《高考數(shù)學(xué) 17-18版 附加題部分 第1章 第59課 課時(shí)分層訓(xùn)練3》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 17-18版 附加題部分 第1章 第59課 課時(shí)分層訓(xùn)練3(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時(shí)分層訓(xùn)練(三)
A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
(建議用時(shí):30分鐘)
1.設(shè)(5x-)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M,二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,若M-N=240,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng). 【導(dǎo)學(xué)號:62172324】
[解] 依題意得,M=4n=(2n)2,N=2n,
于是有(2n)2-2n=240,(2n+15)(2n-16)=0,
∴2n=16=24,
解得n=4.
要使二項(xiàng)式系數(shù)C最大,只有r=2,
故展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為
T3=C(5x)2·(-)2=150x3.
2.設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)
2、的最大值為b.若13a=7b,求m的值.
[解] (x+y)2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C,
∴a=C,同理,b=C.
∵13a=7b,∴13·C=7·C.
∴13·=7·.
∴m=6
3.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
求:(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6;
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 【導(dǎo)學(xué)號:62172325】
[解] 令x=1,則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.①
令x=-1,則a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=3
3、7.②
(1)∵a0=C=1,
∴a1+a2+a3+…+a7=-2.
(2)(①-②)÷2,
得a1+a3+a5+a7
==-1 094.
(3)(①+②)÷2,
得a0+a2+a4+a6==1 093.
(4)法一:∵(1-2x)7展開式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187.
法二:|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|,
即(1+2x)7展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和,令x=1,
∴|a0|+|a1|
4、+|a2|+…+|a7|=37=2 187.
4.已知二項(xiàng)式n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為256.
(1)求n;
(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).
[解] (1)由題意得C+C+C+…+C=256,∴2n=256,解得n=8.
(2)該二項(xiàng)展開式中的第r+1項(xiàng)為
Tr+1=C()8-r·r=C·x,
令=0,得r=2,此時(shí),常數(shù)項(xiàng)為T3=C=28.
5.若n展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,求:
(1)展開式中所有x的有理項(xiàng);
(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).
[解] 易求得展開式前三項(xiàng)的系數(shù)為1,C,C.
據(jù)題意得2×C=1+C?n=8.
(1)設(shè)展開式中的有理項(xiàng)為Tr+1,
由
5、Tr+1=C()8-rr=rCx,
∴r為4的倍數(shù),
又0≤r≤8,∴r=0,4,8.
故有理項(xiàng)為T1=0Cx=x4,
T5=4Cx=x,
T9=8Cx=.
(2)設(shè)展開式中Tr+1項(xiàng)的系數(shù)最大,則:
rC≥r+1C且rC≥r-1C?r=2或r=3.
故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T3=2Cx=7x,
T4=3Cx=7x.
6.(1)已知2n+2·3n+5n-a能被25整除,求正整數(shù)a的最小值;
(2)求1.028的近似值.(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)
[解] (1)原式=4·6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a
=4(C5n+C5n-1+…+C52+C5+C)+5n-a
6、=4(C5n+C5n-1+…+C52)+25n+4-a,
顯然正整數(shù)a的最小值為4.
(2)1.028=(1+0.02)8≈C+C·0.02+C·0.022+C·0.023≈1.172.
B組 能力提升
(建議用時(shí):15分鐘)
1.(2017·蘇州期中)設(shè)f(x,n)=(1+x)n,n∈N+.
(1)求f(x,6)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng);
(2)n∈N+,化簡C4n-1+C4n-2+C4n-3+…+C40+C4-1;
(3)求證:C+2C+3C+…+nC=n×2n-1.
[解] (1)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)為Cx3=20x3.
(2)C4n-1+C4n-2+C4n-3
7、+…+C40+C4-1
=[C4n+C4n-1+C4n-2+…+C4+C]=(4+1)n=.
(3)證明:因?yàn)閗C=nC,
所以C+2C+3C+…+nC=n(C+C+C+…C)=n×2n-1.
2.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N+)的展開式中x的系數(shù)為11.
(1)求x2的系數(shù)取最小值時(shí)n的值;
(2)當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí),求f(x)展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和.
[解] (1)由已知得C+2C=11,∴m+2n=11,
x2的系數(shù)為
C+22C=+2n(n-1)
=+(11-m)
=2+.
∵m∈N+,∴m=5時(shí),x2的系數(shù)取得最小值22
8、,此時(shí)n=3.
(2)由(1)知,當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí),
m=5,n=3,
∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3.
設(shè)這時(shí)f(x)的展開式為
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,
令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33=59,
令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,
兩式相減得2(a1+a3+a5)=60,
故展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為30.
3.(2017·南京模擬)設(shè)集合S={1,2,3,…,n}(n∈N+,n≥2),A,B是S的兩個(gè)非空子集,且滿足集合A中的最大數(shù)小于集合B中的最小數(shù),記滿足條件的集合對(A,
9、B)的個(gè)數(shù)為Pn.
(1)求P2,P3的值;
(2)求Pn的表達(dá)式.
[解] (1)當(dāng)n=2時(shí),即S={1,2},此時(shí)A={1},B={2},所以P2=1.
當(dāng)n=3時(shí),即S={1,2,3}.若A={1},則B={2},或B={3},或B={2,3};
若A={2}或A={1,2},則B={3}.所以P3=5.
(2)當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時(shí),集合A的其余元素可在1,2,…,k-1中任取若干個(gè)(包含不取),所以集合A共有C+C+C+…+C=2k-1種情況.
此時(shí),集合B的元素只能在k+1,k+2,…,n中任取若干個(gè)(至少取1個(gè)),所以集合B共有C+C+C+…+C=2n-k-
10、1種情況,
所以,當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時(shí),
集合對(A,B)共有2k-1(2n-k-1)=2n-1-2k-1對.
當(dāng)k依次取1,2,3,…,n-1時(shí),可分別得到集合對(A,B)的個(gè)數(shù),求和可得
Pn=(n-1)·2n-1-(20+21+22+…+2n-2)=(n-2)·2n-1+1.
4.(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一)在楊輝三角形中,從第3行開始,除1以外,其它每一個(gè)數(shù)值是它上面的二個(gè)數(shù)值之和,其它每一個(gè)數(shù)值是它上面的二個(gè)數(shù)值之和,這三角形數(shù)陣開頭幾行如圖59-2所示.
圖59-2
(1)在楊輝三角形中是否存在某一行,且該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比為3∶4∶5?若存在,試求出
11、是第幾行;若不存在,請說明理由;
(2)已知n、r為正整數(shù),且n≥r+3.
求證:任何四個(gè)相鄰的組合數(shù)C,C,C,C不能構(gòu)成等差數(shù)列.
[解] (1)楊輝三角形的第n行由二項(xiàng)式系數(shù)C,k=0,1,2,…,n組成.
如果第n行中有==,==,
那么3n-7k=-3,4n-9k=5,
解這個(gè)聯(lián)立方程組,得k=27,n=62.
即第62行有三個(gè)相鄰的數(shù)C,C,C的比為3∶4∶5.
(2)假設(shè)有n,r(n≥r+3),使得C,C,C,C成等差數(shù)列,
則2C=C+C,2C=C+C,
即=+,
=+.
所以有=+,
=+,
經(jīng)整理得到n2-(4r+5)n+4r(r+2)+2=0,n2-(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0.
兩式相減可得n=2r+3,
于是C,C,C,C成等差數(shù)列,
而由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知C=C<C=C,
這與等差數(shù)列性質(zhì)矛盾,從而要證明的結(jié)論成立.