點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，準(zhǔn)確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直． 角度二 異面直線的判定 [典題3]　(1)在下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號(hào)) ①　 　　?、? 　　 ③　　 　?、? [答案]?、?/p>

12、④ [解析]　圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面． (2)如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對(duì)數(shù)為_(kāi)_______對(duì)． [答案]　3 [解析]　平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故

13、互為異面的直線有且只有3對(duì)． [點(diǎn)石成金]　異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到． 考點(diǎn)3　異面直線所成角 [典題4]　如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　連接BC1，易證BC1∥AD1， 則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角． 連接A1C1，

14、由AB＝1知， AA1＝2，A1C1＝，A1B＝BC1＝， 故cos∠A1BC1＝＝. 則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為. [題點(diǎn)發(fā)散1]　將題干條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，若平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)A1的距離為1”，問(wèn)題不變． 解：因平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到A1的距離為1，則AA1＝1. 此時(shí)正四棱柱變?yōu)檎襟wABCD－A1B1C1D1， 由圖知A1B與AD1所成角為∠A1BC1，連接A1C1. 則△A1BC1為等邊三邊形， ∴∠A1BC1＝60°， ∴cos∠A1BC1＝， 故異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為. [題點(diǎn)發(fā)散2]

15、　將題干條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為”，試求的值． 解：設(shè)＝t，則AA1＝tAB. ∵AB＝1，∴AA1＝t. ∵A1C1＝，A1B＝＝BC1， ∴cos∠A1BC1＝＝， ∴t＝3，即＝3. [題點(diǎn)發(fā)散3]　將題干條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，且平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)A1的距離為1”，則是否存在過(guò)頂點(diǎn)A的直線 l，使l與棱AB，AD，AA1所成角都相等．若存在，存在幾條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：由條件知，此時(shí)正四棱柱為正方體． 如圖，連接對(duì)角線AC1， 顯然AC1與棱AB，AD，AA1所成角

16、都相等，聯(lián)想正方體的其他體對(duì)角線． 如連接BD1，則BD1與棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因?yàn)锽B1∥AA1，BC∥AD， 所以體對(duì)角線BD1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等． 同理體對(duì)角線A1C，DB1也與棱AB，AD，AA1所成角都相等，故過(guò)A作BD1，A1C，DB1的平行線都滿足，故這樣的直線可以作4條． [點(diǎn)石成金]　用平移法求異面直線所成的角的三個(gè)步驟 (1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)

17、角才是要求的角. 已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD所成的角為60°，點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角的大?。? 解：解法一：如圖，取AC的中點(diǎn)P，連接PM，PN， 則PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD， 所以∠MPN(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角． 則∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. 若∠MPN＝60°， 因?yàn)镻M∥AB， 所以∠PMN(或其補(bǔ)角)是AB與MN所成的角． 又因?yàn)锳B＝CD，所以PM＝PN， 則△PMN是等邊三角形， 所以∠PMN＝60°， 即AB與MN所成的角為60°. 若∠MP

18、N＝120°， 則易知△PMN是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°， 即AB與MN所成的角為30°. 綜上知，直線AB和MN所成的角為60°或30°. 解法二：由AB＝CD，可以把該三棱錐放在長(zhǎng)方體AA1BB1－C1CD1D中進(jìn)行考慮，如圖， 由M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以MN∥AA1， 即∠BAA1(或其補(bǔ)角)為AB與MN所成的角． 連接A1B1交AB于O，所以A1B1∥CD， 即∠AOA1(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角． 所以∠AOA1＝60°或120°. 由矩形AA1BB1的性質(zhì)可得∠BAA1＝60°或30°. 所以直線AB和MN所成的角為60°或30

19、°. [方法技巧]　1.要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)(即“納入法”)． 2．要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線． 3．判定空間兩條直線是異面直線的方法 (1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線． (2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面． 4．求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，

20、異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)． [易錯(cuò)防范]　1.異面直線是“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的直線，不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”． 2．不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定不能丟掉“不共線”條件． 3．兩條異面直線所成角的范圍是. 4．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角． 真題演練集訓(xùn) 1．[2016·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ]平面α過(guò)正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D.

21、 答案：A 解析：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A的平面α與平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，則BD與A1B所成的角為所求角，所以m，n所成角的正弦值為，故選A. 2．[2015·安徽卷]已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 答案：D 解析：可以結(jié)合圖形逐項(xiàng)判斷． A項(xiàng)，α，β可能相交，故錯(cuò)誤

22、； B項(xiàng)，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤； C項(xiàng)，若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯(cuò)誤； D項(xiàng)，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故選D. 3．[2014·遼寧卷]已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n?α，則m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α 答案：B 解析：解法一：若m∥α，n∥α，則m，n可能平行、相交或異面，A錯(cuò)；若m⊥α，n?α，則m⊥n，因?yàn)橹本€與平面垂直時(shí)，它垂直于平面內(nèi)任一直線，B正確；若m

23、⊥α，m⊥n，則n∥a或n?α，C錯(cuò)；若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，D錯(cuò)． 解法二：如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α. A項(xiàng)中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，n∥α，但m與n是相交直線，故A錯(cuò)．B項(xiàng)中，m⊥α，n?α，∴m⊥n，這是線面垂直的性質(zhì)，故B正確．C項(xiàng)中，若m為AA′，n為AB，滿足m⊥α，m⊥n，但n?α，故C錯(cuò)．D項(xiàng)中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D錯(cuò)． 4. [2015·浙江卷]如圖，在三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別

24、為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________． 答案： 解析：如圖所示，連接DN，取線段DN的中點(diǎn)K，連接MK，CK. ∵ M為AD的中點(diǎn)， ∴ MK∥AN， ∴ ∠KMC即為異面直線AN，CM所成的角． ∵ AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點(diǎn)， 由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2， ∴ MK＝. 在Rt△CKN中，CK＝ ＝. 在△CKM中，由余弦定理，得 cos∠KMC＝＝. 課外拓展閱讀 構(gòu)造平面研究直線相交問(wèn)題 [典例1]　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1

25、的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條． [思路分析]　 [解析]　解法一：如圖所示，在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有一個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置時(shí)就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這三條異面直線都有交點(diǎn)，所以在空間中與這三條直線都相交的直線有無(wú)數(shù)條． 解法二：在A1D1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面α，因?yàn)镃D與平面α不平行，所以它們相交， 設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線． 由點(diǎn)P的任意性知，有無(wú)數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交． [答案]　無(wú)數(shù) 溫馨提示 1．本題難度不大，但比較靈活．對(duì)平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系的考查難度一般都不會(huì)太大． 2．注意本題解法較多，但關(guān)鍵在于構(gòu)造平面，但不少學(xué)生不會(huì)構(gòu)造平面，因此失分較多． - 16 -