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1、
專題17.3 微元法
一.選擇題
1.質量為40 kg的物體,在一個水平外力作用下,沿直徑為40 m的水平圓形軌道勻速運動一周,若物體與軌道間動摩擦因數(shù)為0.5,水平外力在此過程中做功為
A.0 B. 2.5×104 J
C. 1.25×104 J D. 0.5×104 J
【參考答案】B
2(2013·安徽)由消防水龍帶的噴嘴噴出水的流量是0.28m3/min,水離開噴口時的速度大小為16m/s,方向與水平面夾角為60度,在最高處正好到達著火位置,忽略空氣阻力,則空中水柱的高度和水量分別是(重力加速度g取10m/s2)
A.28.8m,1
2、.12×10-2m3 B.28.8m,0.672m3
C.38.4m,1.29×10-2m3 D.38.4m,0.776m3
【參考答案】A
【名師解析】消防水龍帶的噴嘴水平噴水,選取噴嘴處的水(微元)作為研究對象,微元做斜拋運動。將噴出水流速度分解為水平方向和豎直方向,則豎直方向的分速度vy=vsin60°=16× m/s =24m/s;由可得水柱可以上升的最大高度h=28.8m;水柱上升時間為=2.4s。題述流量Q=0.28m3/min=0.0047 m3/s,則在空中的水量V=Qt=0.004
3、7 m3/s ×2.4s=1.12×10-2m3,,所以選項A正確。
3. 已知點電荷Q電場中的電勢φ公式為φ=k,式中r為到場源點電荷Q的距離。兩半徑分別為r1和r2(r1
4、
二.計算題
1.從地面上以初速度v0豎直向上拋出一質量為m的木球,若運動過程中受到的空氣阻力與其速率成正比關系,木球運動的速率隨時間變化規(guī)律如圖所示,t1時刻到達最高點,再落回地面,落地時速率為v1,且落地前木球已經(jīng)做勻速運動。求:
(1)木球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功;
(2)木球拋出瞬間的加速度大小;
(3)木球上升的最大高度H。
【名師解析】(1)由動能定理得Wf=mv12-mv02,
克服空氣阻力做功W=- Wf=mv02-mv12。
(2)空氣阻力f=kv ,落地前勻速運動,則mg-kv1=0 ,
設剛拋出時加速度大小為a0,則mg+kv0=ma
5、0
解得:a0=(1+)g。
(3)設上升時加速度為a,由牛頓第二定律,-(mg+kv)=ma ,解得:a=-g-v。
取極短△t時間,速度變化△v,有:△v =a△t=-g△t -v△t。
又v△t = △h,所以△v ==-g△t -△h。
對上升全程,Σ△v = -gΣ△t -Σ△h。
因Σ△v =0-v0=- v0,Σ△t =t1,Σ△h=H,所以:v0=g t1+H
解得:H= (v0-g t1)。
【點評】根據(jù)速度圖象的面積表示位移,圖中曲邊三角形v0Ot1的面積表示球上升的最大高度H。
2.半徑為R的光滑球固定在水平桌面上,有一質量為M的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈,原
6、長為πR,且彈性繩圈的勁度系數(shù)為k,將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上,使彈性繩圈水平停留在平衡位置上,如圖所示,若平衡時彈性繩圈長為,求彈性繩圈的勁度系數(shù)k.
【名師解析】由于整個彈性繩圈的大小不能忽略不計,且具有質量,所以彈性繩圈不能看成質點,所以應將彈性繩圈分割成許多小段,其中每一小段△m兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力F.。在彈性繩圈上任取一小段質量為△m作為研究對象,進行受力分析。但是△m受的力不在同一平面內(nèi),可以從一個合適的角度觀察。.選取一個合適的平面進行受力分析,這樣可以看清楚各個力之間的關系。.從正面和上面觀察,分別畫出正視圖和俯視圖,如圖乙和圖甲。
二力的合
7、力與T平衡.即
現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為
所以sinθ=,θ=45°,tanθ=1,
因此T=, ②
聯(lián)立①、②得,,
解得彈性繩圈的張力為:
設彈性繩圈的伸長量為x 則
所以繩圈的勁度系數(shù)為:。
3.如圖所示,電量Q均勻分布在半徑R的圓環(huán)上,求在圓環(huán)軸線上距圓心O點為x=R處的P點的電場強度。
4.如圖所示,兩根平行放置在絕緣地面上的光滑金屬框架??蚣艿淖蠖私佑幸浑娙萘繛镃的電容器。框架上放置有一質量為m,長為L的金屬棒,與框架接觸良好無摩擦。磁感應強度為B的勻強磁場豎直向下,與框架平面相垂直,開始時電容器不帶電?,F(xiàn)作用于金屬棒上一恒力F
8、,使金屬棒自靜止起向右加速運動,求:
(1)金屬棒中電流為I時的加速度。
(2)金屬棒位移s時的速度。
【名師解析】(1)當金屬棒中電流為I時,所受的向左的安培力F安=BIL,
由牛頓第二定律,F(xiàn)-F安=ma,
解得:a=。
由Q=CU得ΔQ=CΔU,式中ΔU是極短時間內(nèi)電壓的增量。
電壓U的增量等于產(chǎn)生的感應電動勢E的增量,即:ΔU=ΔE=BlΔv,
說明電壓的增量取決于速度的增量△v。
根據(jù)加速度的定義a=,
聯(lián)立上述各式解得: a=。
式中m、F、C、B、L都是恒量,說明金屬棒加速運動的加速度恒定不變,即金屬棒做勻加速直線運動。
由v2=2as解得金屬
9、棒運動位移s時的速度為v=。
5.如圖所示,兩塊很薄的金屬板之間用金屬桿固定起來使其平行正對,兩個金屬板完全相同、且豎直放置,金屬桿粗細均勻、且處于水平狀態(tài)。已知兩個金屬板所組成的電容器的電容為C,兩個金屬板之間的間距為d,兩個金屬板和金屬桿的總質量為m。整個空間存在一個水平向里的勻強磁場,勻強磁場的磁感應強度為B,磁場方向垂直金屬桿,且和金屬板平行?,F(xiàn)在使整個裝置從靜止開始在該磁場中釋放。重力加速度大小為g。
(1)推導出電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系;
(2)推導出金屬棒的速度大小隨時間變化的關系。
(3)若所有電阻不計,求整個裝置從靜止開始在該磁場中下落h高
10、度時兩個金屬板之間產(chǎn)生的電場儲存的電場能。
(2)設在時間間隔(t,t+△t)內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為△Q,金屬棒受到的安培力為F,
有:F=Bid ⑤
i= ⑥
△Q也是平行板電容器在時間間隔(t,t+△t)內(nèi)增加的電荷量,由④式得:
△Q= CBd△v ⑦
△v為金屬棒的速度變化量,有:a= ⑧
對金屬棒,有:mg-F=ma ⑨
以上聯(lián)合求解得:a= ⑩
因為加速度a為常數(shù),所以該裝置在磁場中做初速
11、度為零的勻加速直線運動。
金屬棒的速度v=at=t。
6.(2013·全國)如圖,兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ,間距為L。導軌上端接有一平行板電容器,電容為C。導軌處于勻強磁場中,磁感應強度大小為B,方向垂直于導軌平面。在導軌上放置一質量為m的金屬棒,棒可沿導軌下滑,且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數(shù)為μ,重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑,求:
(1)電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系;
(2)金屬棒的速度大小隨時間變化的關系。
【名師解析】
(1)設金屬棒下滑的速度大小為v,則感應電動勢為E=BLv。①
平行板電容器兩極板之間的電勢差為:U=E,②
設此時電容器極板上積累的電荷量為Q,由電容定義有C=Q/U,③
聯(lián)立①②③式解得:Q=CBLv。 ④
金屬棒所受到的摩擦力方向斜向上,大小為f2=μN,⑨
式中,N是金屬棒對于導軌的正壓力的大小,有:N=mgcosθ, ⑩
金屬棒在時刻t的加速度方向沿斜面向下,設其大小為a,根據(jù)牛頓第二定律有
mgsinθ- f1- f2=ma ⑾
聯(lián)立⑤至⑾式解得 a=g。⑿
由⑿式及題設可知,金屬棒做初速度為零的勻加速運動,t時刻金屬棒的速度大小為:
v=at=gt。
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