高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書:第9章 第5節(jié) 第1課時 橢圓及其性質(zhì) Word版含解析
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1、 第五節(jié) 橢圓 [最新考綱] 1.了解橢圓的實際背景,了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡單應(yīng)用. 1.橢圓的定義 (1)平面內(nèi)到兩個定點F1,F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距. (2)集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0. ①當(dāng)2a>|F1F2|時,M點的軌跡為橢圓; ②當(dāng)2a=|F1F2|時,M點的
2、軌跡為線段F1F2; ③當(dāng)2a<|F1F2|時,M點的軌跡不存在. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a 對稱性 對稱軸:坐標(biāo)軸;對稱中心:原點 頂點 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 離心率 e=,且e∈(0,1) a,b,c的關(guān)系 c2=a2-b2 1.點P(x0,y0)和橢圓的位置關(guān)系 (1)點P
3、(x0,y0)在橢圓內(nèi)?+<1. (2)點P(x0,y0)在橢圓上?+=1. (3)點P(x0,y0)在橢圓外?+>1. 2.焦點三角形 如圖,橢圓上的點P(x0,y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形.設(shè)r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面積為S,則在橢圓+=1(a>b>0)中: (1)當(dāng)r1=r2時,即點P的位置為短軸端點時,θ最大; (2)S=b2tan =c|y0|,當(dāng)|y0|=b時,即點P的位置為短軸端點時,S取最大值,最大值為bc. (3)a-c≤|PF1|≤a+c. (4)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0
4、. 3.橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構(gòu)成直角三角形,其中a是斜邊長,a2=b2+c2. 4.已知過焦點F1的弦AB,則△ABF2的周長為4a. 5.橢圓中點弦的斜率公式 若M(x0,y0)是橢圓+=1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y軸)的中點,則有kAB·kOM=-,即kAB=-. 6.弦長公式:直線與圓錐曲線相交所得的弦長 |AB|=|x1-x2| = =|y1-y2|=(k為直線的斜率). 一、思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到兩個定點F1,F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.( ) (2)橢圓上一點P與兩焦點F1,F(xiàn)2構(gòu)
5、成△PF1F2的周長為2a+2c(其中a為橢圓的長半軸長,c為橢圓的半焦距).( ) (3)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓.( ) (4)關(guān)于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲線是橢圓.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改編 1.若F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),點P到F1,F(xiàn)2距離之和為10,則P點的軌跡方程是( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1或+=1 A [設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),因為|PF1|+|PF2|=10>|F1F2|=6,所以點P的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,其
6、中a=5,c=3,b==4,故點P的軌跡方程為+=1.故選A.]
2.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,過點F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若△F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是( )
A. B.
C.2- D.-1
D [法一:設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),依題意,顯然有|PF2|=|F1F2|,則=2c,即=2c,即e2+2e-1=0,又0 7、+=1表示橢圓,則k的取值范圍是______.
(3,4)∪(4,5) [由已知得
解得3<k<5且k≠4.]
4.已知橢圓的一個焦點為F(1,0),離心率為,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
+=1 [設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).因為橢圓的一個焦點為F(1,0),離心率e=,所以解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.]
第1課時 橢圓及其性質(zhì)
考點1 橢圓的定義及應(yīng)用
橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面
一是判定平面內(nèi)動點的軌跡是否為橢圓;二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等.
(1)如圖所示,一圓形紙片的圓心為O,F(xiàn)是圓內(nèi)一定點,M是圓周 8、上一動點,把紙片折疊使M與F重合,然后抹平紙片,折痕為CD,設(shè)CD與OM交于點P,則點P的軌跡是( )
A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D.圓
(2)F1,F(xiàn)2是橢圓+=1的兩個焦點,A為橢圓上一點,且∠AF1F2=45°,則△AF1F2的面積為( )
A.7 B.
C. D.
(1)A (2)C [(1)由題意可知,CD是線段MF的垂直平分線,
∴|MP|=|PF|,
∴|PF|+|PO|
=|PM|+|PO|=|MO|(定值).
又|MO|>|FO|,
∴點P的軌跡是以F,O為焦點的橢圓,故選A.
(2)由題意得a=3,b=,c=,
∴ 9、|F1F2|=2,|AF1|+|AF2|=6.
∵|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2-4|AF1|+8,
∴(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8.
∴|AF1|=,
∴S△AF1F2=××2×=.]
本例(1)應(yīng)用線段中垂線的性質(zhì)實現(xiàn)了“|PF|+|PO|”向定值的轉(zhuǎn)化;本例(2)把余弦定理與橢圓的定義交匯在一起,借助方程的思想解出|AF1|,從而求得△AF1F2的面積.
[教師備選例題]
設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左、右焦點,P為橢圓上任意一點,點M的坐標(biāo)為(6,4),則|PM|-|PF1|的 10、最小值為________.
-5 [由橢圓的方程可知F2(3,0),由橢圓的定義可得|PF1|=2a-|PF2|.∴|PM|-|PF1|=|PM|-(2a-|PF2|)=|PM|+|PF2|-2a≥|MF2|-2a,
當(dāng)且僅當(dāng)M,P,F(xiàn)2三點共線時取得等號,
又|MF2|==5,2a=10,
∴|PM|-|PF1|≥5-10=-5,
即|PM|-|PF1|的最小值為-5.]
已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點,P為橢圓C上的一點,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面積為9,則b=________.
3 [設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,
則所以2r1 11、r2=(r1+r2)2-(r+r)=4a2-4c2=4b2,所以S△PF1F2=r1r2=b2=9,所以b=3.]
考點2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
定義法
先根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義,并確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程.特別地,利用定義法求橢圓方程要注意條件2a>|F1F2|.
1.在△ABC中,A(-4,0),B(4,0),△ABC的周長是18,則頂點C的軌跡方程是( )
A.+=1(y≠0) B.+=1(y≠0)
C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
A [由|AC|+|BC|=18-8=10>8知,頂點C的軌跡是以A,B為焦點的橢 12、圓(A,B,C不共線).設(shè)其方程為+=1(a>b>0),則a=5,c=4,從而b=3.
由A,B,C不共線知y≠0.
故頂點C的軌跡方程是+=1(y≠0).]
2.已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切,和圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為( )
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
D [設(shè)圓M的半徑為r,則|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8<16,∴動圓圓心M的軌跡是以C1,C2為焦點的橢圓,且2a=16,2c=8,則a=8,c=4,∴b2=48,故所 13、求的軌跡方程為+=1.]
利用定義法求軌跡方程時,注意檢驗所求軌跡是否是完整的曲線,倘若不是完整的曲線,應(yīng)對曲線中的變量x或y進(jìn)行限制.
待定系數(shù)法
利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置),再定量,即首先確定焦點所在位置,然后根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組.如果焦點位置不確定,可設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
1.已知橢圓的中心在原點,以坐標(biāo)軸為對稱軸,且經(jīng)
過兩點,(,),則橢圓方程為________.
+=1 [設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).
由解得m=,n=.
∴橢圓方程為+=1.]
2.過點(,-),且與橢 14、圓+=1有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
+=1 [法一:橢圓+=1的焦點為(0,-4),(0,4),即c=4.
由橢圓的定義知,
2a=+,
解得a=2.
由c2=a2-b2可得b2=4,
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
法二:∵所求橢圓與橢圓+=1的焦點相同,
∴其焦點在y軸上,
且c2=25-9=16.
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).
∵c2=16,且c2=a2-b2,
故a2-b2=16.①
又點(,-)在所求橢圓上,
∴+=1,
則+=1.②
由①②得b2=4,a2=20,
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.]
3.設(shè)F1,F(xiàn)2分 15、別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x軸,則橢圓E的方程為________.
x2+y2=1 [不妨設(shè)點A在第一象限,如圖所示.
∵AF2⊥x軸,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).
又∵|AF1|=3|F1B|,
∴由=3得B,
代入x2+=1得+=1.
又c2=1-b2,∴b2=.
故橢圓E的方程為x2+y2=1.]
(1)已知橢圓上兩點,常設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0,
n>0,m≠n);(2)橢圓的通徑(過焦點且與長軸垂直的弦)長為.
考點3 16、橢圓的幾何性質(zhì)
橢圓的長軸、短軸、焦距
求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題,如:頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,同時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析.
(1)已知橢圓+=1的長軸在x軸上,焦距為4,則m等于( )
A.8 B.7
C.6 D.5
(2)已知橢圓C:+=1(a>b>0),若長軸長為6,且兩焦點恰好將長軸三等分,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
(1)A (2)+=1 [(1)因為橢圓+=1的長軸在x軸上,所以 解得6 17、兩焦點恰好將長軸三等分,
∴2c=×2a=2,得c=1,
因此,b2=a2-c2=9-1=8,
所以此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.]
求離心率的值(或范圍)
求橢圓的離心率,常見的有三種方法
一是通過已知條件列方程組,解出a,c的值;二是由已知條件得出關(guān)于a,c的二元齊次方程,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解;三是通過取特殊值或特殊位置,求出離心率.
(1)(2018·全國卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,A是C的左頂點,點P在過A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為( )
A. 18、 B.
C. D.
(2)橢圓C的兩個焦點分別是F1,F(xiàn)2,若C上的點P滿足|PF1|=|F1F2|,則橢圓C的離心率e的取值范圍是________.
(1)D (2) [(1)由題意可得橢圓的焦點在x軸上,如圖所示,設(shè)|F1F2|=2c,∵△PF1F2為等腰三角形,且∠F1F2P=120°,∴|PF2|=|F1F2|=2c.∵|OF2|=c,
∴點P坐標(biāo)為(c+2ccos 60°,2csin 60°),即點P(2c,c).∵點P在過點A,且斜率為的直線上,∴=,解得=,∴e=,故選D.
(2)因為橢圓C上的點P滿足|PF1|=|F1F2|,所以|PF1|=×2c=3c.由a- 19、c≤|PF1|≤a+c,解得≤≤. 所以橢圓C的離心率e的取值范圍是.]
本例(2)在求解時運(yùn)用了隱含條件“a-c≤|PF1|≤a+c”.特別地,在求與橢圓的相關(guān)量的范圍時,要注意經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x,y的范圍,離心率的范圍等不等關(guān)系.
1.(2019·昌平二模)嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點43分左右,嫦娥四號順利進(jìn)入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道,如圖中軌道③所示,其近月點與月球表面距離為100公里,遠(yuǎn)月點與月球表面距離為400公里.已知月球的直徑為3 476公里,則該橢圓形軌道的離心率約為( )
20、
A. B.
C. D.
B [如圖,F(xiàn)為月球的球心,月球半徑為:×3 476=1 738,依題意,|AF|=100+1 738=1 838,|BF|=400+1 738=2 138.
∴2a=1 838+2 138,即 a=1 988,
∴a+c=2 138, c=2 138-1 988=150,
故橢圓的離心率為:e==≈,選B.]
2.已知F1,F(xiàn)2是橢圓+=1(a>b>0)的左、右兩個焦點,若橢圓上存在點P使得PF1⊥PF2,則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
B [∵F1,F(xiàn)2是橢圓+=1(a>b>0)的左、右兩個焦點,∴0 21、<1,F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),c2=a2-b2.設(shè)點P(x,y),由PF1⊥PF2,得(x+c,y)·(x-c,y)=0,化簡得x2+y2=c2.聯(lián)立方程組
整理得,x2=(2c2-a2)·≥0,解得e≥.
又0 22、AMB=120°,則m的取值范圍是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)
(2)(2019·煙臺模擬)若點O和點F分別為橢圓+=1的中心和左焦點,若P為橢圓上的任意一點,則·的最大值為( )
A.2 B.3
C.6 D.8
(1)A (2)C [(1)由題意知,當(dāng)M在短軸頂點時,∠AMB最大.
①如圖1,當(dāng)焦點在x軸,即m<3時,
a=,b=,tan α=≥tan 60°=,∴0<m≤1.
圖1 圖2
②如圖2,當(dāng)焦點在y軸,即m>3時,
a=,b=,tan α=≥t 23、an 60°=,
∴m≥9.
綜上,m的取值范圍(0,1]∪[9,+∞),故選A.
(2)由題意知,O(0,0),F(xiàn)(-1,0),設(shè)P(x,y),則=(x,y),=(x+1,y),∴·=x(x+1)+y2=x2+y2+x.又∵+=1,∴y2=3-x2,
∴·=x2+x+3=(x+2)2+2.
∵-2≤x≤2,∴當(dāng)x=2時,·有最大值6.]
本例(1)的求解恰恰應(yīng)用了焦點三角形中張角最大的情形,借助該臨界點可以迅速求出此種情形下的橢圓離心率,然后數(shù)形結(jié)合求解;本例(2)的求解采用了先建模,再借助橢圓中變量x(y)的有界性解模的思路.
[教師備選例題]
1.(2019·深圳模擬) 24、設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P是C上的點,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
D [法一:(直接法)如圖,在Rt△PF2F1中,
∠PF1F2=30°,|F1F2|=2c,
∴|PF1|==,
|PF2|=2c·tan 30°=.
∵|PF1|+|PF2|=2a,
即+=2a,可得c=a.
∴e==.
法二:(特殊值法)在Rt△PF2F1中 ,
令|PF2|=1,
∵∠PF1F2=30°,
∴|PF1|=2,|F1F2|=.
∴e===.故選D.]
2.如圖,焦點在x軸上的橢圓 25、+=1的離心率e=,F(xiàn),A分別是橢圓的一個焦點和頂點,P是橢圓上任意一點,則·的最大值為________.
4 [由題意知a=2,因為e==,所以c=1,b2=a2-c2=3.故橢圓方程為+=1.
設(shè)P點坐標(biāo)為(x0,y0).所以-2≤x0≤2,-≤y0≤.
因為F(-1,0),A(2,0),
=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),
所以·=x-x0-2+y=x-x0+1=(x0-2)2.
則當(dāng)x0=-2時,·取得最大值4.]
3.已知橢圓+=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,若以F2為圓心,b-c為半徑作圓F2,過橢圓上一點P作 26、此圓的切線,切點為T,且|PT|的最小值不小于(a-c),則橢圓的離心率e的取值范圍是________.
[因為|PT|=(b>c),
而|PF2|的最小值為a-c,
所以|PT|的最小值為.
依題意,有≥(a-c),
所以(a-c)2≥4(b-c)2,所以a-c≥2(b-c),
所以a+c≥2b,所以(a+c)2≥4(a2-c2),
所以5c2+2ac-3a2≥0,
所以5e2+2e-3≥0.①
又b>c,所以b2>c2,所以a2-c2>c2,
所以2e2<1.②
聯(lián)立①②,得≤e<.]
以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1,則橢圓長軸長的最小值為( )
A.1 B.
C.2 D.2
D [設(shè)a,b,c分別為橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距,依題意知,當(dāng)三角形的高為b時面積最大,
所以×2cb=1,bc=1,
而2a=2≥2=2(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時取等號).即長軸長2a的最小值為2.]
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