《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 文 北師大版（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1

2、 1 第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 [考綱傳真]　1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第69頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．等差數(shù)列的概念 (1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那

3、么這個(gè)數(shù)列就為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)為等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示． 數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N＋，d為常數(shù))，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))． (2)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項(xiàng)，即A＝. 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 (1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)D． 通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)， (2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N＋，a1為首項(xiàng)，d為公差，an為第n項(xiàng))． 3．等

4、差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和． (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則有am＋an＝ap＋aq. (2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列． (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差為md的等差數(shù)列． (4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． 4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)

5、)． [知識(shí)拓展] 1．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，d＜0，則Sn有最大值，即所有正項(xiàng)之和最大，若a1＜0，d＞0，則Sn有最小值，即所有負(fù)項(xiàng)之和最小． 2．兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則有＝. 3．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列也是等差數(shù)列． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(　　) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋a

6、n＋2. (　　) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a3＝0，則公差d等于(　　) A．－1 B．1　　　　　 C．2　　　　　 D．－2 D　[依題意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故選D．] 3．(20xx·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11

7、 A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.] 4．(20xx·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 C　[法一：∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故選C． 法二：∵{an}是等差數(shù)列， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差d′

8、＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故選C．] 5．(教材改編)在100以內(nèi)的正整數(shù)中有__________個(gè)能被6整除的數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090161】 16　[由題意知，能被6整除的數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}， 則a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n. 由an＝6n≤100，即n≤16＝16， 則在100以內(nèi)有16個(gè)能被6整除的數(shù)．] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第70頁) 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 　(1)(20xx·鄭州模擬)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4S4，則a10＝(　　

9、) A．　　　　 B．　　　　 C．10　　　　 D．12 (2)(20xx·昆明模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090162】 A．9 B．10 C．11 D．15 (1)B　(2)B　[(1)∵公差為1， ∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝， ∴a10＝a1＋9d＝＋9＝. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意 解得 ∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m

10、＝10.] [規(guī)律方法]　1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用． 2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法，稱為基本量法． [變式訓(xùn)練1]　(1)(20xx·婁底模擬)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為d(d∈N*)的等差數(shù)列，若81是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則公差不可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝__________. (1)B

11、　(2)－72　[(1)∵數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為d(d∈N*)的等差數(shù)列，∴an＝1＋(n－1)d， ∵81是該數(shù)列中的一項(xiàng)，∴81＝1＋(n－1)d， ∴n＝＋1， ∵d，n∈N*，∴d是80的因數(shù)，故d不可能是3.故選B． (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 由已知，得 解得 ∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.] 等差數(shù)列的判定與證明 　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． (2)求數(shù)列{an}中的通項(xiàng)公式an. [解

12、]　(1)證明：因?yàn)閍n＝2－(n≥2，n∈N*)， bn＝. 所以n≥2時(shí)，bn－bn－1＝－ ＝－＝－＝1. 5分 又b1＝＝－， 所以數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列. 7分 (2)由(1)知，bn＝n－， 9分 則an＝1＋＝1＋. 12分 [規(guī)律方法]　1.等差數(shù)列的四種判斷方法： (1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(解答題) (2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．(解答題) (3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(小題)

13、 (4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(小題) 2．用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用兩個(gè)式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時(shí)，a0無定義． [變式訓(xùn)練2]　(1)若{an}是公差為1的等差數(shù)列，則{a2n－1＋2a2n}是(　　) A．公差為3的等差數(shù)列 B．公差為4的等差數(shù)列 C．公差為6的等差數(shù)列 D．公差為9的等差數(shù)列 (2)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝

14、 (1)B　(2)A　[(1)an＝n＋a1－1 ∴a2n－1＝2n＋a1－2，a2n＝2n＋a1－1 ∴a2n－1＋2a2n＝4n＋2a1－3 因此數(shù)列{a2n－1＋2an}是公差為4的等差數(shù)列，故選B． (2)由已知式＝＋可得－＝－，知是首項(xiàng)為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝.] 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 　(1)(20xx·江西紅色七校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a7＝5＋a9，則S9的值為(　　) A．27 B．36 C．45 D．54 (2)(20xx·洛陽統(tǒng)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝

15、9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 (3)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2 014，－＝6，則S2 017＝________. (1)C　(2)B　(3)4 034　[(1)由2a7＝5＋a9得a5＋a9＝5＋a9，所以a5＝5，所以S9＝＝9a5＝45. (2)由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列． 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45，故選B． (3)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列．

16、設(shè)其公差為D．則－＝6d＝6，∴d＝1. 故＝＋2 016d＝－2 014＋2 016＝2， ∴S2 017＝2×2 017＝4 034.] [規(guī)律方法]　應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點(diǎn) (1)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性質(zhì)． (2)掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個(gè)性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認(rèn)真分析項(xiàng)數(shù)、序號(hào)、項(xiàng)的值的特征，這是解題的突破口． [變式訓(xùn)練3]　(1)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S11＝(　　) A．18 B．99

17、 C．198 D．297 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5＝10，S10＝30，則S15＝(　　) A．60 B．70 C．90 D．40 (3)(20xx·佛山模擬)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090163】 (1)B　(2)A　(3)10　[(1)由a3＋a9＝27－a6得2a6＝27－a6，所以a6＝9 所以S11＝＝11a6＝99. (2)因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差數(shù)列，設(shè)S15＝x，則1

18、0,20，x－30成等差數(shù)列，所以2×20＝10＋(x－30)，所以x＝60，即S15＝60. (3)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.] 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值 　(1)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. (2)等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時(shí)，Sn取得最大值． (1)130　[由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8

19、為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5時(shí)，an≤0，當(dāng)n＞5時(shí)，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝S15－2S5＝130.] (2)法一：由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d， 4分 即d＝－a1. 7分 從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1， 因?yàn)閍1>0，所以－<0. 9分 故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大. 12分 法二：由法一可知，d＝－a1. 要使Sn最大，則有 5分 即 9分 解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大. 12分 法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，

20、即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 5分 故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0， 9分 所以a7>0，a8<0，所以當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大. 12分 [規(guī)律方法]　求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法 1．函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解． 2．鄰項(xiàng)變號(hào)法： (1)當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； (2)當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. [變式訓(xùn)練4]　(1)(20xx·孝義模擬)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＋a5

21、＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使Sn達(dá)到最大值的n是(　　) A．21 B．20 C．19 D．18 (2)已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)和為－3，前三項(xiàng)的積為8. ①求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； ②若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090164】 B　[(1)因?yàn)閍1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝－2，a1＝39.由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤，所以當(dāng)n＝20時(shí)Sn達(dá)到最

22、大值，故選B．] (2)①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2D． 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7. ②當(dāng)an＝－3n＋5時(shí)，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列； 當(dāng)an＝3n－7時(shí)，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件． 故|an|＝|3n－7|＝ 記數(shù)列{3n－7}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝＝n2－n 當(dāng)n≤2時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－n2＋n 當(dāng)n≥3時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝n2－n＋10 綜上知：Tn＝