《（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)與解三角形 4.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案 理.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)與解三角形 4.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案 理.doc（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §4.2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 考綱展示?　 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式． 考點(diǎn)1　三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 　　　　　　　　　　　　　　　　 誘導(dǎo)公式 組序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α ______ 余弦 cos α －cos α cos α _____

2、_ sin α －sin α 續(xù)表 組序 一 二 三 四 五 六 正切 tan α tan α －tan α ______ 口訣 函數(shù)名不變 符號(hào)看象限 函數(shù)名改變 符號(hào)看象限 記憶 規(guī)律 奇變偶不變，符號(hào)看象限 答案：cos α　－cos α?。璽an α　 (1)[教材習(xí)題改編]已知f(x)＝sin＋2sin－4cos 2x＋3cos，則f的值為(　　) A．0 B．1 C．－5 D．－9 答案：C (2)[教材習(xí)題改編]已知cos α＝－，則sin＝________. 答案：－ 解析：sin＝cos α

3、＝－. 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了． sin(－2 010°)的值是________． 答案： 解析：sin(－2 010°)＝－sin 2 010°＝－sin(5×360°＋210°)＝－sin 210°＝－sin(180°＋30°)＝sin 30°＝. [典題1]　(1)[2017·浙江臺(tái)州中學(xué)高三月考]已知sin＝，則cos＝(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　D [解析]　根據(jù)誘導(dǎo)公式可知， sin ＝－cos?cos＝－，故選D. (2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)

4、sin(－1 050°)＝________. [答案]　1 [解析]　原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°· sin 1 050° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝×＋×＝1. (3)設(shè)f(α)

5、＝，其中1＋2sin α≠0，則f＝________. [答案]　 [解析]　∵f(α)＝ ＝＝＝， ∴f＝＝ ＝＝. [點(diǎn)石成金]　利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的基本思路和化簡(jiǎn)要求： (1)基本思路：①分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡(jiǎn)形式． (2)化簡(jiǎn)要求：①化簡(jiǎn)過程是恒等變形；②結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值． 考點(diǎn)2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 　　　　　　　　　　　　　　　　 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系 sin2α＋cos2α＝________； (2)商數(shù)關(guān)系

6、tan α＝. 答案：(1)1 (1)[教材習(xí)題改編]已知cos α＝，且α是第四象限角，則sin α的值為________． 答案：－ 解析：由于α是第四象限角， 故sin α＝－＝－. (2)[教材習(xí)題改編]已知tan α＝－2，則＝________. 答案：－2 1.基本關(guān)系式的誤區(qū)：公式形式誤區(qū)；角的范圍誤區(qū)． 下列命題正確的有________．(填序號(hào)) ①若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1； ②若α∈R，則tan α＝恒成立； ③sin2α＋cos2α＝sin2θ＋cos2θ. 答案：③ 解析：①只有當(dāng)α＝β時(shí)，才有sin2α＋co

7、s2β＝1； ②因?yàn)閏os α≠0，則α≠＋kπ，k∈Z； ③根據(jù)平方關(guān)系式，可得③正確． 2．誘導(dǎo)公式應(yīng)用的常見兩種錯(cuò)誤：符號(hào)；函數(shù)名． (1)若sin(3π＋θ)＝，則sin θ＝________. (2)若cos＝m，則sin α＝________. 答案：(1)－　(2)－m 解析：(1)先應(yīng)用誘導(dǎo)公式一，得 sin(3π＋θ)＝sin(2π＋π＋θ)＝sin(π＋θ)； 再應(yīng)用公式二，得sin(π＋θ)＝－sin θ， 故sin θ＝－. (2)因?yàn)椋量煽醋魇堑诙笙藿牵? 所以cos＝－sin α，故sin α＝－m. 有關(guān)結(jié)論． (1)＝_____

8、___. 答案：cos2α 解析：由sin2α＋cos2α＝1和＝tan α，得tan2αcos2α＋cos2α＝1，故＝cos2α. (2)＝________. 答案：|sin α－cos α| 解析：因?yàn)?－sin 2α＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，所以＝|sin α－cos α|. [典題2]　(1)[2017·甘肅蘭州診斷]已知sin(π－α)＝log8 ，且α∈，則tan(2π－α)的值為(　　) A．－ B. C．± D. [答案]　B [解析]　sin(π－α)＝sin α＝log8 ＝－， 又因?yàn)棣?/p>

9、∈， 則cos α＝＝， 所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝. (2)已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π，則tan α＝________. [答案]　－ [解析]　解法一：聯(lián)立方程 由①得cos α＝－sin α， 將其代入②，整理得 25sin2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的內(nèi)角， ∴ ∴tan α＝－. 解法二：∵sin α＋cos α＝， ∴(sin α＋cos α)2＝2， 即1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝

10、. ∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴sin α－cos α＞0. ∴sin α－cos α＝. 由 得 ∴tan α＝－. [題點(diǎn)發(fā)散1]　保持本例(2)中條件不變， 求：(1)； (2)sin2α＋2sin αcos α的值． 解：由母題，可知 tan α＝－. (1)＝ ＝＝. (2)sin2α＋2sin αcos α＝ ＝＝＝－. [題點(diǎn)發(fā)散2]　若本例(2)中條件變?yōu)椤埃?”，求tan α的值． 解：解法一：由＝5，得 ＝5，即tan α＝2. 解法二：由＝5，得 sin α＋3cos α＝1

11、5cos α－5sin α， ∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2. [題點(diǎn)發(fā)散3]　若本例(2)中的條件和結(jié)論互換：已知α是三角形的內(nèi)角，且tan α＝－，求 sin α＋cos α的值． 解：由tan α＝－，得sin α＝－cos α， 將其代入 sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1， ∴cos2α＝，易知cos α＜0， ∴cos α＝－，sin α＝， 故 sin α＋cos α＝－. [點(diǎn)石成金]　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧 技巧 解讀 適合題型 切弦 互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正

12、切 表達(dá)式中含有sin θ，cos θ與tan θ “1”的 變換 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan ＝(sin θ±cos θ)2?2sin θcos θ 表達(dá)式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化 和積 轉(zhuǎn)換 利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化 表達(dá)式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 1.若3sin α＋cos α＝0，則的值為(　　) A. B. C. D．－2 答案：A 解析：3sin α＋cos α＝0?cos α≠0 ?tan α＝－， ＝ ＝＝＝.

13、2．[2017·四川雅安模擬]已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，則sin θ－cos θ 的值為(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：C 解析：由題意，知(sin θ＋cos θ)2＝， ∴1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝， 由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝， 可得sin θ－cos θ＝±. 又∵θ∈，sin θ

14、解析]　由題意知，cos＝cos＝－cos＝－a. sin＝sin ＝cos＝a， ∴cos＋sin＝0. (2)已知sin＝，則cos＝________. [答案]　 [解析]　∵＋＝， ∴cos＝cos ＝sin＝. [點(diǎn)石成金]　巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)化解題過程．常見的互余關(guān)系有－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有＋θ與－θ；＋θ與－θ等. 1.已知sin＝，則cos＝________. 答案：－ 解析：cos＝cos ＝cos＝－cos， 而sin＝sin＝cos＝，

15、所以cos＝－. 2．若tan(π＋α)＝－，則tan(3π－α)＝________. 答案： 解析：因?yàn)閠an(π＋α)＝tan α＝－， 所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝. [方法技巧]　1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系可用于統(tǒng)一函數(shù)．誘導(dǎo)公式主要用于統(tǒng)一角，其主要作用是進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明，如已知一個(gè)角的某一三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要特別注意平方關(guān)系的使用． 2．三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)的常用方法 (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦． (2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos

16、θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化． (3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan ＝… [易錯(cuò)防范]　1.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟為：去負(fù)—脫周—化銳． 2．在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào)． 3．注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化． 真題演練集訓(xùn) 1．[2016·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ]若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　　) A. B. C．1 D. 答案：A 解析：解法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得

17、或 則sin 2α＝2sin αcos α＝， 則cos2α＋2sin 2α＝＋＝. 解法二：cos2α＋2sin 2α＝ ＝＝＝. 2．[2014·大綱全國(guó)卷]設(shè)a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，則(　　) A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案：C 解析：∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°， c＝tan 35°＝， 又0b>a. 3．[2015·四川卷]已知sin α＋2cos α＝0，則2sin αcos α－cos2α的值是________．

18、答案：－1 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos2α＝ ＝＝＝－1. 課外拓展閱讀 分類討論思想在三角函數(shù)求值化簡(jiǎn)中的應(yīng)用 [典例]　(1)已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是(　　) A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} (2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，則C＝________. [思路分析]　(1)角中有整數(shù)k，應(yīng)對(duì)k是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行討論；(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系

19、式的平方關(guān)系時(shí)，要對(duì)開方的結(jié)果進(jìn)行討論． [解析]　(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A＝＋＝2； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，A＝－＝－2. 所以A的值構(gòu)成的集合是{2，－2}． (2)由已知，得 ①2＋②2，得2cos2A＝1，即cos A＝±， 當(dāng)cos A＝時(shí)，cos B＝， 又A，B是三角形的內(nèi)角，所以A＝，B＝， 所以C＝π－(A＋B)＝. 當(dāng)cos A＝－時(shí)，cos B＝－. 又A，B是三角形的內(nèi)角， 所以A＝，B＝，不合題意．綜上，C＝. [答案]　(1)C　(2) 溫馨提示 (1)本題在三角函數(shù)的求值化簡(jiǎn)過程中，體現(xiàn)了分類討論思想，即使討論的某種情況不合題意，也不能省略討論的步驟；(2)三角形中的三角函數(shù)問題，要注意隱含條件的挖掘以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用． - 13 -