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2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第93講 極坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題的處理

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1、 第93講 極坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題的處理 【知識要點】 一、在平面內(nèi)取一個定點為極點,引一條射線為叫做極軸,再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.對于平面內(nèi)的點,設(shè), ,稱、為點的極徑、極角,有序數(shù)對就叫做的極坐標(biāo). 二、直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.平面內(nèi)任意一點的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為和,則由三角函數(shù)的定義可以得到: (求點的直角坐標(biāo)的公式),(求點的極坐標(biāo)的公式,求極角時要先定位后定量). 表示過原點且傾斜角為的直線, 表示過原點且傾斜角為的向上的射線. 三、參數(shù)方程的定義:一般地,

2、在平面直角坐標(biāo)中,如果曲線上任一點的坐標(biāo)都是某個變數(shù)的函數(shù),反過來,對于的每個允許值,由函數(shù)式所確定的點都在曲線上,那么方程叫做曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)是參變數(shù),簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的叫普通方程. 四、常見曲線的參數(shù)方程: (1)圓的參數(shù)方程為 (為參數(shù)); (2)橢圓的參數(shù)方程為 (為參數(shù)); (3)雙曲線的參數(shù)方程 (為參數(shù)); (4)拋物線參數(shù)方程 為參數(shù)); (5)過定點、傾斜角為的直線的參數(shù)方程(為參數(shù)).當(dāng)動點在定點上方時,. 當(dāng)動點在定點下方時,. 【方法講評】 方法一 轉(zhuǎn)化法 解題步驟 先把已知條件都化成直角坐標(biāo),

3、再利用解析幾何的知識解答. 【例1】【2017課標(biāo)3,理科22】在直角坐標(biāo)系xoy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1與l2的交點為P,當(dāng)k變化時,P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cosθ+sinθ)?=0,M為l3與C的交點,求M的極徑. 【點評】本題就是轉(zhuǎn)化法解答極坐標(biāo)與參數(shù)方程問題的典型例子.第2問直接把條件化成直角坐標(biāo)再解答,比較直接,解題效率也比較高. 【反饋檢測1】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極

4、軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為. (1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線和公共弦的長度. 方法二 用極坐標(biāo)解決解析幾何問題 解題步驟 把已知條件化成極坐標(biāo),再利用極坐標(biāo)的知識解答. 【例2】【2017課標(biāo)II,理22】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為. (1)為曲線上的動點,點在線段上,且滿足,求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點的極坐標(biāo)為,點在曲線上,求面積的最大值. (2)設(shè)點的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知, 當(dāng)時,S取得最大值,所以△OAB面積的最大值為. 【點評】(1)本

5、題的兩問,如果用直角坐標(biāo)來解答,思路難找,計算量大,解題效率低. 如果用極坐標(biāo)來解答,問題就簡單了很多. (2)怎么聯(lián)想到利用極坐標(biāo)解答呢?因為已知里面有信息,譬如,第1問中,就是點的極徑,就是點的極徑,并且點的極角相同,所以用極坐標(biāo)解答就自然了,所以我們要注意觀察已知的信息. 第2小問的觀察和思維類似. 【反饋檢測2】在直角坐標(biāo)系中,曲線,曲線為參數(shù)), 以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線的極坐標(biāo)方程; (2)若射線分別交于兩點, 求的最大值. 方法三 用圓錐曲線參數(shù)方程解決解析幾何的問題 解題步驟 先把某些已知條件化成參數(shù)方

6、程,再利用參數(shù)方程的知識解答. 【例3】【2017課標(biāo)1,理22】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為. (1)若,求與的交點坐標(biāo);(2)若上的點到的距離的最大值為,求. 從而與的交點坐標(biāo)為,. 【點評】(1)本題就是利用圓錐曲線解決解析幾何問題的典型例子.本題如果把已知條件都化成直角坐標(biāo)再解答,計算量比較復(fù)雜,解題效率比較低. 但是如果利用圓錐參數(shù)方程設(shè)點的坐標(biāo),再利用三角函數(shù)的知識來解答,計算量小,解題效率高了很多. (2)圓錐曲線的參數(shù)方程的一個重要作用就是設(shè)點.所以一般情況下,設(shè)點有三種方式,一是利用直角坐標(biāo)設(shè)點,這是最普遍的一種.二是利用參數(shù)方

7、程設(shè)點,三是利用極坐標(biāo)設(shè)點,大家要注意靈活選用. 【反饋檢測3】(2016年全國III高考)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為 ,以坐標(biāo)原點為極點,以軸的正半軸為極軸,,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為 . (I)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程; (II)設(shè)點P在上,點Q在上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo). 方法四 用直線參數(shù)方程解決解析幾何的問題 解題步驟 先把某些已知條件化成參數(shù)方程,再利用參數(shù)方程的知識解答. 【例4】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點為極點,以軸正半軸為極軸)中,圓

8、的方程為. (1)求圓的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)圓與直線交于點,若點的坐標(biāo)為,求. 【點評】(1)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是這樣的:如果點在定點的上方,則點對應(yīng)的參數(shù)就表示點到點的距離,即.如果點在定點的下方,則點對應(yīng)的參數(shù)就表示點到點的距離的相反數(shù),即.(2)由 直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義得:如果求直線上兩點間的距離,不管兩點在哪里,總有. 【反饋檢測4】在極坐標(biāo)系中,曲線的方程為,點.以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系. (1)求直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程; (2)若直線與曲線交于、兩點,求的值.

9、 【反饋檢測5】在直角坐標(biāo)系中,直線過,傾斜角為().以為極點,軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為. (1)求直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程; (2)已知直線與曲線交于、兩點,且,求直線的斜率. 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第93講: 極坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題的處理參考答案 【反饋檢測1答案】(1),;(2). 【反饋檢測2答案】(1)ρ(cosθ+sinθ)=4,ρ=2cosθ;(2)(+1). 【反饋檢測2詳細(xì)解析】(1)C1:ρ(cosθ+sinθ)=4,C2的普通方程為(x-1)2+y2=1,所以ρ=2cos

10、θ. (2)設(shè)A(ρ1,α),B(ρ2,α),-<α<,則ρ1=,ρ2=2cosα, ==×2cosα(cosα+sinα) =(cos2α+sin2α+1)=[cos(2α-)+1], 當(dāng)α=時,取得最大值(+1). 【反饋檢測3答案】(1);(2)最小值為,此時的坐標(biāo)為. 【反饋檢測3詳細(xì)解析】(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為. (2)由題意,可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為,因為是直線,所以|PQ|的最小值,即為P到的距離的最小值, . 當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值,最小值為此時P的直角坐標(biāo)為. 【反饋檢測4答案】(1),;(2). 【反饋檢測5答案】(1),;(2). 【反饋檢測5詳細(xì)解析】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)), 由,得,∴曲線的直角坐標(biāo)方程為. (2)把,代入得, 設(shè),兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為與,則,, 易知與異號,又∵,∴,消去與,得,即. 9

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