《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)：第2章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)：第2章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1（40頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第2 2章章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 2.1 概述概述 2.2 2.2 邏輯代數(shù)中的運(yùn)算邏輯代數(shù)中的運(yùn)算 2.3 2.3 邏輯代數(shù)的公式邏輯代數(shù)的公式 2.4 2.4 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 2.5 2.5 邏輯函數(shù)的表達(dá)式邏輯函數(shù)的表達(dá)式 2.6 2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 2.1 2.1 概述概述 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)又稱(chēng)又稱(chēng)布爾代數(shù)，布爾代數(shù)，18491849年由英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治年由英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治. .布布爾爾(George Boole)(George Boole)首先提出。首先提出。它把事物間邏輯關(guān)系簡(jiǎn)它把事物間邏輯關(guān)系簡(jiǎn)化為符號(hào)間的數(shù)學(xué)運(yùn)算化為符號(hào)間的數(shù)

2、學(xué)運(yùn)算。又因?yàn)椴紶柎鷶?shù)中的常量、變量都只有又因?yàn)椴紶柎鷶?shù)中的常量、變量都只有“真真”（TrueTrue）和）和“假假”（FalseFalse）兩種取值，所以也稱(chēng)為）兩種取值，所以也稱(chēng)為二值代二值代數(shù)數(shù)。后來(lái)被廣泛用于開(kāi)關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與后來(lái)被廣泛用于開(kāi)關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)，所以也稱(chēng)為設(shè)計(jì)，所以也稱(chēng)為開(kāi)關(guān)代數(shù)開(kāi)關(guān)代數(shù)或或邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)。一、三種基本邏輯關(guān)系：一、三種基本邏輯關(guān)系： 1.1.與邏輯：與邏輯：2.2.或邏輯：或邏輯：3.3.非邏輯：非邏輯：1.1.與邏輯：與邏輯： 所有條件同時(shí)具備，結(jié)果才發(fā)生。所有條件同時(shí)具備，結(jié)果才發(fā)生。ABEL(a) (a) 說(shuō)明與邏輯的

3、電路說(shuō)明與邏輯的電路開(kāi)關(guān)閉合開(kāi)關(guān)閉合：條件（原因）：條件（原因）燈亮燈亮：事件（結(jié)果）：事件（結(jié)果）假設(shè)假設(shè): :“1 1” 表示開(kāi)關(guān)閉合或燈亮；表示開(kāi)關(guān)閉合或燈亮； “0 0” 表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)或燈不亮。表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)或燈不亮。邏輯真值表邏輯真值表A BL 0 00 0 10 1 00 1 11ABEL若用邏輯表達(dá)式來(lái)描述，則可寫(xiě)為：若用邏輯表達(dá)式來(lái)描述，則可寫(xiě)為：L = A B與邏輯的算符與邏輯的算符: “” “ ” “” “” “AND”讀作讀作“乘乘”，邏輯乘的算符通?？梢允÷圆粚?xiě)。，邏輯乘的算符通?？梢允÷圆粚?xiě)。與運(yùn)算的規(guī)則：與運(yùn)算的規(guī)則： 輸入有輸入有0，輸出為，輸出為0；輸入全；輸入全

4、1，輸出為，輸出為1。 與運(yùn)算可以推廣到多變量：與運(yùn)算可以推廣到多變量： L = A B C00=0 01=0 10=0 11=1即滿足以下規(guī)則：即滿足以下規(guī)則：2.2.或邏輯：或邏輯： 只要具備一個(gè)或一個(gè)以上條件，只要具備一個(gè)或一個(gè)以上條件， 結(jié)果就發(fā)生。結(jié)果就發(fā)生。ABEL(b) (b) 說(shuō)明或邏輯的電路說(shuō)明或邏輯的電路開(kāi)關(guān)閉合開(kāi)關(guān)閉合：條件（原因）：條件（原因）燈亮燈亮：事件（結(jié)果）：事件（結(jié)果）ABEL假設(shè)假設(shè): :“1 1” 表示開(kāi)關(guān)閉合或燈亮；表示開(kāi)關(guān)閉合或燈亮； “0 0” 表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)或燈不亮。表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)或燈不亮。邏輯真值表邏輯真值表A BL 0 00 0 11 1 01 1

5、 11用邏輯表達(dá)式來(lái)描述，可寫(xiě)為：用邏輯表達(dá)式來(lái)描述，可寫(xiě)為： LA + B或邏輯的算符：或邏輯的算符：“+”、“”、“”、“OR”讀作讀作“加加”?；蜻\(yùn)算的規(guī)則為：或運(yùn)算的規(guī)則為：或運(yùn)算也可以推廣到多變量：或運(yùn)算也可以推廣到多變量：L=A+B+C輸入有輸入有1，輸出為，輸出為1；輸入全；輸入全0，輸出為，輸出為0。即滿足以下規(guī)則：即滿足以下規(guī)則： 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1AELR(c) (c) 說(shuō)明非邏輯的電路說(shuō)明非邏輯的電路開(kāi)關(guān)閉合開(kāi)關(guān)閉合：條件（原因）：條件（原因）燈亮燈亮：事件（結(jié)果）：事件（結(jié)果）3.3.非邏輯：非邏輯： 條件具備，結(jié)果就不發(fā)生。條件具備，結(jié)果就

6、不發(fā)生。AELRAL01 10假設(shè)假設(shè): :“1 1” 表示開(kāi)關(guān)閉合或燈亮；表示開(kāi)關(guān)閉合或燈亮； “0 0” 表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)或燈不亮。表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)或燈不亮。邏輯真值表邏輯真值表AL 用邏輯表達(dá)式來(lái)描述，可寫(xiě)為：用邏輯表達(dá)式來(lái)描述，可寫(xiě)為： 非邏輯的算符用非邏輯的算符用“”表示，讀作表示，讀作“非非”。非運(yùn)算的規(guī)則為：非運(yùn)算的規(guī)則為：10 01基本邏輯運(yùn)算的圖形符號(hào)：基本邏輯運(yùn)算的圖形符號(hào)： 與邏輯與邏輯或邏輯或邏輯非邏輯非邏輯國(guó)標(biāo)國(guó)標(biāo)曾用曾用美國(guó)美國(guó)ABFABF1AFABF+ABFAFABFAFABF正邏輯與負(fù)邏輯：正邏輯與負(fù)邏輯：正邏輯：低電平用邏輯正邏輯：低電平用邏輯“0”表示，表示， 高電

7、平用邏輯高電平用邏輯“1”表示。表示。負(fù)邏輯：低電平用邏輯負(fù)邏輯：低電平用邏輯“1”表示，表示， 高電平用邏輯高電平用邏輯“0”表示。表示。2.2.3 2.2.3 復(fù)合邏輯運(yùn)算復(fù)合邏輯運(yùn)算由兩個(gè)或兩個(gè)以上基本運(yùn)算構(gòu)成的邏輯運(yùn)算。由兩個(gè)或兩個(gè)以上基本運(yùn)算構(gòu)成的邏輯運(yùn)算。BAF ABF CDABF BABABAF F = A B B=BAAB 或非運(yùn)算：或非運(yùn)算：與非運(yùn)算：與非運(yùn)算：與或非運(yùn)算：與或非運(yùn)算：異或運(yùn)算：異或運(yùn)算：同或運(yùn)算：同或運(yùn)算：A B B BA異或和同或互為反函數(shù)：異或和同或互為反函數(shù)：A B BBA 國(guó)標(biāo)國(guó)標(biāo)曾用曾用美國(guó)美國(guó)與非邏輯與非邏輯或非邏輯或非邏輯與或非與或非邏輯邏輯異

8、或邏輯異或邏輯同或邏輯同或邏輯ABFABFABFABF+ABFABFABFCDABFCDFABCD=1ABF=ABFABFABFABFABF123456ABCD654321DCBATitleNumberRevisionSizeBDate:14-Feb-2002Sheet of File:C:Program FilesDesign Explorer 99 SELibraryYangHengXinMyDesign.ddbDrawn By:&1ABFFFAB11BAFBA BAFBA BAABFBA 1 1位二進(jìn)制數(shù)比較單元位二進(jìn)制數(shù)比較單元請(qǐng)寫(xiě)出輸出函數(shù)的表達(dá)式并列出對(duì)應(yīng)真值表。請(qǐng)寫(xiě)出輸出函數(shù)的表

9、達(dá)式并列出對(duì)應(yīng)真值表。 123456ABCD654321DCBATitleNumberRevisionSizeBDate:14-Feb-2002Sheet of File:C:Program FilesDesign Explorer 99 SELibraryYangHengXinMyDesign.ddbDrawn By:=1=1&1iiiii-1ABCCS圖示：全加器電路圖示：全加器電路 Si= Ai Bi Ci-1 Ci= Ai Bi + Ci-1 ( Ai Bi )請(qǐng)寫(xiě)出輸出函數(shù)請(qǐng)寫(xiě)出輸出函數(shù)Si和和Ci的表達(dá)式：的表達(dá)式： 123456ABCD654321DCBATitleNumberR

10、evisionSizeBDate:14-Feb-2002Sheet of File:C:Program FilesDesign Explorer 99 SELibraryYangHengXinMyDesign.ddbDrawn By:ABBCF&F = AB BC請(qǐng)寫(xiě)出輸出函數(shù)的表達(dá)式并列出對(duì)應(yīng)真值表。請(qǐng)寫(xiě)出輸出函數(shù)的表達(dá)式并列出對(duì)應(yīng)真值表。 2.3 2.3 邏輯代數(shù)的公式邏輯代數(shù)的公式 2.3.1 基本公式基本公式 ： 1.1.自等律自等律 A + 0 = A A 1 = A 2.2.吸收律吸收律 A + 1 = 1 A 0 = 0 3.3.重疊律重疊律 A + A = A A A = A

11、4.4.互補(bǔ)律互補(bǔ)律 5.5.還原律還原律 A = A A + A = 1 A A = 06.6.交換律交換律 A + B = B + A A B = B A 7.7.結(jié)合律結(jié)合律 A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) A B C= (A B) C = A (B C)8.8.分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC= (A + B) (A + C) 9.9.反演律反演律 A + B = A B AB = A + B 反演律：對(duì)變量之和求反等于反變量之積；反演律：對(duì)變量之和求反等于反變量之積； 對(duì)變量這積求反等于反變量之和。對(duì)變量這

12、積求反等于反變量之和。 該定理針對(duì)多個(gè)變量依然適用。該定理針對(duì)多個(gè)變量依然適用。 基本公式的正確性可以用基本公式的正確性可以用列真值表的方法加以證明列真值表的方法加以證明； 對(duì)同一基本公式左、右兩列存在對(duì)同一基本公式左、右兩列存在對(duì)偶關(guān)系對(duì)偶關(guān)系（后述）。（后述）。例例2.3.1 試用試用真值表真值表證明公式：證明公式：A+BC=(A+B)(A+C)。A B CA+BC (A+B)(A+C)0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1練習(xí)：練習(xí)： 試用真值表證明下列等式。試用真值表證明下列等式。

13、(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)A B C 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1A B+B C+A CABC+A B C課后習(xí)題課后習(xí)題2.22.2（1 1） 試用真值表證明下列等式。試用真值表證明下列等式。（1）A B+B C+A C=ABC+ A B C2.3.3 常用公式常用公式 2. 消項(xiàng)公式消項(xiàng)公式 A + AB = A1.合并相鄰項(xiàng)公式合并相鄰項(xiàng)公式ABAAB 3. 消去互補(bǔ)因子公式消去互補(bǔ)因子公式 BABAA 推廣舉例：推廣舉例：ABCDA

14、BABCD 推廣舉例：推廣舉例：ABABCDAB 推廣舉例：推廣舉例：CDABCDABAB 4. 多余項(xiàng)（生成項(xiàng)）公式多余項(xiàng)（生成項(xiàng)）公式AB + AC + BC = AB +AC證明證明：AB + AC + BC = AB + AC + ( A + A )BC= AB + AC + ABC + ABC= AB + AC推廣舉例：推廣舉例：CAABBCDEFGBCCAABBCDEFGCAAB 2.4 2.4 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 一、代入規(guī)則：一、代入規(guī)則： 適用于等式適用于等式設(shè)設(shè) F1( x1, x2, ,xn ) = F2( x1,x2, ,xn)則則 F1( G, x2

15、, ,xn ) = F2( G,x2, ,xn)例：已知例：已知 AB + AB = A 若令若令G = AB, H = CD并把等式兩邊的并把等式兩邊的A、B 分別用函數(shù)分別用函數(shù)G、H 代替，代替，則有：則有：ABCD + ABCD = AB二、反演規(guī)則二、反演規(guī)則 ： 用于求反函數(shù)用于求反函數(shù) F F + 1 0 A A+ 0 1A A注意：注意： (1) (1) 與運(yùn)算優(yōu)先或運(yùn)算，與運(yùn)算優(yōu)先或運(yùn)算，若有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)若有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi) (2) (2) 不屬于單個(gè)變量上不屬于單個(gè)變量上的非號(hào)，在變換時(shí)應(yīng)保的非號(hào)，在變換時(shí)應(yīng)保留留 摩根定律是反演規(guī)則的特例，兩者均可摩根定律是反演規(guī)則的

16、特例，兩者均可用來(lái)求反函數(shù)。用來(lái)求反函數(shù)。 例例2.4.2 若若 F = A+ BC + 1， 試用反演規(guī)則求反函數(shù)試用反演規(guī)則求反函數(shù) F。例例2.4.3 若若 F = A BC + B+C D + E， 試用反演規(guī)則求反函數(shù)試用反演規(guī)則求反函數(shù) F。補(bǔ)充補(bǔ)充：試用反演規(guī)則求下列函數(shù)的反函數(shù)。：試用反演規(guī)則求下列函數(shù)的反函數(shù)。)(DCBAF 2）F = A + B+C D DCBAF 1）F = A B + C D，3）F=AB+C D+ACF=(A+B) C+D(A+C)4）F=A+C ( BC + D)(B+C)+ADF=(A C +B+C D+B C)(A+D)常用關(guān)系式：常用關(guān)系式：

17、(1) F = F；(2) 若若 F = G ，則，則 F = G ；反之也成立。；反之也成立。三、對(duì)偶規(guī)則三、對(duì)偶規(guī)則 ： 用于等式的證明用于等式的證明 F F + 1 0 + 0 1注意：注意： (1) (1) 與運(yùn)算優(yōu)先或運(yùn)算，與運(yùn)算優(yōu)先或運(yùn)算，若有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)若有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi) (2) (2) 不屬于單個(gè)變量上不屬于單個(gè)變量上的非號(hào)，在變換時(shí)應(yīng)保的非號(hào)，在變換時(shí)應(yīng)保留留 例例2.4.4(1) F=A ( B + C)，求其對(duì)偶函數(shù)。，求其對(duì)偶函數(shù)。例例2.4.4(2) F=A + B C，求其對(duì)偶函數(shù)。，求其對(duì)偶函數(shù)。補(bǔ)充補(bǔ)充：求下列函數(shù)的對(duì)偶數(shù)式。：求下列函數(shù)的對(duì)偶數(shù)式。1）F

18、=A B +A B (AC+CD)2) F=A B+D +(AC+BD)E常用關(guān)系式：常用關(guān)系式：(1) ( F) = F；(2) 若若 F = G ，則，則 F = G ；反之也成立。；反之也成立。將將 F中的變量原反互換后即可得到中的變量原反互換后即可得到 F ；將將 F中的變量原反互換后即可得到中的變量原反互換后即可得到 F。F F + 1 0 A A+ 0 1A AF F + 1 0 + 0 1反演式和對(duì)偶式間的關(guān)系：反演式和對(duì)偶式間的關(guān)系：補(bǔ)充補(bǔ)充：直接寫(xiě)出下式的反演式和對(duì)偶式。：直接寫(xiě)出下式的反演式和對(duì)偶式。F = A + B+C D本次課內(nèi)容小結(jié)本次課內(nèi)容小結(jié) 掌握三種基本邏輯及幾種復(fù)合邏輯運(yùn)算。掌握三種基本邏輯及幾種復(fù)合邏輯運(yùn)算。 掌握列函數(shù)真值表的方法。掌握列函數(shù)真值表的方法。 熟悉邏輯代數(shù)的基本公式及常用公式。熟悉邏輯代數(shù)的基本公式及常用公式。 掌握反演規(guī)則及對(duì)偶規(guī)則，會(huì)利用以上規(guī)則求反掌握反演規(guī)則及對(duì)偶規(guī)則，會(huì)利用以上規(guī)則求反 函數(shù)或?qū)ε己瘮?shù)。函數(shù)或?qū)ε己瘮?shù)。課后作業(yè)2.2(1)2.42.5(1)