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1、
第31練 坐標系與參數(shù)方程[選做大題保分練]
[明晰考情]1.命題角度: 高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程;參數(shù)方程與普通方程的互化,常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應用.以極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式,同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識.2.題目難度:中檔難度.
考點一 曲線的極坐標方程
方法技巧 (1)進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是抓住互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0),要注意ρ,θ的取值范圍及其影響,靈活運用代入法和平方法等技巧.
(2)由極坐標方程求曲
2、線交點、距離等幾何問題時,如果不能直接用極坐標解決,可先轉化為直角坐標方程,然后求解.
1.已知圓的極坐標方程為ρ=4cos θ,圓心為C,點P的極坐標為,求CP的長.
解 由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ,即x2+y2=4x,
即(x-2)2+y2=4,∴圓心C(2,0),
又由點P的極坐標為,
可得點P的直角坐標為(2,2),
∴|CP|==2.
2.在極坐標系中,曲線C1:ρ(cos θ+sin θ)=1與曲線C2:ρ=a(a>0)的一個交點在極軸上,求a的值.
解 ρ(cos θ+sin θ)=1,
即ρcos θ+ρsin θ=1對應的普通方程為x+y-1
3、=0,
ρ=a(a>0)對應的普通方程為x2+y2=a2.
在x+y-1=0中,令y=0,得x=.
將代入x2+y2=a2,得a=.
3.在直角坐標系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求C1,C2的極坐標方程;
(2)若直線C3的極坐標方程為θ=(ρ∈R),設C2與C3的交點為M,N,求△C2MN的面積.
解 (1)因為x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以C1的極坐標方程為ρcos θ=-2,
C2的極坐標方程為ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)將θ=代入
4、ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,
得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.
故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于C2的半徑為1,所以△C2MN為等腰直角三角形,
所以△C2MN的面積為.
4.已知在平面直角坐標系xOy中,圓M的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以Ox軸為極軸, O為極點建立極坐標系,在該極坐標系下,圓N是以點為圓心,且過點的圓.
(1)求圓M的普通方程及圓N的直角坐標方程;
(2)求圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值.
解 (1)將方程消去參數(shù)θ,可得2+2=4,
所以圓M的方程為2+2=4.
點和點的直角坐標分別為,,
所以圓N的圓心
5、為,
半徑為r==1,
故圓N的直角坐標方程為2+2=1.
(2)由(1)得圓M,N的圓心距為MN==4,
所以圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值為dmin=MN-3=4-3=1.
考點二 參數(shù)方程及其應用
要點重組 過定點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù)),t的幾何意義是的數(shù)量,即|t|表示P0到P的距離,t有正負之分.使用該式時直線上任意兩點P1,P2對應的參數(shù)分別為t1,t2,則|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中點對應的參數(shù)為(t1+t2).
方法技巧 (1)參數(shù)方程化為普通方程:由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù),消參
6、數(shù)時常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法,且消參數(shù)時要注意參數(shù)的取值范圍對x,y的限制.
(2)在與直線、圓、橢圓有關的題目中,參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍,尤其是求取值范圍和最值問題,可將參數(shù)方程代入相關曲線的普通方程中,根據(jù)參數(shù)的取值條件求解.
5.(2018·全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)求C和l的直角坐標方程;
(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.
解 (1)曲線C的直角坐標方程為+=1.
當cos α≠0時,l的直角坐標方程為y=tan α·x+
7、2-tan α,
當cos α=0時,l的直角坐標方程為x=1.
(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程,整理得關于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①
因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內,
所以①有兩個解,設為t1,t2,則t1+t2=0.
又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直線l的斜率k=tan α=-2.
6.在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極
8、坐標方程;
(2)若直線l與曲線C的兩個交點分別為M,N,直線l與x軸的交點為P,求|PM|·|PN|的值.
解 (1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),
消去參數(shù)t,得x+y-1=0.
曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),
利用平方關系,得x2+(y-2)2=4,則x2+y2-4y=0.
令ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,
代入得C的極坐標方程為ρ=4sin θ.
(2)在直線x+y-1=0中,令y=0,得點P(1,0).
把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t2-3t+1=0,
∴t1+t2=3,t1t2=1.
由直線參數(shù)方程的幾何意義,得|PM|·|PN|=|t1t2|
9、=1.
7.已知橢圓C:+=1,直線l:(t為參數(shù)).
(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程;
(2)設A(1,0),若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離相等,求點P的坐標.
解 (1)橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),
直線l的普通方程為x-y+9=0.
(2)設P(2cos θ,sin θ),
則|AP|==2-cos θ,
點P到直線l的距離
d==.
由|AP|=d,得3sin θ-4cos θ=5,
又sin2θ+cos2 θ=1,
得sin θ=,cos θ=-.
故P.
考點三 極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用
方法技巧 (1)解決
10、極坐標與參數(shù)方程的綜合問題的關鍵是掌握極坐標方程與直角坐標方程的互化,參數(shù)方程與普通方程的互化.涉及圓、圓錐曲線上的點的最值問題,往往通過參數(shù)方程引入三角函數(shù),利用三角函數(shù)的最值求解.
(2)數(shù)形結合的應用,即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,或者利用ρ和θ的幾何意義,直接求解,能達到化繁為簡的解題目的.
8.(2017·全國Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;
(2)若C上的點到l的距離的最大值為,求a.
解 (1)曲線C的普通方程為+y2=1.
當a=-1時,直線l的普通方程為x+4
11、y-3=0.
由
解得或
從而C與l的交點坐標是(3,0),.
(2)直線l的普通方程是x+4y-4-a=0,
故C上的點(3cos θ,sin θ)到l距離d=.
當a≥-4時,d的最大值為 .
由題設得=,所以a=8;
當a<-4時,d的最大值為.
由題設得=,
所以a=-16.
綜上,a=8或a=-16.
9.(2017·全國Ⅲ)在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C.
(1)寫出C的普通方程;
(2)以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,設l3
12、:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M為l3與C的交點,求M的極徑.
解 (1)消去參數(shù)t,得l1的普通方程l1:y=k(x-2);
消去參數(shù)m,得l2的普通方程l2:y=(x+2).
設P(x,y),由題設得
消去k,得x2-y2=4(y≠0),
所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0).
(2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),
聯(lián)立得
cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-,從而cos2θ=,sin2θ=.
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,得ρ2=5,
所以l3與C的交點M的極徑
13、為.
10.在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=6sin θ.
(1)求圓C的直角坐標方程;
(2)設圓C與直線l交于點A,B.若點P的坐標為(1,2),求+的最小值.
解 (1)由ρ=6sin θ,得ρ2=6ρsin θ,
化為直角坐標方程為x2+y2=6y,
即x2+(y-3)2=9.
(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程,
得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,
由Δ=(2cos α-2sin α)2+4×7>0,
故可設t1,
14、t2是上述方程的兩根,
所以
又直線l過點,
故結合t的幾何意義得
+=
=
=
=≥
=2,
所以+的最小值為2.
典例 (10分)在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l與橢圓C的極坐標方程分別為cos θ+2sin θ=0和ρ2=.
(1)求直線l與橢圓C的直角坐標方程;
(2)若Q是橢圓C上的動點,求點Q到直線l距離的最大值.
審題路線圖
―→
規(guī)范解答·評分標準
解 (1)由cos θ+2sin θ=0,得ρcos θ+2ρsin θ=0,即x+2y=0,
所以直線l的直角坐標方程為x+2y=0.
15、
由ρ2=,得ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4,即x2+4y2=4,所以+y2=1.
所以橢圓C的直角坐標方程為+y2=1.…………………………………………………4分
(2)因為橢圓C:+y2=1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),……………………6分
可設Q(2cos α,sin α),
因此點Q到直線l:x+2y=0的距離
d==,………………………………………………………8分
所以當α=kπ+,k∈Z時,d取得最大值.
故點Q到直線l的距離的最大值為.10分
構建答題模板
[第一步] 互化:將極坐標方程與直角坐標方程互化;
[第二步] 引參:引進參數(shù),建立橢圓的參數(shù)方程;
16、
[第三步] 列式:利用距離公式求出距離表達式;
[第四步] 求最值:利用三角函數(shù)求出距離的最值.
1.(2018·全國Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過點(0,-)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點.
(1)求α的取值范圍;
(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.
解 (1)⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1.
當α=時,l與⊙O交于兩點.
當α≠時,記tan α=k,則l的方程為y=kx-.l與⊙O交于兩點,即點O到l的距離小于半徑1,當且僅當<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.
綜上,α的取值范圍是.
(2)l的參數(shù)方程為.
17、設A,B,P對應的參數(shù)分別為tA,tB,tP,
則tP=,且tA,tB滿足t2-2tsin α+1=0.
于是tA+tB=2sin α,tP=sin α.
又點P的坐標(x,y)滿足
所以點P的軌跡的參數(shù)方程是.
2.已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以直角坐標系原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線C的極坐標方程,并說明方程表示什么軌跡;
(2)若直線l的極坐標方程為sin θ-cos θ=,求直線l被曲線C截得的弦長.
解 (1)因為曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),
所以曲線C的普通方程為(x-3)2+(y-1)2=10,①
曲線C表示以C(3,1
18、)為圓心,為半徑的圓.
將代入①并化簡,得ρ=6cos θ+2sin θ,
即曲線C的極坐標方程為ρ=6cos θ+2sin θ.
(2)因為直線l的直角坐標方程為y-x=1,
所以圓心C到直線y=x+1的距離d=,
所以直線被曲線C截得的弦長為2=.
3.以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為ρ=4cos θ,曲線M的直角坐標方程為x-2y+2=0(x>0).
(1)以曲線M上的點與點O連線的斜率k為參數(shù),寫出曲線M的參數(shù)方程;
(2)設曲線C與曲線M的兩個交點為A,B,求直線OA與直線OB的斜率之和.
解 (1)由
得
由x>0,
19、得k>,
故曲線M的參數(shù)方程為.
(2)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ,
∴x2+y2=4x.
將代入x2+y2=4x,
整理得k2-4k+3=0,
∴k1+k2=4.
故直線OA與直線OB的斜率之和為4.
4.在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤θ<π),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=-4cos α,圓C的圓心到直線l的距離為.
(1)求θ的值;
(2)已知P(1,0),若直線l與圓C交于A,B兩點,求+的值.
解 (1)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤θ<π),消去參數(shù)t,
得xsin
20、 θ-ycos θ-sin θ=0.
圓C的極坐標方程為ρ=-4cos α,
即ρ2=-4ρcos α,
可得圓C的普通方程為x2+y2+4x=0,
即為(x+2)2+y2=4,
可知圓心為(-2,0),半徑為2,圓C的圓心到直線l的距離為d==3sin θ.
由題意可得d=,
即3sin θ=,則sin θ=,
∵0≤θ<π,
∴θ=或θ=.
(2)已知P(1,0),則點P在直線l上,直線l與圓C交于A,B兩點,將
代入圓C的普通方程x2+y2+4x=0,
得(1+tcos θ)2+(tsin θ)2+4(1+tcos θ)=0,
∴t2+6tcos θ+5=0.
設A,B對應的參數(shù)為t1,t2,
則t1+t2=-6cos θ,t1t2=5,
∵t1t2>0,∴t1,t2同號,
∴+=+===.