《（課標通用）2018年高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.1 函數(shù)及其表示學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（課標通用）2018年高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.1 函數(shù)及其表示學案 理（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §2.1　函數(shù)及其表示 考綱展示?　1.了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念． 2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)． 3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單地應用(函數(shù)分段不超過三段)． 考點1　函數(shù)的概念 1.函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 定義 建立在兩個________A到B的一種確定的對應關系f，使對于集合A中的________一個數(shù)x，在集合B中都有________的數(shù)f(x)和它對應 建立在兩個________A到B的一種確定的對應關系f，使對于集合A中的______

2、__元素x，在集合B中都有________的元素y與之對應 記法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 答案：非空數(shù)集　任意　唯一確定　非空集合　任意一個　唯一確定 2．函數(shù)由定義域、________和值域三個要素構成． 答案：對應關系 3．相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的________和________完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)． 答案：定義域　對應關系 [教材習題改編]以下屬于函數(shù)的有________． ①y＝±x； ②y2＝x＋1； ③y＝＋； ④y＝x2－2(x∈N)． 答案：④ 解析：①②中，對于定義域內(nèi)任意一個數(shù)x，可能有兩個不

3、同的y值，不滿足對應的唯一性，所以①②錯誤；③中，定義域是空集，而函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集，所以③錯誤． 函數(shù)與映射理解的誤區(qū)：唯一性；非空數(shù)集． 如圖表示的是從集合A到集合B的對應，其中________是映射，________是函數(shù)． 　 答案：①②④?、佗? 解析：函數(shù)與映射都要求對于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一確定的元素與之對應，所以③不是映射也不是函數(shù)；①②④表示的對應是映射；①②是函數(shù)，由于④中集合A，B不是數(shù)集，所以不是函數(shù)． [典題1]　(1)下列四個圖象中，是函數(shù)圖象是(　　) A．① B．①③④ C．①②③ D．③④

4、[答案]　B [解析]?、谥挟攛>0時，每一個x的值對應兩個不同的y值，因此不是函數(shù)圖象；①③④中每一個x的值對應唯一的y值，因此是函數(shù)圖象．故選B. (2)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝|x|，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝()2 C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝·，g(x)＝ [答案]　A [解析]　A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)； B中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x(x≥0)， ∴兩函數(shù)的定義域不同； C中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)， ∴兩函數(shù)的定義域不同；

5、 D中，f(x)＝·(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定義域為{x|x≥1}； g(x)＝(x2－1≥0)， g(x)的定義域為{x|x≥1或x≤－1}． ∴兩函數(shù)的定義域不同．故選A. (3)下列集合A到集合B的對應f中： ①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)平方； ②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方； ③A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)； ④A＝R，B＝{正實數(shù)}，f：A中的數(shù)取絕對值． 是從集合A到集合B的函數(shù)的為________． [答案]?、? [解析]?、谥校捎?的開方數(shù)不唯一，因此f不是A到B的函數(shù)；③中

6、，A中的元素0在B中沒有對應元素；④中，A中的元素0在B中沒有對應元素． [點石成金]　函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應法則．這三要素不是獨立的，值域可由定義域和對應法則唯一確定．因此當且僅當定義域和對應法則都相同時，函數(shù)才是同一函數(shù)．特別值得說明的是，對應法則是就效果而言的(判斷兩個函數(shù)的對應法則是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應法則算出的函數(shù)值是否相同)不是指形式上的．即對應法則是否相同，不能只看外形，要看本質(zhì)；若是用解析式表示的，要看化簡后的形式才能正確判斷． 考點2　函數(shù)的定義域 對函數(shù)y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自變量

7、，x的取值范圍A叫做定義域，與x的值對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域． (1)[教材習題改編]函數(shù)f(x)＝＋的定義域為(　　) A．[0,2) B．(2，＋∞) C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 答案：C (2)[教材習題改編]若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(　　) A　　　　　　　　　 　B C　　　　　　　　　 　D 答案：B 定義域問題的兩個易錯點：忽略定義域；化簡后求定義域． (1)已知長方形的周

8、長為12，設一邊長為x，則其面積y關于x的函數(shù)解析式為________． 答案：y＝x(6－x)(0＜x＜6) 解析：因為長方形一邊長為x，則另一邊長為＝6－x，所以y＝x(6－x)．又x＞0,6－x＞0，所以0＜x＜6.如果不考慮x的范圍，會擴大x的范圍，這樣會使實際問題失去意義． (2)函數(shù)y＝的定義域為________． 答案：(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：要使函數(shù)有意義，應使x－1≠0，即x≠1，所以函數(shù)定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)．本題如果對解析式化簡會有y＝＝＝x＋2，從而得函數(shù)定義域為R，所以在求解定義域時，不能對函數(shù)變形、化簡，以免定義域發(fā)生變化．

9、 [考情聚焦]　函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合，它是函數(shù)不可缺少的組成部分，研究函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念．求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)取交集時可借助于數(shù)軸． 主要有以下幾個命題角度： 角度一 求給定函數(shù)解析式的定義域 [典題2]　(1)[2017·山東淄博月考]函數(shù)f(x)＝的定義域是(　　) A．(0,2) B．(0,1)∪(1,2) C．(0,2] D．(0,1)∪(1,2] [答案]　D [解析]　要使函數(shù)有意義，則有 即所以0

10、 (2)[2017·山東青州高三模擬]函數(shù)f(x)＝ln(x－1)＋的定義域為(　　) A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2] [答案]　A [解析]　函數(shù)f(x)＝ln(x－1)＋的定義域為?1

11、2＋1)與f(lg x)是同一個對應法則， 所以1≤lg x≤2，即10≤x≤100， 所以函數(shù)f(lg x)的定義域為[10,100]． (2)[2017·河北唐山模擬]已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,2]，則函數(shù)g(x)＝f＋f的定義域是________． [答案]　 [解析]　因為函數(shù)f(x)的定義域是[0,2]，所以函數(shù)g(x)＝f＋f中的自變量x需要滿足 解得≤x≤， 所以函數(shù)g(x)的定義域是. 角度三 已知定義域確定參數(shù)問題 [典題4]　[2017·安徽合肥模擬]若函數(shù)f(x)＝的定義域為R，則a的取值范圍為________． [答案]　[－1,0] [解

12、析]　函數(shù)f(x)的定義域為R， 所以2x2＋2ax－a－1≥0對x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立， 因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0， 解得－1≤a≤0. [點石成金]　求函數(shù)定義域的兩種方法 方法 解讀 適合題型 直接法 構造使解析式有意義的不等式(組)求解 已知函數(shù)的具體表達式，求f(x)的定義域 續(xù)表 方法 解讀 適合題型 轉(zhuǎn)移法 若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a

13、)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域 已知f(g(x))的定義域，求f(x)的定義域 考點3　求函數(shù)的解析式 函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有：________、________、 ________. 答案：解析法　圖象法　列表法 [典題5]　(1)已知f＝lg x，則f(x)＝________. [答案]　lg (x>1) [解析]　令t＝＋1(t＞1)，則x＝， ∴f(t)＝lg ， 即f(x)＝lg (x＞1)． (2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝______

14、__. [答案]　2x＋7 [解析]　設f(x)＝ax＋b(a≠0)， 則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b， 即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x為何值都成立， ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7. (3)已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝________. [答案]　2x－(x≠0) [解析]　∵2f(x)＋f＝3x，① 以代替①式中的x(x≠0)，得 2f＋f(x)＝.② ①×2－②，得3f(x)＝6x－， ∴f(x)＝2x－(x≠0)． (4)[2017·山東青島一中檢測]奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞

15、)上的表達式為f(x)＝x＋，則在(－∞，0)上f(x)的表達式為f(x)＝________. [答案]　x－ [解析]　設x<0，則－x>0， ∴f(－x)＝－x＋.又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(x)＝－f(－x)＝x－， 即x∈(－∞，0)時，f(x)＝x－. [點石成金]　求函數(shù)解析式的方法 1.已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)＝________. 答案：x2－1(x≥1) 解析：令t＝＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2， 則f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 2．已知f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(

16、x＋2)－f(x)＝4x＋2，則f(x)的解析式為________． 答案：f(x)＝x2－x＋3 解析：設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 又f(0)＝c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3， ∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ∴∴ ∴f(x)＝x2－x＋3. 考點4　分段函數(shù)及其應用 1.分段函數(shù)的定義 若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的________，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù)． 答案：對應關系

17、 2．分段函數(shù)的性質(zhì) (1)分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)解析式中自變量的取值集合的________． (2)分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值的________，它的最大值取各段最大值中最大的，最小值取各段最小值中最小的． (3)分段函數(shù)的單調(diào)性，首先應該判斷各段函數(shù)的單調(diào)性，若每一段函數(shù)單調(diào)性一致，再判斷分界點處函數(shù)值的關系，若符合單調(diào)性定義，則該函數(shù)在整個定義域上單調(diào)遞增或遞減；若不符合，則必須分區(qū)間說明單調(diào)性． 答案：(1)并集　(2)并集 [考情聚焦]　分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，是高考的命題熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為中低檔題． 主要有以下幾個命題角

18、度： 角度一 求分段函數(shù)的函數(shù)值或取值范圍 [典題6] 　[2017·廣東廣州模擬]設函數(shù)f(x)＝則f(f(4))＝________；若f(a)<－1，則a的取值范圍為________． [答案]　5　∪(1，＋∞) [解析]　f(4)＝－2×42＋1＝－31， f(f(4))＝f(－31)＝log2(1＋31)＝5. 當a≥1時，由－2a2＋1<－1，得a2>1， 解得a>1； 當a<1時，由log2(1－a)<－1， 得log2(1－a)

19、] 　對任意實數(shù)a，b定義運算“?”：a?b＝設f(x)＝(x2－1)?(4＋x)，若函數(shù)y＝f(x)＋k的圖象與x軸恰有三個不同交點，則k的取值范圍是(　　) A．(－2,1) B．[0,1] C．[－2,0) D．[－2,1) [答案]　D [解析]　解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3.解x2－1－(4＋x)<1，得－2

20、自變量值的大小選擇相應的對應關系求值，有時每段交替使用求值 解方程或解不等式問題 分類求出各子區(qū)間上的解，再將它們合并在一起，但要檢驗所求是否符合相應各段自變量的取值范圍 求最值或值域問題 先求出每一個子區(qū)間上的最值或值域，然后進行比較得出最大值、最小值，合并得出值域 圖象及其應用 根據(jù)每段函數(shù)的定義區(qū)間和解析式在同一坐標系中作出圖象，然后應用，作圖時要注意每段圖象端點的虛實 [提醒]　解決分段函數(shù)問題的總策略是分段擊破，即對不同的區(qū)間進行分別求解，然后整合. [方法技巧]　1.在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，要緊扣兩點：一是定義域是否相同；二是對應關系是否相同．

21、 2．函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質(zhì)和圖象的基礎．因此，我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先意識． 3．函數(shù)解析式的幾種常用求法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、解方程組法． [易錯防范]　1.求函數(shù)的解析式時要充分根據(jù)題目的類型選取相應的方法，同時要注意函數(shù)的定義域，如已知f()＝x＋1，求函數(shù)f(x)的解析式時，通過換元的方法可得f(x)＝x2＋1，這個函數(shù)的定義域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)． 2．求分段函數(shù)應注意的問題：在求分段函數(shù)的值f(x0)時，首先要判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關系式． 真題演練集訓 1．

22、[2013·大綱全國卷]已知函數(shù)f(x)的定義域為(－1,0)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域為(　　) A．(－1,1) B． C．(－1,0) D． 答案：B 解析：∵f(x)的定義域為(－1,0)，∴－1<2x＋1<0，∴－11，∴ f(log212)＝2log212－1＝＝6. ∴ f(－2)＋f(log2

23、12)＝3＋6＝9.故選C. 3．[2015·浙江卷]存在函數(shù)f(x)滿足：對任意x∈R都有(　　) A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin 2x)＝x2＋x C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1| 答案：D 解析：取特殊值法． 取x＝0，，可得f(0)＝0,1，這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項A錯誤； 取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項B錯誤； 取x＝1，－1，可得f(2)＝2,0，這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項C錯誤； 取f(x)＝，則對任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故選項D正

24、確． 綜上可知，故選D. 4．[2014·山東卷]函數(shù)f(x)＝的定義域為(　　) A. B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞) 答案：C 解析：(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜，故所求的定義域是∪(2，＋∞)． 5．[2014·上海卷]設f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為(　　) A．[－1,2] B．[－1,0] C．[1,2] D．[0,2] 答案：D 解析：∵當x≤0時，f(x)＝(x－a)2， 又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0. 當x>0時，f(x)＝

25、x＋＋a≥2＋a，當且僅當x＝1時等號成立． 要滿足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2， ∴a的取值范圍是0≤a≤2.故選D. 6．[2016·江蘇卷]函數(shù)y＝的定義域是________． 答案：[－3,1] 解析：要使函數(shù)y＝有意義，則3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，則函數(shù)y＝的定義域是[－3,1]． 課外拓展閱讀 已知定義域求參數(shù)問題 [典例1]　已知函數(shù)y＝的定義域為R，求實數(shù)k的值． [解]　函數(shù)y＝的定義域即使k2x2＋3kx＋1≠0的實數(shù)x的集合． 由函數(shù)的定義域為R，得方程k2x2＋3kx＋

26、1＝0無解． 當k＝0時，函數(shù)y＝＝1，函數(shù)的定義域為R，因此k＝0符合題意； 當k≠0時，k2x2＋3kx＋1＝0無解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2<0，不等式不成立．所以實數(shù)k的值為0. 歸納總結 已知函數(shù)的定義域，逆向求解函數(shù)中參數(shù)的取值，需運用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是通過某種轉(zhuǎn)化過程，將一個難以解決的問題轉(zhuǎn)化為一個已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，從而獲解．如本題中將求參問題轉(zhuǎn)化為方程無解的問題． [典例2]　已知函數(shù)y＝(a<0且a為常數(shù))在區(qū)間(－∞，1]上有意義，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　由題意知ax＋1≥0，a<0， 所以x≤

27、－，即函數(shù)的定義域為. 因為函數(shù)在(－∞，1]上有意義， 所以(－∞，1]?， 所以－≥1.又a<0，所以－1≤a<0，即a的取值范圍是[－1,0)． 溫馨提示 函數(shù)在(－∞，1]上有意義，說明函數(shù)的定義域包含區(qū)間(－∞，1]，使函數(shù)有意義的自變量的集合是定義域的子集． 已知分段函數(shù)圖象求解析式 已知函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式y(tǒng)＝f(x)，如果自變量x在不同的區(qū)間上變化時，函數(shù)y＝f(x)的解析式也不同，應分類求解．此時應根據(jù)圖象，結合已學過的基本函數(shù)的圖象，選擇相應的解析式，用待定系數(shù)法求解，其函數(shù)解析式一般為分段函數(shù)．要注意寫解析式時各區(qū)間端點的值，做到不重也不漏．

28、[典例3]　根據(jù)如圖所示的函數(shù)y＝f(x)的圖象，寫出函數(shù)的解析式． [解]　當－3≤x<－1時，函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條線段(右端點除外)， 設f(x)＝ax＋b(a≠0)，將點(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x－； 當－1≤x<1時，同理可設f(x)＝cx＋d(c≠0)， 將點(－1，－2)，(1,1)代入， 可得f(x)＝x－； 當1≤x<2時，f(x)＝1. 綜上f(x)＝ 方法探究 由圖象求函數(shù)的解析式，需充分挖掘圖象中提供的點的坐標，合理利用待定系數(shù)法求解．對于分段函數(shù)，需觀察各段圖象的端點是空心點還是實心點，正確寫出各段解析式對應的自變量的范圍． - 16 -