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(課標(biāo)通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理

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(課標(biāo)通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理_第1頁
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《(課標(biāo)通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(課標(biāo)通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理(17頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù) 考綱展示? 1.了解冪函數(shù)的概念. 2.結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的圖象,了解它們的變化情況. 3.理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì). 4.能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題. 考點(diǎn)1 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù)特征性質(zhì) y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 圖象 定義域 R R R ______ ______ 值域 R ______ R ______ ______ 奇偶性 ______ ____

2、__ ______ ______ ______ 單調(diào)性 ______ ______ ______ ______ ______ 公共點(diǎn) ______ 答案:{x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 (-∞,0)減,(0,+∞)增 增 增 (-∞,0)和(0,+∞)減 (1,1) [教材習(xí)題改編]已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(2,),則函數(shù)f(x)=________. 答案:x 解析:設(shè)f(x)=xα,則=2α,所以α=,故函數(shù)f(x)=x. 冪函數(shù)概念的誤區(qū):系數(shù)為1;指數(shù)為常數(shù)

3、. 已知冪函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm-3,則m為________. 答案:2或-1 解析:若函數(shù)為冪函數(shù),則m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. [典題1] (1)冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2),則冪函數(shù)y=f(x)的圖象是(  ) A      B    C      D [答案] C [解析] 令f(x)=xα,則4α=2, ∴α=,∴f(x)=x. (2)[2017·安徽江南七校聯(lián)考]已知冪函數(shù)f(x)=(n2+2n-2)·xn2-3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),則n的值為(  ) A.-3 B.

4、1 C.2 D.1或2 [答案] B [解析] 由于f(x)為冪函數(shù),所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3. 當(dāng)n=1時(shí),函數(shù)f(x)=x-2為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以n=1滿足題意; 當(dāng)n=-3時(shí),函數(shù)f(x)=x18為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,而f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以n=-3不滿足題意,舍去.故選B. (3)1.1,0.9,1的大小關(guān)系為________. [答案] 0.9<1<1.1 [解析] 把1看作1,冪函數(shù)y=x在(0,+∞)上是增函數(shù).∵0<0.9<1<1.1,∴0.9<1<1.1,即0.9

5、<1<1.1. (4)已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. [答案] (0,1) [解析] 作出函數(shù)y=f(x)的圖象如圖. 則當(dāng)0<k<1時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根. [點(diǎn)石成金] 1.冪函數(shù)y=xα的性質(zhì)和圖象由于α的取值不同而比較復(fù)雜,一般可從三方面考查: (1)α的正負(fù):當(dāng)α>0時(shí),圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(1,1),在第一象限的部分“上升”;當(dāng)α<0時(shí),圖象不過點(diǎn)(0,0),經(jīng)過點(diǎn)(1,1),在第一象限的部分“下降”; (2)曲線在第一象限的凹凸性:當(dāng)α>1時(shí)曲線下凹;當(dāng)0<α<1

6、時(shí)曲線上凸,當(dāng)α<0時(shí)曲線下凹; (3)函數(shù)的奇偶性:一般先將函數(shù)式化為正指數(shù)冪或根式形式,再根據(jù)函數(shù)定義域和奇偶性定義判斷其奇偶性. 2.在比較冪值的大小時(shí),必須結(jié)合冪值的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進(jìn)行比較. 考點(diǎn)2 求二次函數(shù)的解析式 二次函數(shù)解析式的三種形式 (1)一般式:f(x)=____________; (2)頂點(diǎn)式:f(x)=____________; (3)零點(diǎn)式:f(x)=____________. 答案:(1)ax2+bx+c(a≠0) (2)a(x-m)2+n(a≠0) (3)a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 二次函數(shù)對(duì)稱

7、軸的判斷方法:中值法;結(jié)論法. (1)對(duì)于二次函數(shù)y=f(x),如果定義域內(nèi)有不同兩點(diǎn)x1,x2且f(x1)=f(x2),那么函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線________對(duì)稱. (2)“二次函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立”的充要條件是“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線________對(duì)稱”(a為常數(shù)). 答案:(1)x= (2)x=a 解析:(1)作出二次函數(shù)y=f(x)的圖象(圖略),由圖可知,當(dāng)f(x1)=f(x2)時(shí), 點(diǎn)P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))關(guān)于直線x=對(duì)稱. 由x1,x2的任意性,可得函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于

8、直線x=對(duì)稱. (2)由(1)可知,y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(a為常數(shù)). [典題2] 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析式. [解] 解法一(利用一般式): 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由題意得解得 ∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7. 解法二(利用頂點(diǎn)式): 設(shè)f(x)=a(x-m) 2+n. ∵f(2)=f(-1), ∴拋物線的對(duì)稱軸為x==, ∴m=. 又根據(jù)題意,函數(shù)有最大值8,∴n=8, ∴y=f(x)=a2+8. ∵f(2)=-1,

9、∴a2+8=-1, 解得a=-4, ∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7. 解法三(利用零點(diǎn)式): 由已知f(x)+1=0兩根為x1=2,x2=-1, 故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函數(shù)的最大值為ymax=8,即=8.解得a=-4或a=0(舍去). ∴所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7. [點(diǎn)石成金] 求二次函數(shù)解析式的方法 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式,一般用待定系數(shù)法,選擇規(guī)律如下: (1)已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo),宜選用一般式; (2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大(小)值等,宜選用頂點(diǎn)式; (3)

10、已知圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo),宜選用零點(diǎn)式. 為了美觀,在加工太陽鏡時(shí)將下半部分輪廓制作成二次函數(shù)圖象的形狀(如圖所示).若對(duì)應(yīng)的兩條曲線關(guān)于y軸對(duì)稱,AE∥x軸,AB=4 cm,最低點(diǎn)C在x軸上,高CH=1 cm,BD=2 cm,則右輪廓線DFE所在的二次函數(shù)的解析式為(  )   A.y=(x+3)2 B.y=-(x-3) 2 C.y=-(x+3) 2 D.y=(x-3) 2 答案:D 解析:由題圖可知,對(duì)應(yīng)的兩條曲線關(guān)于y軸對(duì)稱,AE∥x軸,AB=4 cm,最低點(diǎn)C在x軸上,高CH=1 cm,BD=2 cm,所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0,橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為+=3,即C(-3,0)

11、.因?yàn)辄c(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱,所以F(3,0),因?yàn)辄c(diǎn)F是右輪廓線DFE所在的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),所以設(shè)該二次函數(shù)為y=a(x-3) 2 (a>0),將點(diǎn)D(1,1)代入得,a=,即y=(x-3) 2. 考點(diǎn)3 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) f(x)=ax2+bx+c a>0 a<0 圖象 定義域 R 值域 單調(diào)性 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減 奇偶性 當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù);當(dāng)b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 圖象特點(diǎn) ①對(duì)稱軸:x=-; ②頂點(diǎn): (1)[教材習(xí)題改編]若函數(shù)f(

12、x)=4x2-kx-8在[-1,2]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 答案:(-∞,-8]∪[16,+∞) 解析:f(x)圖象的對(duì)稱軸方程是x=,故≤-1或≥2,即k≤-8或k≥16.故所求k的取值范圍是(-∞,-8]∪[16 ,+∞). (2)[教材習(xí)題改編]已知函數(shù)f(x)=ax2+x+5的圖象在x軸上方,則a的取值范圍是________. 答案: 解析:由題意,得 解得a>. 二次函數(shù)單調(diào)性的求解誤區(qū):?jiǎn)握{(diào)區(qū)間;在區(qū)間上單調(diào). 已知二次函數(shù)f(x)=(k2-1)x2+2x-3. (1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,2],則k=_______

13、_; (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞增,則k滿足________. 答案:(1)± (2)≤k<1或-1

14、2+bx+c圖象的一部分,圖象過點(diǎn)A(-3,0),對(duì)稱軸為x=-1.給出下面四個(gè)結(jié)論: ①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b. 其中正確的是(  ) A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ [答案] B [解析] 因?yàn)閳D象與x軸交于兩點(diǎn),所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正確; 對(duì)稱軸為x=-1,即-=-1,2a-b=0,②錯(cuò)誤; 結(jié)合圖象,當(dāng)x=-1時(shí),y>0,即a-b+c>0,③錯(cuò)誤; 由對(duì)稱軸為x=-1知,b=2a. 又函數(shù)圖象開口向下,所以a<0, 所以5a<2a,即5a<b,④正確. 角度二 二次函數(shù)的單調(diào)性問題 [典題4

15、] 已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)若y=f(x)在區(qū)間[-4,6]上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)當(dāng)a=1時(shí),求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間. [解] (1)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上,對(duì)稱軸是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是單調(diào)函數(shù),應(yīng)有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-6]∪[4,+∞). (2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+2x+3, 所以f(|x|)=x2+2|x|+3,此時(shí)定義域?yàn)閤∈[-6,6], 且f(x)= 所以f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6],單調(diào)遞減區(qū)間是[-6

16、,0]. 角度三 二次函數(shù)的最值問題 [題型1] 軸定,區(qū)間動(dòng)類型 [典題5] 若函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0,m]上有最大值3,最小值2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. [解] 作出函數(shù)y=x2-2x+3的圖象如圖. 由圖象可知,要使函數(shù)在[0,m]上取得最小值2,則1∈[0,m],從而m≥1, 當(dāng)x=0時(shí),y=3; 當(dāng)x=2時(shí),y=3, 所以要使函數(shù)取得最大值為3,則m≤2, 故所求m的取值范圍為[1,2]. [題型2] 軸動(dòng),區(qū)間定類型 [典題6] 求函數(shù)f(x)=ax2-2x在區(qū)間[0,1]上的最小值. [解] f(x)=a2-. (1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=

17、-2x在[0,1]上遞減, ∴f(x)min=f(1)=-2. (2)當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)的圖象的開口方向向上,且對(duì)稱軸為x=. 當(dāng)≤1,即a≥1時(shí),函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸在[0,1]內(nèi), ∴f(x)在上遞減,在上遞增. ∴f(x)min=f=-. 當(dāng)>1,即0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸在[0,1]的右側(cè),∴f(x)在[0,1]上遞減. ∴f(x)min=f(1)=a-2. (3)當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)的圖象的開口方向向下,且對(duì)稱軸x=<0,在y軸的左側(cè), ∴f(x)在[0,1]上遞減. ∴f(x)min=f(1)=a-2. 綜上所述,f(x)min

18、= [題點(diǎn)發(fā)散] 若將本例中的函數(shù)改為f(x)=x2-2ax,其他不變,應(yīng)如何求解? 解:f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,對(duì)稱軸為x=a. 當(dāng)a<0時(shí),f(x)在[0,1]上是增函數(shù), ∴f(x)min=f(0)=0; 當(dāng)0≤a≤1時(shí),f(x)min=f(a)=-a2; 當(dāng)a>1時(shí),f(x)在[0,1]上是減函數(shù), ∴f(x)min=f(1)=1-2a. 綜上所述,f(x)min= 角度四 二次函數(shù)中的恒成立及零點(diǎn)問題 [典題7] (1)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對(duì)于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______

19、_. [答案]  [解析] 作出二次函數(shù)f(x)的草圖,對(duì)于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0, 則有 即 解得-<m<0. (2)若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的兩根中,一根在0和1之間,另一根在1和2之間,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. [答案]  [解析] 設(shè)f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由題意知即 解得

20、點(diǎn)要標(biāo)清楚,這樣在解題時(shí)才不易出錯(cuò). 2.二次函數(shù)最值問題的三種類型及解題思路 (1)類型:①對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的;②對(duì)稱軸動(dòng)、區(qū)間固定;③對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng). (2)思路:抓“三點(diǎn)一軸”,三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn),一軸指的是對(duì)稱軸. 3.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的兩大思路及一個(gè)關(guān)鍵 (1)兩大思路:一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù). (2)一個(gè)關(guān)鍵:兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值,至于用哪種方法,關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是:a≥f(x)?a≥f(x)max,a≤f(x)?a≤f(x)min. [方法技巧] 1.二次函數(shù)的三種形式 (1)已

21、知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),宜用一般式. (2)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)的量時(shí),常使用頂點(diǎn)式. (3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),且橫坐標(biāo)已知時(shí),選用零點(diǎn)式求f(x)更方便. 2.二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律 (1)在研究一元二次方程根的分布問題時(shí),常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解,一般從:①開口方向;②對(duì)稱軸位置;③判別式;④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時(shí),一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解. 3.冪函數(shù)y=xα(α∈R)圖象的特征 當(dāng)α>0時(shí),圖象過原點(diǎn)和點(diǎn)(1,1),在第一象限的圖象上升

22、;當(dāng)α<0時(shí),圖象不過原點(diǎn),在第一象限的圖象下降,反之也成立. [易錯(cuò)防范] 1.對(duì)于函數(shù)y=ax2+bx+c,要認(rèn)為它是二次函數(shù),就必須滿足a≠0,當(dāng)題目條件中未說明a≠0時(shí),就要討論a=0和a≠0兩種情況. 2.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限,至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi),要看函數(shù)的奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi);如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點(diǎn)一定是原點(diǎn). 真題演練集訓(xùn) 1.[2016·新課標(biāo)全國卷Ⅲ]已知a=2,b=4,c=25,則(  ) A.b

23、解析:因?yàn)閍=2=16,b=4 =16,c=25,且冪函數(shù)y=x在R上單調(diào)遞增,指數(shù)函數(shù)y=16x在R上單調(diào)遞增,所以b

24、12. 又2m+n≥2,∴ 2≤12, ∴ mn≤18. 當(dāng)2m=n=6,即m=3,n=6時(shí)取等號(hào), ∴ mn的最大值為18. b.當(dāng)m<2時(shí),拋物線開口向下, ∵ f(x)在上單調(diào)遞減, ∴-≤,即m+2n≤18,即n≤9-m. 又∵ 0≤m<2,n≥0, ∴ mn≤9m-m2=-(m-9)2+< -(2-9)2+=16. 綜上所述,mn的最大值為18,故選B. 3.[2014·浙江卷]在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的圖象可能是(  )  A        B  C        D 答案:D 解析:當(dāng)a>1

25、時(shí),函數(shù)f(x)=xa(x>0)單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)=logax單調(diào)遞增,且過點(diǎn)(1,0),由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知C錯(cuò);當(dāng)00)單調(diào)遂增,函數(shù)g(x)=logax單調(diào)遞減,且過點(diǎn)(1,0),排除A,又由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知B錯(cuò),故選D. 4.[2013·重慶卷](-6≤a≤3)的最大值為(  ) A. 9 B. C. 3 D. 答案:B 解析:易知函數(shù)y=(3-a)(a+6)的兩個(gè)零點(diǎn)是3,-6,對(duì)稱軸為a=-,y=(3-a)(a+6)的最大值為y==2,則的最大值為,故選B. 5.[2014·遼寧卷]對(duì)于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2

26、-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時(shí),-+的最小值為________. 答案:-2 解析:設(shè)2a+b=x,則2a=x-b, ∴(x-b)2-b(x-b)+4b2-c=0, x2-3bx+6b2-c=0,即6b2-3xb+x2-c=0. ∴Δ=9x2-4×6×(x2-c)≥0, ∴3x2-8x2+8c≥0,∴x2≤c. 當(dāng)|2a+b|=|x|取最大時(shí),有(2a+b)2=c, ∴4a2+4ab+b2=c. 又∵4a2-2ab+4b2=c,① ∴=,∴b=a. 將b=a代入①,得 4a2-2a·a+a2·4=c, ∴a=,b=或a=-,b=-. 當(dāng)a=,b=時(shí),

27、有 -+=-+ =-+=52-2≥-2, 當(dāng)=,即c=時(shí)等號(hào)成立. 此時(shí)a=,b=. 當(dāng)a=-,b=-時(shí), -+=-++=+>0, 綜上可知,當(dāng)c=,a=,b=時(shí), min=-2. 課外拓展閱讀 構(gòu)造二次函數(shù)解決問題 二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí),它與一元二次不等式、一元二次方程的聯(lián)系是諸多命題者的關(guān)注點(diǎn).對(duì)于有些問題若能充分利用二次函數(shù)的性質(zhì),則會(huì)迎刃而解.下面就給出幾種構(gòu)造二次函數(shù)解決問題的例題. 1.構(gòu)造二次函數(shù)求根式函數(shù)的最值 [典例1] 求函數(shù)y=x2+的最值. [思路分析] 利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值. [解] 令=u,則x2=1-u2,

28、 且0≤u≤1. 所以y=1-u2+u=-2+, 所以1≤y≤,故ymin=1,ymax=. 2.構(gòu)造二次函數(shù)解不等式 (1)從結(jié)論的外形結(jié)構(gòu)作形式聯(lián)想進(jìn)行構(gòu)造 [典例2] 已知a

29、 [證明] 令A(yù)=a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=(b-c)a2+(c2-b2)a+(b2c-bc2). 設(shè)f(x)=(b-c)x2+(c2-b2)x+(b2c-bc2)=(b-c)(x-b)(x-c), 因?yàn)閎c時(shí),f(x)<0.又a

30、所證不等式的左邊可看作是關(guān)于x的二次函數(shù),只要證此二次函數(shù)的最小值是 即可. [證明] 設(shè)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+(a+a+…+a). 因?yàn)閚>0,所以對(duì)于二次函數(shù)f(x), 當(dāng)x=時(shí),f(x)有最小值, 且f(x)min=. 所以f(x)≥,故原不等式成立. (3)利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造二次函數(shù) [典例4] 已知a>,b>,ab=,求證:a+b<1. [思路分析] 已知條件出現(xiàn)了ab=,而結(jié)論中有a+b,若設(shè)a+b=t,則a,b為二次函數(shù)f(x)=x2-tx+的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),由于a>,b>,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),易證t<1. [證明] 設(shè)t=a+b,又ab=, 則a,b為二次函數(shù)f(x)=x2-tx+的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 由于a>,b>,二次函數(shù)的圖象開口向上, 所以有f>0,即-t+>0, 解得t<1,即a+b<1. - 17 -

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